Az er˝ ohat´ asok f¨ uggetlens´ ege

Eddig csak olyan eseteket vizsg´altunk, hogy egy testre csak egyetlen er˝o hat, az gyors´ıtja. Ha egy testre egyidej˝uleg t¨obb er˝o is hat, akkor a tapasztalat szerint a test

´

ugy mozog, mintha az egyes er˝ok k¨ul¨on-k¨ul¨on gyors´ıtan´ak a testet, ´es ezek a gyorsul´asok (vektori´alisan) ¨osszead´odnak:

Ez az er˝ohat´asok f¨uggetlens´eg´enek elve vagy Newton IV. t¨orv´enye. Ennek alapj´an:

X

Ez Newton II. t¨orv´eny´enek ´altal´anosabb megfogalmaz´asa, ha a testre t¨obb er˝o is hat. A P

F kifejez´est ered˝o er˝onek nevezz¨uk. Az, hogy az er˝ok egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul fejtik ki hat´asukat, azzal egyen´ert´ek˝u, hogy az er˝ok vektork´ent viselkednek, vektork´ent

¨

osszegezhet˝ok, ugyan´ugy, mint a gyorsul´asok.

K´ıs´erlet: Er˝ohat´asok f¨uggetlens´ege

Ha az er˝ok m´as er˝okt˝ol f¨uggetlen¨ul fejtik ki hat´asukat egy testre, akkor a k¨ul¨onb¨oz˝o hat´asokra bek¨ovetkez˝o mozg´asok is egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul mennek v´egbe. K´et egyforma goly´o egyik´et v´ızszintesen elhaj´ıtva, a m´asikat pedig ugyanakkor elejtve, a k´et goly´o egyszerre koppan a talajon. A goly´ok f¨ugg˝ o-leges ir´any´u mozg´asa ugyan´ugy megy v´egbe, f¨uggetlen¨ul att´ol, hogy az egyik v´ızszintesen is mozog.

K´et azonos magass´agban elhelyezett csig´an egy fonalat vezet¨unk ´at, ´es a fon´al egyik v´eg´ere 3 egys´egnyi, a m´asik v´eg´ere 4 egys´egnyi, a k¨ozep´ere pedig 5 egy-s´egnyi t¨omeget er˝os´ıt¨unk. A testeket elengedve, azok be´allnak egy egyens´ulyi helyzetbe, amelyben a k´et csiga k¨ozti k¨ot´elszakasz a k¨oz´eps˝o s´ulyn´al meg-t¨orik. B´armilyen kezd˝o ´allapotb´ol hagyjuk mag´ara a rendszert, a k´et csiga k¨ozti k¨ot´elszakasz k´et r´esze egym´assal der´eksz¨oget z´ar be. A k¨oz´eps˝o testre hat´o 5 egys´egnyi neh´ezs´egi er˝ot a k´et – 3, illetve 4 egys´egnyi – fon´aler˝o csak akkor egyens´ulyozhatja ki, ha – a Pitagorasz-t´etelnek megfelel˝oen – egym´asra mer˝olegesek. Teh´at az er˝ok vektork´ent ¨osszegz˝odnek.

2.2.4. Newton I. t¨ orv´ enye, az inerciarendszer fogalma

Ha egy testre nem hat er˝o, vagy a r´a hat´o er˝ok ered˝oje nulla, akkor Newton II.

t¨orv´enye, (2.5) alapj´an:

XF= 0 ⇔ a= 0 ⇔ v= ´alland´o. (2.6)

Ez Newton I. t¨orv´enye: Ha egy testre nem hat er˝o, vagy a r´a hat´o er˝ok ered˝oje nulla, akkor a test egyenesvonal´u egyenletes mozg´ast v´egez, vagy nyugalomban marad.

Nyugalomban? Mihez k´epest? Most m´ar mindenk´epp meg kell vizsg´alnunk azt a k´ er-d´est, amivel eddig nem foglalkoztunk: egy test mozg´as´at k¨ul¨onb¨oz˝o vonatkoztat´asi rend-szerekben ´ırhatjuk le, ´es m´as-m´as vonatkoztat´asi rendszerb˝ol n´ezve a test mozg´asa is k¨ul¨onb¨oz˝o lesz.

