A 3.1 szakaszhoz hasonl´oan tekints¨unk ism´et egy K vonatkoztat´asi rendszert, amely inerciarendszer, de most a K’ rendszer hozz´a k´epesta0 gyorsul´assal, egyenesvonal´u egyen-letesen gyorsul´o mozg´assal mozogjon. A3.1 ´abr´anak megfelel˝oen most is fel´ırhatjuk a K
´es K’ rendszer k¨oz¨otti (3.1) transzform´aci´os ¨osszef¨ugg´est:
r(t) =r0(t) +rK0(t).
Ezt id˝o szerint k´etszer deriv´alva azonban m´as eredm´enyt kapunk:
v(t) =v0(t) +w(t) a(t) =a0(t) +a0, hiszen most w(t) = a0t+w0 nem ´alland´o.
Rendezz¨uk ´at a gyorsul´asok k¨ozti ¨osszef¨ugg´est:
a0 =a−a0,
´
es szorozzuk meg a pontszer˝u testm t¨omeg´evel:
ma0 =ma−ma0.
Haszn´aljuk fel, hogy a K inerciarendszerben teljes¨ul Newton II. t¨orv´enye:
ma=Fe, ahol Fe a t¨omegpontra hat´o ered˝o er˝o. Ezt be´ırva:
ma0 =Fe−ma0, (3.5)
azaz a K’ rendszerben nem teljes¨ulnek a Newton-t¨orv´enyek, a K’ rendszer nem inercia-rendszer.
Ahhoz, hogy a Newton-t¨orv´enyeketm´egis haszn´alhassuk, vezess¨unk be egyfikt´ıv, nem val´odi (nem testek k¨ozti k¨olcs¨onhat´asb´ol sz´armaz´o)
Ft =−ma0
tehetetlens´egi er˝ot! Ezt behelyettes´ıtve a (3.5) kifejez´esbe:
ma0 =Fe+Ft=F0e.
´Igy teh´at form´alisan teljes¨ul Newton II. t¨orv´enye, csak az F0e ered˝o er˝obe a val´odi (k¨olcs¨onhat´asokb´ol sz´armaz´o) er˝ok¨on k´ıv¨ul az Ft=−ma0 tehetetlens´egi er˝ot is bele kell sz´am´ıtani.
Mozg´asok le´ır´asa gyorsul´o rendszerben
Ugyanazt a dinamikai feladatot k¨ul¨onb¨oz˝o vonatkoztat´asi rendszerekben is megold-hatjuk. Sokszor k´enyelmesebb egy gyorsul´o rendszer (nem inerciarendszer) haszn´alata – ilyenkor azonban a val´odi, k¨olcs¨onhat´asb´ol sz´armaz´o er˝ok¨on k´ıv¨ul a tehetetlens´egi er˝oket is figyelembe kell venni. L´assunk egy p´eld´at!
Egy kocsira k´et m t¨omeg˝u testet helyez¨unk: az egyik kerekeken szabadon gurulhat, a m´asik viszont s´url´od´o fel¨ulettel ´erintkezik a kocsival (3.2 ´abra). A kocsi az F er˝o ha-t´as´ara a0 gyorsul´assal jobbra gyorsulva mozog. Ha az er˝o nem t´ul nagy, akkor a s´url´od´o test a tapad´o s´url´od´as miatt a kocsival egy¨utt mozog, a kerekeken gurul´o viszont tehe-tetlens´ege miatt legurul a kocsir´ol. ´Irjuk le a kis testek mozg´as´at a talajhoz r¨ogz´ıtett inerciarendszerb˝ol ´es a kocsihoz r¨ogz´ıtett gyorsul´o vonatkoztat´asi rendszerb˝ol is!
3.2. ´abra. Gyorsul´o kiskocsira helyezett testek
3.3. ´abra. A mozg´as le´ır´asa inerciarendszerben
Le´ır´as inerciarendszerben: a 3.3´abr´an berajzoltuk a kis testekre hat´o (val´odi) er˝oket.
A kerekeken gurul´o kis testre csak f¨ugg˝oleges er˝ok hatnak (az mg neh´ezs´egi er˝o ´es az FN nyom´oer˝o), ezek ered˝oje nulla, FN = mg, ´ıgy a test Newton I. t¨orv´enye ´ertelm´eben nyugalomban marad – mik¨ozben a kocsi jobbra gyorsulva elmozdul al´ola.
