S´ url´ od´ asmentes ´ araml´ as

S´url´od´asmentes ´araml´as eset´eben elhanyagolhat´o a k¨ozegen bel¨ul a disszip´aci´o, ´ıgy

´

erv´enyes¨ul a mechanikai energia megmarad´asa, illetve a rendszer energi´aj´at csak k¨uls˝o er˝ok munk´aja v´altoztatja meg. Azonban miel˝ott megfogalmazn´ank a mechanikai energia megmarad´as´anak ´araml´o folyad´ekokra vonatkoz´o alakj´at, egy m´asik – nem csak a s´ ur-l´od´asmentes ´araml´asokra igaz – ¨osszef¨ugg´est ´ırunk fel, amely szint´en egy megmarad´asi t´etel, az anyag- vagy t¨omegmegmarad´as k¨ovetkezm´enye.

Kontinuit´asi egyenlet

Stacion´arius ´araml´as eset´eben az anyag nem l´ep ´at az ´aramcs˝o fal´an. Ha az ´araml´as k¨ozben nem is keletkezik (´es nem is semmis¨ul meg) anyag – azaz az ´araml´asi t´er forr´ as-mentes –, akkor az ´aramcs˝obe bel´ep˝o ´es az onnan kil´ep˝o t¨omeg´aram-er˝oss´eg megegyezik:

I_m1 =I_m2.

8.13. ´abra. Kontinuit´asi egyenlet

A (8.11) ¨osszef¨ugg´es alapj´an a 8.13 ´abra jel¨ol´eseivel Z

A1

ρvdA= Z

A2

ρvdA.

Ha a fel¨uletek mer˝olegesek a sebess´egre (dA k v), akkor a vektorok helyett azok nagy-s´ag´aval sz´amolhatunk. Ha ezen k´ıv¨ulρ´esv a cs˝o keresztmetszete ment´en ´alland´o, akkor az integr´al helyett egyszer˝u szorz´as ´all:

ρ₁v₁A₁ =ρ₂v₂A₂.

Ha a k¨ozeg ¨osszenyomhatatlan, ´esρ1 =ρ2 =ρ, akkor a kifejez´es tov´abb egyszer˝us¨odik:

v₁A₁ =v₂A₂, vagy m´ask´epp:

vA= ´alland´o. (8.12)

Ez a kontinuit´asi egyenlet, amely a t¨omegmegmarad´as t¨orv´eny´enek speci´alis esete

´

araml´asokra. Az I_V = vA mennyis´eg a t´erfogat´aram-er˝oss´eg (id˝oegys´eg alatt ´at´araml´o t´erfogat), amit foly´ok, patakok eset´ebenv´ızhozamnak neveznek (m´ert´ekegys´ege m³/s).

Bernoulli-t¨orv´eny

A k¨ovetkez˝o levezet´esben felt´etelezz¨uk, hogy az ´araml´as s´url´od´asmentes, stacion´arius (id˝oben ´alland´o), ´es a k¨ozeg ¨osszenyomhatatlan (ρ= ´alland´o). Azt is felt´etelezz¨uk, hogy az ´aramcs˝o v´ekony, ´es a k¨ozeg sebess´ege az ´aramcs˝o keresztmetszet´en bel¨ul ´alland´o.

8.14. ´abra. Bernoulli-t¨orv´eny

´Irjuk fel a (4.10) munkat´etelt az ´aramcs˝oben mozg´o k¨ozegre, mik¨ozben az egy kicsit elmozdul! A jel¨ol´esek a 8.14 ´abr´an l´athat´ok.

A bel´ep´eskor ´es a kil´ep´eskor a k¨ornyezet v´egez munk´at a k¨ozegen:

∆W₁ =F₁s₁ =p₁A₁∆s₁ =p₁∆V

∆W₂ =−F₂s₂ =−p₂A₂∆s₂ =−p₂∆V .

Itt felhaszn´altuk, hogy a (8.12) kontinuit´asi egyenlet miatt A₁∆s₁ = ∆V =A₂∆s₂. A helyzeti ´es a mozg´asi energia megv´altoz´asa:

∆E_h =ρ∆V g(h₂−h₁)

∆E_m= 1

2ρ∆V v₂²−v²₁ . Fel´ırva a (4.10) munkat´etelt:

∆W₁+ ∆W₂ = ∆W = ∆E = ∆E_h+ ∆E_m, behelyettes´ıtve a fenti ´ert´ekeket:

(p₁−p₂) ∆V =ρ∆V g(h₂−h₁) + 1

2ρ∆V v₂²−v₁² ,

∆V-vel egyszer˝us´ıtve, ´es az azonos index˝u tagokat egy oldalra rendezve:

p₁+1

2ρv₁²+ρgh₁ =p₂ +1

2ρv₂²+ρgh₂, vagy m´ask´epp:

p+1

2ρv²+ρgh= ´alland´o. (8.13) Ez a Bernoulli-t¨orv´eny, amely a mechanikai energia megmarad´as´anak speci´alis esete

´

araml´asokra. [32] Hangs´ulyozzuk, hogy a t¨orv´eny csak ¨osszenyomhatatlan k¨ozeg s´url´ o-d´asmentes, stacion´arius ´araml´as´ara igaz, v´ekony ´aramcs˝o eset´en.