Megfigyel´es: F´ekez˝o vagy kanyarod´o busz

F´ekez˝o vagy kanyarod´o buszon ´allva azt tapasztaljuk, hogy hirtelen, l´atsz´olag minden ok n´elk¨ul el˝ore es¨unk, vagy oldalt d˝ol¨unk, teh´at – a buszhoz k´epest – gyorsulunk. Ez ellentmondani l´atszik Newton I. t¨orv´eny´enek, hiszen annak ellen´ere gyorsulunk, hogy nem hat r´ank k¨uls˝o er˝o.

Ugyanakkor az utc´an ´all´o megfigyel˝o azt tapasztalja, hogy mi egyenesvonal´u egyenletes mozg´ast v´egz¨unk, a busz viszont – a r´a hat´o er˝ok hat´as´ara – gyorsul (f´ekez vagy kanyarodik). Az utc´an ´all´o megfigyel˝o teh´at ´erv´enyesnek l´atja Newton I. t¨orv´eny´et.

A k´et megfigyel˝o m´as-m´as vonatkoztat´asi rendszerb˝ol ´ırja le a mozg´ast. Azt a vonat-koztat´asi rendszert, amelyben teljes¨ul Newton I. t¨orv´enye (azaz egy test, amelyre nem hat er˝o, egyenesvonal´u egyenletes mozg´ast v´egez, vagy nyugalomban van)inerciarendszernek nevezz¨uk. Newton I. t¨orv´enye teh´at az inerciarendszer defin´ıci´oja. A Newton-t¨orv´enyek (eredeti form´ajukban) csak inerciarendszerekben ´erv´enyesek.

A forg´o F¨oldh¨oz r¨ogz´ıtett vonatkoztat´asi rendszer nem inerciarendszer, de sok esetben j´o k¨ozel´ıt´essel inerciarendszernek tekinthet˝o (´es ´ıgy a Newton-t¨orv´enyeket legt¨obbsz¨or eredeti form´ajukban haszn´alhatjuk). Jobb k¨ozel´ıt´essel inerciarendszer a F¨old k¨oz´ eppont-j´ahoz r¨ogz´ıtett, de a F¨olddel egy¨utt nem forg´o vonatkoztat´asi rendszer. M´eg jobb k¨ozel´ıt´es a Naphoz vagy m´as csillagokhoz r¨ogz´ıtett vonatkoztat´asi rendszer.

A 3.1 szakaszban be fogjuk l´atni, hogy egy inerciarendszerhez k´epest egyenesvonal´u egyenletes mozg´ast v´egz˝o vonatkoztat´asi rendszer szint´en inerciarendszer.

2.3. Gravit´ aci´ os k¨ olcs¨ onhat´ as, s´ ulyos t¨ omeg

A gravit´aci´o, a F¨old vonz´asa alapvet˝o h´etk¨oznapi tapasztalatunk. Egy elejtett test – ha a k¨ozegellen´all´as nem sz´amottev˝o – egyenletesen gyorsul´o mozg´assal mozog a F¨old fel´e. Galilei megfigyelte, hogy minden test azonos g gyorsul´assal esik – term´eszetesen megint csak akkor, ha a k¨ozegellen´all´as elhanyagolhat´o.

Megfigyel´es: Kepler-t¨orv´enyek

KeplerTycho Brahe [15] hatalmas mennyis´eg˝u csillag´aszati megfigyel´ese alap-j´an tapasztalati t¨orv´enyeket fogalmazott meg a bolyg´ok ´es holdak mozg´as´ar´ol.

Ezek a Kepler-t¨orv´enyek.

Kepler I. t¨orv´enye A bolyg´ok (holdak) ellipszis p´aly´an keringenek a Nap (anyabolyg´o) k¨or¨ul. A Nap (anyabolyg´o) az ellipszis egyik f´okusz´aban van.

Kepler II. t¨orv´enyeEgy bolyg´ohoz (holdhoz) h´uzott vez´ersug´ar azonos id˝o alatt azonos ter¨uletet s´urol.

