S´ ulyos, szimmetrikus, gyors p¨ orgetty˝ u

Ha a p¨orgetty˝ut nem a s´ulypontj´aban, hanem az alatt t´amasztjuk al´a, akkor – az instabil egyens´ulyi helyzet kiv´etel´evel – a p¨orgetty˝ure a neh´ezs´egi er˝o forgat´ onyoma-t´ekot fejt ki. ´Altal´aban, ha egy p¨orgetty˝ure k¨uls˝o forgat´onyomat´ek hat, akkor s´ulyos p¨orgetty˝unek nevezz¨uk. J´ol ismert s´ulyos p¨orgetty˝u ab´ug´ocsiga (vagy modern v´altozata, a beyblade). Ha a b´ug´ocsig´at nyugalmi helyzetben lerakjuk a f¨oldre, eld˝ol. Ha azonban el˝otte gyors forg´asba hozzuk, akkor nem d˝ol el, hanem a forg´astengelye egy k´uppal´ast ment´en lassan k¨orbej´ar. Ez a mozg´as a precesszi´o.

K´ıs´erlet: P¨orgetty˝u

A vide´on[7] l´athat´o p¨orgetty˝u t¨omegk¨oz´eppontj´anak helye v´altoztathat´o: le-het az al´at´amaszt´as felett vagy alatt, de ak´ar ´eppen az al´at´amaszt´asi pontban is. Az ut´obbi esetben er˝omentes p¨orgetty˝ut kapunk (amelyen megfigyelhet˝o a nut´aci´o jelens´ege).

Ha az al´at´amaszt´asi pont nem esik egybe a t¨omegk¨oz´epponttal, akkor a gyor-san forg´o p¨orgetty˝u tengelye a f¨ugg˝oleges ir´any k¨or¨ul lassan k¨orbefordul, pre-cessz´al. A precesszi´o ir´anya f¨ugg a p¨orgetty˝u forg´asir´any´at´ol ´es az al´at´ amasz-t´as hely´et˝ol (t¨omegk¨oz´eppont alatt vagy felett).

A precesszi´o sz¨ogsebess´ege (szemben a nut´aci´oval) ford´ıtva ar´anyos a p¨ or-getty˝u sz¨ogsebess´eg´evel, ez´ert a s´url´od´asi vesztes´egek miatt lassan f´ekez˝od˝o p¨orgetty˝u egyre gyorsabban precessz´al. V´eg¨ul mozg´asa l´atsz´olag rendezetlen-n´e v´alik, majd (ha a t¨omegk¨oz´eppontja alatt van megt´amasztva) led˝ol.

Hasonl´o k´ıs´erlet v´egezhet˝o egy felf¨uggesztett bicikliker´ekkel is (vide´o[7]).

A k¨ovetkez˝okben a s´ulyos, szimmetrikus,gyors p¨orgetty˝u mozg´as´at tanulm´anyozzuk.

A ”gyors” azt jelenti, hogy a p¨orgetty˝u sz¨ogsebess´ege sokkal nagyobb, mint a precesszi´o sz¨ogsebess´ege. Emiatt a p¨orgetty˝u perd¨uletvektor´aban elhanyagolhat´o a precesszi´os sz¨ og-sebess´egb˝ol sz´armaz´o j´arul´ek. R´aad´asul a p¨orgetty˝ut f˝otehetetlens´egi tengelye k¨or¨ul for-gatjuk meg, ´ıgy sz¨ogsebess´ege ´es perd¨ulete is p´arhuzamos lesz a szimmetriatengellyel:

ωΩ_P ⇒ N≈Θω ⇒ NkωkC.

6.21. ´abra. S´ulyos, szimmetrikus, gyors p¨orgetty˝u

A p¨orgetty˝ure a neh´ezs´egi er˝o forgat´onyomat´eka hat (6.21 ´abra):

M=s×mg, M =mgssinγ .

A forgat´onyomat´ek-vektor v´ızszintes ir´any´u (mer˝oleges az ´abra s´ıkj´ara, befel´e mutat),

´ıgy a perd¨uletvektor megv´altoz´asa is v´ızszintes lesz. A (6.2) ¨osszef¨ugg´es alapj´an : dN=Mdt .

Teh´at a gyorsan forg´o p¨orgetty˝u – v´arakoz´asunkkal ellent´etben – nem feld˝ol, hanem f¨ugg˝oleges tengely k¨or¨ul k¨orbefordul.

6.22. ´abra. Precesszi´o - a perd¨uletvektor elfordul´asa

A 6.22 ´abra alapj´an a perd¨uletvektor v´altoz´as´anak nagys´aga kicsiny id˝o alatt:

dN =Nsinγdϕ , m´asr´eszt a forgat´onyomat´ekkal kifejezve:

dN =Mdt=mgssinγdt .

