BALAJTI Zsuzsa
egyetemi docens, PhD., habil.
balajtizsuzsanna@gmail.com
Matematika Intézet, ábrázoló Geometriai Tanszék, Miskolci Egyetem
Kivonat: A jelen írás a hajtópárok gyártásgeometria fejlesztéseire szolgáló Dudás-féle Pro-Mat kinematikai-matematikai modellre alapozva, a kúpos és hengeres csiga hajtópárok axoidjait vizsgálja a modell projektív térmodellre történő kiterjeszthetőségének vonatkozásában. A projektív térmodell az euklideszi térmodellt teljes egészében magába foglalja. Cél a rendszerezés, a probléma rendszerben való kezelhetősége. A csavarfelület megmunkálása az euklideszi térmodellben történik.
Kulcsszavak: hajtópár, kinematikai-matematikai modell, axoid, euklideszi tér, projektív tér
Abstract: The present paper is based on the Dudás-type Pro-Mat kinematics-mathematical model for the development of the production geometry of the drive pairs, examines the axoids of the conical and cylindrical drive pairs in respect of possibility for the extension of model to the projective spatial model. The projective spatial model includes the Euclidean spatial model in its entirety. The aim is to systematise and manage the problem in a system. The worm surface is machined in the Euclidean space model.
Keywords: drive pair, kinematic-mathematicl model, axoid, euclidean space, projective space
1. BEVEZETÉS
A mozgásátvitelre szolgáló helikoid hajtópárok gyártásgeometriai fejlesztése során a hajtópár elemei egymáshoz képest meghatározott mozgást végző egy-egy merev térrendszerhez tartoznak. [5, 6, 7, 8, 9] A hajtópárok egy modellben történő kezeléséhez megalapozott a gördülőfelületeiknek és azok kinematikai viszonyaiknak a vizsgálata. [1]
A síkbeli merev rendszer saját síkjában való mozgása során két különböző helyzete közötti kapcsolat mindig megadható egy pont körüli forgatással, végtelen távoli momentán pólus esetén eltolással. A térbeli merev rendszer két különböző helyzete közötti kapcsolat mindig megadható egy egyenes körüli csavarodással.
Az ABC háromszög A1B1C1 és A2B2C2 helyzete közötti térbeli mozgást helyettesítő csavarodás ct tengelyének meghatározásához első lépésben a csavarodás tengelyének ft irányát az 1.a ábra szerint határozhatjuk meg. A háromszögeket a tér egy pontjába tolva úgy, hogy ott egy egymásnak megfelelő pontpár, az A1 és A2 fedésbe kerüljön, a két háromszög egy forgatással fedésbe hozható. A forgatás ft tengelye áthalad az A1 =A ponton. Az 2 ft
forgástengely a C1 és C2 szakasz felezőmerőleges síkjának, illetve a B1 és B2 szakasz felezőmerőleges síkjának a metszésvonala. A ct csavartengely párhuzamos lesz az ft
forgástengellyel. A csavartengely pontos helyének meghatározásához az eredeti helyzetben lévő háromszögeket az ft forgástengellyel párhuzamosan egy ft -re merőleges Ks síkra vetítjük.
Mivel ezzel a síkkal az A1B1C1 és A2B2C2 egybevágó háromszögek síkjai egyenlő szöget zárnak be, a vetületeik is egybevágók lesznek. A Ks síkban az egybevágó vetület háromszögek egy O pont körül φ szöggel egymásba forgathatók. A csavarodás tengelye az O ponton áthaladó, ft -vel párhuzamos ct egyenes. Az 1.b ábrán a háromszögek síkjai a ct
tengelyt a T1 és T2 pontokban metszik. A T1 és T2 között p·φ az eltolás mértéke. Az A2B2C2
18
háromszöget az eltolás mértékével elmozgathatjuk az A1φB1φC1φ közbenső helyzetbe, amely az A1B1C1 helyzetbe a ct körüli, φ szöggel történő forgatással vihető.
