Merev testek mozg´ asa
6.6. Er˝ omentes, szimmetrikus p¨ orgetty˝ u
Ap¨orgetty˝u olyan merev test, amely egy r¨ogz´ıtett pontja k¨or¨ul foroghat. A p¨orgetty˝ u-mozg´as ´altal´anos esetben nagyon bonyolult. Mi csak a szimmetrikus p¨orgetty˝uk n´eh´any speci´alis mozg´as´at vizsg´aljuk: ekkor a test tehetetlens´egi ellipszoidja forg´asszimmetrikus, a test k´et f˝otehetetlens´egi nyomat´eka megegyezik.
A p¨orgetty˝ut er˝omentesnek nevezz¨uk, ha nem hat r´a k¨uls˝o er˝o ´es forgat´onyomat´ek (illetve a r´ahat´o er˝ok ´es forgat´onyomat´ekok ered˝oje nulla):
F= 0 ´es M= 0.
F¨oldi k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott ez legegyszer˝ubben ´ugy ´erhet˝o el, hogy egy merev testet a t¨omegk¨oz´eppontj´aban t´amasztunk al´a (6.17 ´abra). Forgassuk meg az er˝omentes, szim-metrikus p¨orgetty˝ut a szimmetriatengelye k¨or¨ul! Ez egy szabad forg´as, hiszen a test az O t¨omegk¨oz´epponton ´atmen˝o C f˝otehetetlens´egi tengely k¨or¨ul forog. Ilyenkor:
N= Θω ´es Nkω kC.
6.17. ´abra. Szabadon forg´o er˝omentes, szimmetrikus p¨orgetty˝u
Ezut´an r¨ovid k¨uls˝o er˝ohat´assal billents¨uk ki egyens´ulyi ´allapot´ab´ol a forg´o testet, majd hagyjuk ´ujra mag´ara. Ekkor a test szimmetriatengelye, perd¨uletvektora ´es sz¨ og-sebess´egvektora m´ar nem fog egy egyenesbe esni (6.18 ´abra). A l¨ok´es megv´altoztatta a test perd¨ulet´et, de az er˝ohat´as megsz˝unte ut´an az ´uj perd¨ulet m´ar megmarad. A test szimmetriatengelye ´es a sz¨ogsebess´egvektor viszont id˝oben v´altoz´o lesz.
6.18. ´abra. Egyens´uly´ab´ol kibillentett er˝omentes, szimmetrikus p¨orgetty˝u
Vizsg´aljuk a testhez r¨ogz´ıtett K’ rendszerben a mozg´ast! A K’ rendszerben vegy¨uk fel az x0, y0 ´es z0 koordin´ata-tengelyeket ´ugy, hogy z0 a forg´asszimmetria tengely´evel essen egybe. Ekkor x0,y0 ´esz0 f˝otehetetlens´egi tengelyek, ´es ´ıgy (6.11) szerint:
Nx0 = Θx0ωx0 Ny0 = Θy0ωy0 Nz0 = Θz0ωz0.
A forg´asszimmetria miatt Θx0 = Θy0, ´es legyen Θz0 >Θx0 = Θy0. Haszn´aljuk a Θz0 = Θmax
´
es a Θx0 = Θy0 = Θmin jel¨ol´eseket. Ezekkel:
Nx0 = Θminωx0 Ny0 = Θminωy0 Nz0 = Θmaxωz0,
(6.12)
amib˝ol az k¨ovetkezik, hogyz0 = C, N ´es ω egy s´ıkban vannak (6.19 ´abra).
6.19. ´abra. Vektorok a testhez r¨ogz´ıtett koordin´ata-rendszerben
Alkalmazzuk az egym´ashoz k´epest forg´o koordin´ata-rendszerekben v´egzett id˝o szerinti deriv´altakra vonatkoz´o (3.6) seg´edt´etelt a perd¨uletvektorra:
dN
De a p¨orgetty˝u er˝omentes, emiatt a K rendszerben a perd¨uletvektor ´alland´o:
dN
L´athat´o, hogy (a p¨orgetty˝u szimmetri´aja miatt) a deriv´alt z0-ir´any´u komponense nul-la, azaz a perd¨ulet z0-ir´any´u komponense – ´es (6.12) alapj´an vele egy¨utt a sz¨ogsebess´eg
Ennek alapj´an, valamint (6.12)-t ´es (6.13) x0- ´es y0-ir´any´u komponensekre adott kifeje-z´es´et felhaszn´alva:
ahol bevezett¨uk az
ΩN= Θmax−Θmin Θmin ωz0
jel¨ol´est. Ez egy csatolt differenci´alegyenlet ωx0-re ´esωy0-re, melynek megold´asa:
ωx0 =ωxycos (ΩNt+ϕ) ωy0 =ωxysin (ΩNt+ϕ) .
Eszerint K’-ben a sz¨ogsebess´egvektor – ´es vele egy¨utt a perd¨uletvektor is – ΩNsz¨ ogsebes-s´eggel forog a z0 = C szimmetriatengely k¨or¨ul. (A megold´as helyess´ege behelyettes´ıt´essel ellen˝orizhet˝o.)