A k´et kifejez´est egyenl˝ov´e t´eve:

Nsinγdϕ=mgssinγdt , amib˝ol a precesszi´o sz¨ogsebess´ege:

Ω_P = dϕ

dt = mgs

N = mgs Θω .

L´athatjuk, hogy a precesszi´o sz¨ogsebess´ege val´oban ford´ıtottan ar´anyos a p¨orgetty˝u sz¨ogsebess´eg´evel, valamint f¨uggetlen a p¨orgetty˝u d˝ol´essz¨og´et˝ol.

6.23. ´abra. Anal´ogia k´et vektori´alis szorzat k¨oz¨ott

A perd¨ulet, a forgat´onyomat´ek ´es a precesszi´o sz¨ogsebess´ege is vektori´alis mennyi-s´egek. A vektorok k¨ozti kapcsolatot k¨onnyen fel´ırhatjuk a 6.23 ´abr´an l´athat´o ω-r-v ´es ΩP-N-M vektorh´armasok k¨oz¨ott megfigyelhet˝o anal´ogia alapj´an. A baloldali ´abr´an azr vektor ω sz¨ogsebess´eggel forog a f¨ugg˝oleges tengely k¨or¨ul. v k´etf´elek´epp is kifejezhet˝o:

v= dr dt v=ω×r.

A jobboldali ´abr´an ezzel anal´og m´odonNvektor forog Ω_Psz¨ogsebess´eggel a f¨ugg˝oleges tengely k¨or¨ul. Ahogy v a forg´o r vektor id˝o szerinti deriv´altja, ugyan´ugy M a forg´o N vektor id˝o szerinti deriv´altj´aval egyenl˝o. Az anal´ogia miatt teh´at M is kifejezhet˝o k´etf´elek´epp:

M= dN dt M=Ω_P×N.

Az N perd¨ulet˝u p¨orgetty˝u teh´at M = Ω_P×N forgat´onyomat´ek hat´as´ara fog Ω_P sz¨ogsebess´eggel precessz´alni.

Eredm´enyeink csak addig igazak, am´ıg fenn´all azω Ω_P felt´etel. A lass´u p¨orgetty˝u mozg´as´anak le´ır´asa sokkal bonyolultabb.

A s´ulyos p¨orgetty˝u precesszi´oj´ara nut´aci´o is szuperpon´al´odhat.

6.7.1. A F¨ old precesszi´ oja

A F¨old j´o k¨ozel´ıt´essel lapult forg´asi ellipszoid alak´u. Szimmetriatengelye – egyben legnagyobb tehetetlens´egi nyomat´ek´u f˝otehetetlens´egi tengelye – k¨or¨ul forog, amely az ekliptika (a F¨old kering´esi s´ıkja) norm´alis´aval 23,5^◦-os sz¨oget z´ar be (B.2). A Nap forga-t´onyomat´ekot fejt ki a F¨oldre, amely a forg´astengelyt be szeretn´e forgatni az ekliptik´ara mer˝oleges ir´anyba. A F¨old azonban forog, ´es ´ıgy a forg´astengely precessz´alni fog.

6.24. ´abra. A F¨old precesszi´oj´at okoz´o er˝op´ar

A forgat´onyomat´ek ok´at legegyszer˝ubben a F¨oldkering´es´evel egy¨utt forg´o koordin´ ata-rendszerben vizsg´alhatjuk. Ebben a rendszerben a j´o k¨ozel´ıt´essel r sugar´u k¨orp´aly´an mozg´o F¨old nyugalomban van, teh´at a r´a hat´o gravit´aci´os er˝o ´es centrifug´alis er˝o meg-egyeznek:

γmFmN

r² =m_Fω²_Kr F_g =F_cf.

Ha a lapult forg´asi ellipszoidot a 6.24 ´abr´an l´athat´o m´odon egy g¨ombre ´es egy azt ¨ovez˝o v´ekony

”¨ovre” bontjuk, ´es az ¨ovet – nagyon leegyszer˝us´ıtve – k´et t¨omegk¨oz´epponttal helyettes´ıtj¨uk, akkor az ezekre hat´o gravit´aci´os ´es centrifug´alis er˝o m´ar k¨ul¨onb¨oz˝o lesz:

γm₁m_N

r²₁ > m1ω²_Kr1 Fg1> Fcf1

γm₂m_N

r²₂ < m₂ω²_Kr₂ F_g2< F_cf2, hiszen r1 < r < r2.