Kepler III. t¨orv´enye A Naprendszerben a bolyg´op´aly´ak f´el nagytengely´ e-nek k¨obei ´ugy ar´anylanak egym´ashoz, mint a kering´esi id˝ok n´egyzetei. (Ha egy bolyg´o k¨or¨ul t¨obb hold kering, akkor a holdp´aly´ak f´el nagytengely´enek k¨obei ´ugy ar´anylanak egym´ashoz, mint a kering´esi id˝ok n´egyzetei.)

Newton felismerte, hogy egy test szabades´ese ´es a bolyg´ok, holdak mozg´asa ugyanarra az okra, az ´altal´anos t¨omegvonz´asra vezethet˝o vissza.

A gravit´aci´os er˝o ar´anyos a k¨olcs¨onhat´asban r´eszt vev˝o testek t¨omeg´evel. Erre ab-b´ol lehet k¨ovetkeztetni, hogy a tapasztalat szerint minden szabadon es˝o test egyforma gyorsul´assal gyorsul.

Az er˝o t´avols´agf¨ugg´es´ere Newton csillag´aszati megfigyel´esek alapj´an k¨ovetkeztetett.

Kepler III. t¨orv´enye alapj´an – az ellipszisp´aly´akat k¨orp´aly´aval k¨ozel´ıtve – a bolyg´ok centripet´alis gyorsul´asa ford´ıtva ar´anyos a Napt´ol m´ert t´avols´aguk n´egyzet´evel, ´es ´ıgy a gravit´aci´os er˝o is a k¨olcs¨onhat´o testek t´avols´ag´anak n´egyzet´evel ford´ıtottan ar´anyos.

Hasonl´o k¨ovetkeztet´esre juthatunk, ha egy f¨oldfelsz´ınhez k¨ozel szabadon es˝o test gyor-sul´as´at ´es a F¨old k¨or¨ul kering˝o Hold centripet´alis gyorsul´as´at vetj¨uk ¨ossze a testeknek a F¨old k¨oz´eppontj´at´ol m´ert t´avols´ag´aval.

Megfigyel´es: Szabadon es˝o test ´es a Hold gyorsul´asa

A szabadon es˝o testg neh´ezs´egi gyorsul´asa k¨onnyen megm´erhet˝o. A neh´ezs´ e-gi gyorsul´as ´ert´eke a F¨old forg´asa, alakja ´es inhomog´en t¨omegeloszl´asa miatt kis m´ert´ekben f¨ugg a m´er´es hely´et˝ol. K¨ozel´ıt˝o sz´am´ıt´asunkhoz tekints¨unk el a F¨old forg´as´anak hat´as´at´ol (ezzel r´eszletesen fogunk foglalkozni a3.5 szakasz-ban), ekkor egy felsz´ınhez k¨ozel szabadon es˝o test a F¨old gravit´aci´os vonz´ a-s´anak hat´as´ara a1 ≈g = 9,81 m/s² gyorsul´assal mozog, mik¨ozben t´avols´aga a F¨old k¨oz´eppontj´at´ol a F¨old sugar´aval egyezik meg:r₁ =R_F ≈6,37·10⁶m.

A Hold kering´esi ideje (sziderikus h´onap) T_H = 27,32 nap, az ´atlagos Hold-F¨old t´avols´ag pedigR_H= 384 ezer km (B.2). A Hold j´o k¨ozel´ıt´essel k¨orp´aly´an kering, ´ıgy centripet´alis gyorsul´asaa₂ ≈4π²R_H/T_H² = 2,72·10⁻³m/s², t´ avol-s´aga r₂ ≈3,84·10⁸m.

Osszevetve az adatokat¨ a1/a2 ≈ 3600 ´es r1/r2 ≈1/60, azaz a gyorsul´as – ´es

´ıgy a gravit´aci´os er˝o – ford´ıtva ar´anyos a t´avols´ag n´egyzet´evel.

Ezek alapj´anNewton gravit´aci´os t¨orv´enye:

F=−γm₁m₂ r² · r

r , (2.7)

ahol m₁ ´esm₂ a k¨olcs¨onhat´o testeks´ulyos vagy gravit´al´o t¨omege,ra testek t´avols´aga, γ pedig k´es˝obb meghat´arozand´o ´alland´o. Az er˝o minden esetben vonz´o, a testeket ¨osszek¨ot˝o egyenes ir´any´aban hat.