A nyom´as ´es a sebess´eg k¨ozti kapcsolat m´eg szembe¨otl˝obb, hah₁ ≈h₂, azaz a helyzeti energia v´altoz´as elhanyagolhat´o a t¨obbi tag mellett. Ekkor l´atszik, hogy ahol az ´araml´as gyorsabb, ott a nyom´as kisebb:

v₂ > v₁ ⇒ p₂ < p₁.

M´eg ´erdekesebb eredm´enyre jutunk, ha felhaszn´aljuk a (8.12) kontinuit´asi egyenletet is, amely szerint a sebess´eg ford´ıtva ar´anyos az ´aramcs˝o keresztmetszet´evel. Ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy ahol a keresztmetszet kicsi, ott a nyom´as is kicsi lesz, ´es ford´ıtva, a nagy keresztmetszet˝u helyeken a nyom´as is nagyobb:

A2 < A1 ⇒ p2 < p1.

(a) Venturi-cs˝o (b) Porlaszt´o

8.15. ´abra. A sz˝uk¨uletben lecs¨okken a nyom´as

Ez az eredm´eny nagyon meglep˝o, hiszen azt v´arhatn´ank, hogy az ´araml´o k¨ozeg ´epp a kis keresztmetszet˝u helyeken

”torl´odik ¨ossze”, ´es ´ıgy ´epp ott lesz nagyobb nyom´asa.

Jobban belegondolva azonban meg´erthetj¨uk, hogy a kontinuit´asi egyenlet miatt ´epp a sz˝ukebb helyeken kell gyorsabban ´aramlania a k¨ozegnek, a felgyors´ıt´as´ahoz pedig nyo-m´ask¨ul¨onbs´eg kell, azaz a nyom´asnak a sz˝uk¨ulet el˝otti nagyobb keresztmetszet˝u r´eszen nagyobbnak kell lennie, mint a sz˝uk¨uletben.

Ezen az elven m˝uk¨odik a 8.15(a)´abr´an l´athat´oVenturi-cs˝o, amellyel a kialakul´o nyo-m´ask¨ul¨onbs´eg alapj´an az ´araml´o k¨ozeg sebess´ege m´erhet˝o. A porlaszt´o (v´ızpermetez˝o, karbur´ator, 8.15(b) ´abra) m˝uk¨od´es´enek alapja szint´en a sz˝uk¨uletben l´etrej¨ov˝o nyom´ as-cs¨okken´es, amely felsz´ıvja a folyad´ekot a f¨ugg˝oleges cs¨ov¨on, amit a nagy sebess´eg˝u leveg˝o azonnal apr´o cseppekre porlaszt.

A Bernoulli-t¨orv´enynek van szerepe sok m´as jelens´eg mellett az ´ersz˝uk¨ulet ´es ´ert´agulat kialakul´as´aban is. Az ´ersz˝uk¨uletn´el – amit els˝osorban a doh´anyz´as okoz – a v´er felgyorsul, nyom´asa lecs¨okken, ´es ´ıgy a k¨ornyez˝o sz¨ovetek m´eg jobban ¨osszenyomj´ak az eret, ami v´eg¨ul teljesen elz´ar´odhat. Hasonl´oan, az ´ert´agulatban a v´er lelassul, nyom´asa megn˝o, ´ıgy az ´er m´eg jobban kit´agul, ´es ha nem el´eg rugalmas, elpattanhat.

K´ıs´erlet: Aerodinamikai paradoxon

Ha egy t¨olcs´er kisz´elesed˝o r´esz´ebe pingponglabd´at helyez¨unk, ´es a t¨olcs´er nyak´aba belef´ujunk, a labda nem rep¨ul ki, hanem beszorul a t¨olcs´erbe.

Magyar´azat: A nyakban ´es a labda mellett gyorsabb a leveg˝o, ´ıgy nyom´asa kisebb, mint a kisz´elesed˝o r´eszben, ´ıgy az ottani nagyobb nyom´as benyomja a labd´at.

K´et p´arhuzamos, f¨ugg˝oleges lap k¨oz´e bef´ujunk. A lapok a v´arakoz´assal ellen-t´etben nem t´avolodnak, hanem egym´as fel´e mozdulnak.

Magyar´azat: A lapok k¨oz¨ott ´araml´o leveg˝onek nagyobb a sebess´ege, ´es ´ıgy kisebb a nyom´asa, mint a lapokon k´ıv¨ul.

Az ¨ossze´er˝o lapok teljesen elz´arhatj´ak a leveg˝o ´utj´at. Ezzel viszont megsz˝unik a leveg˝o ´araml´asa ´es a nyom´ask¨ul¨onbs´eg is, ez´ert a lapok visszafel´e mozognak, eredeti egyens´ulyi helyzet¨uk fel´e. Ekkor ´ujra megindul a leveg˝o ´araml´asa, ´es a lapok ism´et egym´as fel´e mozdulnak. A folyamat eredm´enyek´epp a lap rezeg-ni kezd. Ezt az elvet haszn´alj´ak ki a f´uv´os hangszerek egy r´eszben haszn´alt nyelvs´ıpok (10.9.2szakasz).