Ez az er˝op´ar a rajz s´ıkj´ara mer˝oleges (befel´e mutat´o) forgat´onyomat´ekot okoz, amely a forg´o F¨oldet (a kering´essel ellent´etes ir´any´u) kb. 26000 ´ev peri´odusidej˝u precesszi´ora k´enyszer´ıti (B.2). Emiatt az ´eszaki sark l´atsz´olagos helye a csillagos ´egen elmozdul, a Sarkcsillag csak a jelenkorban van az ´egi p´olus k¨ozel´eben. A precesszi´o miatt elmozdul a tavaszpont is, ´ıgy az ´allat¨ovi jegyek az ´okor ´ota m´ar egy h´onappal eltol´odtak.

A Hold-p´alya precesszi´oja

A F¨oldh¨oz hasonl´oan a Hold-p´alya is precessz´al. A Hold kering´esi s´ıkja k¨or¨ulbel¨ul 5^◦-os sz¨oget z´ar be az ekliptik´aval. (Ez´ert nincs minden h´onapban Nap- ´es Holdfogyat-koz´as.) A Nap a p´alya tengely´et be szeretn´e forgatni az ekliptik´ara mer˝oleges ir´anyba, de ehelyett a Hold-p´alya – az el˝oz˝oekkel teljesen anal´og m´odon – precessz´alni fog. A fogyatkoz´asok lehets´eges id˝opontj´at – a F¨old ´es a Hold kering´esi idej´evel egy¨utt – ez a 18,6 ´eves peri´odusidej˝u precesszi´o hat´arozza meg (B.2).

6.7.2. P¨ orgetty˝ unyomat´ ek

Ahhoz, hogy egy p¨orgetty˝u precessz´aljon, k¨uls˝o forgat´onyomat´ekra van sz¨uks´eg. Ek-kor viszont a p¨orgetty˝u ezzel ellent´etes forgat´onyomat´ekot fejt ki a k¨ornyezet´ere. Ezt a forgat´onyomat´ekot p¨orgetty˝unyomat´eknak nevezz¨uk:

M^∗ =−M=−Ω_P×N=N×Ω_P.

Gyorsan forg´o testek eset´eben ez meglehet˝osen nagy – ´es v´aratlan ir´any´u – er˝ohat´ aso-kat okozhat. Ezt figyelhetj¨uk meg, amikor a kez¨unkben tartott megp¨orgetett bicikliker´ek tengely´et megpr´ob´aljuk elforgatni (vide´o [7]).

A ker´ekp´aroz´as fizik´aja

Sz´eles k¨orben elterjedt n´ezet, hogy az´ert lehet biciklizni, mert a forg´o ker´ek stabiliz´alja a ker´ekp´art, a ker´ek perd¨ulete miatt a ker´ekp´ar

”nem tud felborulni”. Ez ´ıgy egy´altal´an nem igaz (hiszen akkor kanyarodni se lehetne a biciklivel). Bicikliz´es k¨ozben az´ert nem borulunk fel, mert a ker´ekp´ar ´ugy van fel´ep´ıtve, hogy ha valamelyik ir´anyba d˝olni kezd, akkor a korm´any abba az ir´anyba elfordul, ´es a bicikli

”al´akanyarodik” a d˝ol´esnek, ami megakad´alyozza a d˝ol´est. (A bicikli kanyarod´as´aval egy¨utt forg´o koordin´ata-rendszerb˝ol n´ezve a centrifug´alis er˝o ellens´ulyozza a d˝ol´est.)

Ebben az al´akanyarod´asban szerepe van a p¨orgetty˝unyomat´eknak is: ha p´eld´aul a bicikli jobbra d˝ol (Ω_P el˝ore mutat), ´es a ker´ek el˝ore forog (N balra mutat), akkor a korm´anyraM^∗ =N×Ω_P,azaz f¨ugg˝olegesen lefel´e mutat´o p¨orgetty˝unyomat´ek fog hatni, amely azt jobbra forgatja.

Ez a hat´as azonban csak seg´ıti a ker´ekp´ar egyens´uly´at biztos´ıt´o f˝o hat´ast: az els˝o villa kialak´ıt´asa miatt a korm´any tengely´enek egyenese a ker´ek ´erintkez´esi pontja el˝ott metszi a talajt, ´ıgy ha a bicikli oldalra d˝ol, a talaj nyom´oereje szint´en megfelel˝o ir´any´u forgat´onyomat´ekot fejt ki a korm´anyra. Ezt sima talajon ak´ar ´all´o helyzetben is ki lehet pr´ob´alni: a nyeregn´el megfogott, ´es finoman eld¨ont¨ott bicikli korm´anya elfordul – pedig ekkor biztos nem l´ep fel p¨orgetty˝unyomat´ek.

7. fejezet