A s´url´od´o testre az el˝obbi er˝ok¨on k´ıv¨ul azFStapad´asi s´url´od´asi er˝o is hatni fog. Az er˝o nagys´aga ´es ir´anya olyan, hogy a k´et test relat´ıv nyugalma megmaradjon, azaz ez a test is a0 gyorsul´assal jobbra gyorsuljon. Fel´ırva a Newton-t¨orv´enyeket ´es a k´enyszerfelt´eteleket:
FS =ma=ma0 FN=mg
FS ≤µFN.
Ha a s´url´od´asi er˝o el´eg nagy, illetve a kocsi nem gyorsul t´ul nagy gyorsul´assal, akkor a0 ≤µg, ´es teljes¨ul a tapad´as felt´etele.
3.4. ´abra. A mozg´as le´ır´asa gyorsul´o rendszerben
Le´ır´as gyorsul´o vonatkoztat´asi rendszerben: a 3.4 ´abr´an a kis testekre hat´o val´odi er˝ok¨on k´ıv¨ul berajzoltuk a −ma0 tehetetlens´egi er˝oket is.
A kerekeken gurul´o kis testre az egym´ast kiegyenl´ıt˝o f¨ugg˝oleges er˝ok¨on k´ıv¨ul a v´ız-szintes −ma0 tehetetlens´egi er˝o hat. Fel´ırva Newton II. t¨orv´eny´et:
ma=−ma0,
azaz a = −a0, a test balra gyorsulva legurul a (vonatkoztat´asi rendszer¨unkben ´all´o) kocsir´ol.
A s´url´od´o testre v´ızszintes ir´anyban a tehetetlens´egi er˝o ´es a tapad´asi s´url´od´asi er˝o hat. Ez ut´obbi olyan nagys´ag´u ´es ir´any´u, hogy meg˝orizze a test nyugalm´at. Fel´ırva mind-k´et komponensre Newton I. t¨orv´eny´et ´es a tapad´as felt´etel´et:
FS =ma0 FN =mg
FS ≤µFN.
Ha µ≥a0/g, akkor a tapad´as felt´etele teljes¨ul, ´es a test vonatkoztat´asi rendszer¨unkben nyugalomban marad.
L´athatjuk, hogy mindk´et rendszerben a tapasztalattal megegyez˝o eredm´enyt kaptunk, a mozg´ast – m´as-m´as n´ez˝opontb´ol – mindk´et esetben helyesen le´ırtuk.
3.3.1. S´ uly ´ es s´ ulytalans´ ag
A s´uly – a magyar terminol´ogi´aban legelterjedtebb meghat´aroz´as szerint – az az er˝o, amivel egy test az al´at´amaszt´as´at nyomja, vagy a felf¨uggeszt´es´et h´uzza.
Ha egy testet r´aakasztunk egy rug´os er˝om´er˝ore, akkor az a test s´uly´at mutatja. Mit is m´er val´oj´aban? Azt az er˝ot, amit a test kifejt az er˝om´er˝ore. Ennek nagys´aga azonban Newton III. t¨orv´enye miatt megegyezik az er˝om´er˝o ´altal a testre kifejtett er˝ovel. Ha a test nyugalomban van, akkor a r´a hat´o er˝ok ered˝oje nulla, ´ıgy az er˝om´er˝o ´altal a testre
kifejtett er˝o megegyezik a testre hat´o neh´ezs´egi er˝ovel. ´Igy ebben az esetben az er˝om´er˝o v´egeredm´enyben a testre hat´o neh´ezs´egi er˝ot m´eri.
Megfigyel´es: S´ulym´er´es liftben
Egy f¨urd˝oszobai m´erleggel egy¨utt sz´alljunk be egy liftbe, ´es ´alljunk r´a a m´ er-legre! Az ´all´o liftben a m´erleg – az el˝oz˝o meghat´aroz´asnak megfelel˝oen – a s´ulyunkat mutatja.