6.20. ´abra. Nut´aci´o
A K inerciarendszerben viszont a perd¨uletvektor ´alland´o, ´ıgy K-ban a sz¨ogsebess´ eg-vektor ´es a test szimmetriatengelye forog a perd¨uletvektor k¨or¨ul k¨oz¨os
ΩN= Θmax−Θmin
Θmin ωz0 ≈ Θmax−Θmin Θmin ω
sz¨ogsebess´eggel (6.20 ´abra). A jelens´eg nevenut´aci´o, ΩN a nut´aci´o sz¨ogsebess´ege.
6.6.1. A F¨ old nut´ aci´ oja
A F¨old lapult forg´asi ellipszoid, amely szimmetriatengelye k¨or¨ul forog. Azonban k¨ u-l¨onb¨oz˝o hat´asok miatt van egy kicsiny nut´aci´oja: a forg´astengely mozog a F¨oldh¨oz k´epest (´es ´ıgy a f¨oldrajzi ´eszaki ´es d´eli sark pontos helye is kism´ert´ekben v´altozik). Becs¨ulj¨uk meg a nut´aci´o peri´odusidej´et!
A F¨old egyenl´ıt˝oi ´es pol´aris sugarai (B.2 f¨uggel´ek):
Re ≈6378 km ´es Rp ≈6357 km.
A f˝otehetetlens´egi nyomat´ekok k¨or¨ulbel¨uli becsl´ese (homog´en testtel sz´amolva):
Θmax ≈ 2
5mR2e ´es Θmin≈ 1
5m R2e+R2p ,
amib˝ol
Θmax−Θmin
Θmin ≈ 1
300. A F¨old sz¨ogsebess´ege:
ωz0 ≈ω = 2π 1 nap,
´
es ´ıgy a nut´aci´o peri´odusideje:
TN= 2π ΩN
= Θmin Θmax−Θmin
2π ωz0
≈300 nap.
Az eredm´eny (Euler-f´ele peri´odus) csak nagys´agrendben egyezik a tapasztalattal, a val´os´agban a Chandler-f´ele peri´odus – a F¨old rugalmas alakv´altoz´asai miatt – kb. 430 nap [25].
6.6.2. Giroszk´ op, stabiliz´ al´ as forg´ assal
A szabad tengely k¨or¨ul forg´o merev test k¨uls˝o forgat´onyomat´ek hi´any´aban megtartja forg´astengely´et. Ezt a legk¨ul¨onb¨oz˝obb helyeken haszn´alj´ak. N´eh´any p´elda:
Alkalmaz´as: Giroszk´op
Cardano-f´ele felf¨uggeszt´essel el´erhet˝o, hogy az er˝omentes p¨orgetty˝u a felf¨ ug-geszt´eshez k´epest tetsz˝olegesen elfordulhat [26]. Ez az eszk¨oz a giroszk´op.
A szimmetriatengelye k¨or¨ul nagy sebess´eggel megforgatott giroszk´op akkor is megtartja forg´asir´any´at, ha a felf¨uggeszt´es k¨ozben elfordul. Ilyen m´odon lehet rep¨ul˝og´epeken, haj´okon, egyenetlen terepen mozg´o j´arm˝uveken mesters´eges horizontot l´etrehozni [27].
Alkalmaz´as: Diszkosz, frizbi, gerely
A gyors forg´as stabiliz´alja a diszkosz, a frizbi ´es a gerely t´erbeli ir´any´at. Forg´as n´elk¨ul mindh´arom eszk¨oz
”imbolyogva” rep¨ulne. A forg´asnak k¨osz¨onhet˝oen a testek sok´aig meg˝orzik az eldob´askori sz¨oghelyzet¨uket, ´ıgy az aerodinamikai felhajt´oer˝o rep¨ul´es¨uk sor´an v´egig emeli ˝oket, ´es ez´altal sokkal messzebbre re-p¨ulnek, mint forg´as n´elk¨ul. Mindh´arom sporteszk¨ozt az eldob´askor p¨orgetik meg (m´as-m´as technik´aval): a diszkoszt ´es a frizbit a k¨orlapjukra mer˝ ole-ges (maxim´alis tehetetlens´egi nyomat´ek´u), a gerelyt pedig a hossztengely´evel p´arhuzamos (minim´alis tehetetlens´egi nyomat´ek´u) tengelye k¨or¨ul.
Alkalmaz´as: L¨oved´ekek
A l¨oved´ekek eset´eben a forg´as ´altali stabiliz´al´as nemcsak a nagyobb l˝ot´avols´ a-got, hanem a pontosabb c´elz´ast is szolg´alja. A stabil helyzet˝u l¨oved´ek p´aly´aja sokkal pontosabban meghat´arozhat´o. A l¨oved´ekeket a fegyver cs¨ov´eben l´ev˝o huzagol´as (csavarod´o v´ajat) hozza forg´asba a halad´asi ir´annyal p´arhuzamos tengelye k¨or¨ul.