Ind´ıtsuk el a liftet felfel´e! A lift egy darabig felfel´e gyorsul, ´es ek¨ozben a m´erleg nagyobb s´ulyt mutat. Egy id˝o ut´an a lift el´eri ´alland´osult sebess´eg´et,
´
es ezut´an egyenletesen mozog: ekkor a m´erleg ism´et az eredeti s´ulyunkat mutatja. A v´eg´en a lift (felfel´e) lass´ıt, ami lefel´e mutat´o gyorsul´as, ek¨ozben a m´erleg kisebb s´ulyt mutat. Meg´all´as ut´an ism´et az eredeti s´ulyunkat m´eri.
Most utazzunk lefel´e! El˝osz¨or (lefel´e) gyorsul a lift, a s´ulyunk ism´et kisebb.
Az egyenletes halad´as alatt a m´erleg a s´ulyunkat ism´et az eredeti ´ert´eknek m´eri. V´eg¨ul (lefel´e) lassul a lift, ami f¨olfel´e mutat´o gyorsul´as, ´es ´ıgy a m´erleg ism´et t¨obbet mutat.
K´ıv¨ulr˝ol, inerciarendszerb˝ol megfigyelve a liftez´est, azt l´atjuk, hogy a liftben utaz´ora a lefel´e mutat´o mg neh´ezs´egi er˝o ´es a m´erleg felfel´e mutat´oFN nyom´oereje hat, az utast a k´et er˝o ered˝oje gyors´ıtja. Amikor a lift ´all, vagy egyenletesen mozog, a k´et er˝o ered˝oje nulla, a m´erleg FN = mg ´ert´eket mutat. Amikor a lift gyorsul´asa felfel´e mutat (a lift felfel´e gyorsul, vagy lefel´e f´ekez), akkor a nyom´oer˝o nagyobb a neh´ezs´egi er˝on´el, a m´erleg nagyobb s´ulyt mutat: FN = m(g + a). Amikor viszont a lift gyorsul´asa lefel´e mutat (felfel´e lass´ıt vagy lefel´e gyorsul), akkor a neh´ezs´egi er˝o nagyobb, mint a nyom´oer˝o, a m´erleg kisebb s´ulyt m´er: FN=m(g−a).
K´ıv¨ulr˝ol, de a lifttel egy¨utt gyorsul´o vonatkoztat´asi rendszerb˝ol n´ezve azt l´atjuk, hogy az utasra az mg neh´ezs´egi er˝on k´ıv¨ul a (gyorsul´as ir´any´at´ol f¨ugg˝o) ±ma tehetetlens´egi er˝o is hat, ´es a m´erleg a k´et er˝o ered˝oj´evel, m(g±a) er˝ovel tart egyens´ulyt.
Bel¨ulr˝ol, a liftb˝ol megfigyelve (ami hol inerciarendszer, hol gyorsul´o vonatkoztat´asi rendszer) viszont csak azt ´erz´ekelj¨uk, hogy a s´ulyunk hol kisebb, hol nagyobb. A z´art liften bel¨uli m´er´essel nem tudjuk eld¨onteni, hogy ezt a v´altoz´ast a lift v´altoz´o gyorsul´asa, vagy a neh´ezs´egi er˝o v´altoz´asa okozza-e. A gravit´aci´os er˝o ´es a tehetetlens´egi er˝o is t´erfogati er˝o, mindkett˝o ar´anyos a test t¨omeg´evel: m´er´essel nem tudunk k¨ul¨onbs´eget tenni a kett˝o k¨oz¨ott. Ez a k´ıs´erleti tapasztalat alapozza meg az´altal´anos relativit´aselm´eletet.
Ha a liftg gyorsul´assal mozogna lefel´e (szabadon esne), akkor a m´erlegre egy´altal´an nem hatna nyom´oer˝o, a s´ulyunk nulla lenne. Ez a s´ulytalans´ag ´allapota. F¨oldi k¨or¨ ul-m´enyek k¨oz¨ott ezt csak r¨ovid ideig lehet ´erz´ekelni, p´eld´aul vid´amparkokban l´ev˝o vagy tudom´anyos c´elb´ol ´ep¨ult ejt˝otornyokban. A F¨old k¨or¨ul kikapcsolt hajt´om˝uvel kering˝o
˝
urhaj´okon ´es az ˝ur´allom´asokon folyamatosan s´ulytalans´ag van, hiszen ezek a j´arm˝uvek folyamatosan szabadon esnek, a neh´ezs´egi gyorsul´as lok´alis ´ert´ek´evel megegyez˝o gyorsu-l´assal gyorsulnak a F¨old fel´e.