1.a ábra. A csavarodás tengelyének iránya 1.b ábra. A csavarodás tengelye Az eredő mozgás az A1, B1 és C1 pontok által leírt csavarvonalakat követi, a csavarvonalak közös tengelye ct , közös paramétere p. (Ha a φ szöggel történő forgatás helyett φ+2nπ szöggel való forgatást értelmezünk, akkor az eltolás állandó mértéke mellet más és más emelkedésű csavarvonalakkal kapunk megoldást.)
2. AXOIDOK
Egy Σ1 merev térrendszernek a Σ0 merev térrendszerhez viszonyított mozgása egy momentán csavarmozgás. A momentán csavarmozgást a c10 momentán csavartengelynek a rendszerekben elfoglalt momentán helyzete, a Σ1 rendszernek a Σ0-hoz viszonyított ω10
momentán szögsebessége és a p10≠0 momentán csavarparamétere határozza meg. Ha a c10
csavartengelynek a rendszerekben elfoglalt helyzete, a ω10 szögsebesség és a p10≠0 csavarparaméter mindegyike állandó, akkor elemi a csavarmozgás. Ekkor a Σ1 rendszer ∞3 számosságúpontja a Σ0 rendszerben ∞2 számosságú pályacsavarvonalat ír le.
2.1. Axoid párok
Ha egy Σ1 és egy Σ2 térrendszer relatív mozgást végez, akkor ezen relatív mozgás momentán tengelyei a Σ1-ben egy α1, Σ2-ben egy α2 vonalfelületet, úgynevezett axoidot alkotnak. Az axoidok mindig párosan, azaz kapcsoltan (konjugáltan) lépnek fel.
Az állvány Σ0 térrendszerében c10 tengellyel, ω10 szögsebességgel és a p10 paraméterrel csavarmozgást végző Σ1 térrendszernek és az ugyancsak a Σ0 térrendszerében c20 tengellyel, ω20 szögsebességgel és a p20 paraméterrel csavarmozgást végző Σ2 térrendszernek relatív mozgása általában momentán csavarmozgásokból álló folytonos mozgás. A momentán csavartengelyek a Σ1-ben az α1, a Σ2-ben az α2 axoidot alkotják, melyek egymáson csúszva gördülő torzcsavarfelületek. Speciális esetekben az axoid párok egyike lehet forgáshenger,
19
forgáskúp, forgási torzhiperbolloid, zárt vagy nyílt, éles vagy lapos torzcsavarfelület, kifejthető csavarfelület. [2]
3. MÁSODRENDŰ GÖRDÜLŐ FELÜLETEK A PROJEKTÍV TÉRMODELLBEN
A tér minden pontjához hozzárendelünk egy valós számokból álló rendezett (x1, x2, x3, x4) számnégyest, melyre rang (x1, x2, x3, x4) = 1 teljesül, azaz a koordináták mindegyike egyszerre nem nulla (≠ 0). Két pont akkor és csak akkor egyenlő, ha megfelelő koordinátáik egymás skalárszorosai.
A projektív tér másodrendű felületére illeszkedő pontjainak homogén koordinátái teljesítik az aIK∙ xI ∙ xK=0 (I, K= 1, 2, 3, 4) (1) egyenletet.
Projektív transzformációk egymás utáni alkalmazásával mindig elérhető, hogy a másodrendű felület szimmetrikussá tehető mátrixának csak a főátlóban legyenek 0-tól különböző elemei, amik +1 és –1 lehetnek. A másodrendű felület mátrixának R rangja és S szignatúrája a projektív transzformációval szemben invariáns. Az R=3 és S=1 esetén homogén koordinátákkal a felület x12+x22-x32=0, mely az euklideszi térben x2+y2-z2=0. A valós kúpfelület osztályába tartozik a hengerfelület is, ami azt jelenti, hogy a projektív térmodellben ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkeznek.
A másodrendű felület mátrixalakja
XTAX=0 (2)
ahol XT az X mátrix transzponáltja.
3.1.Centrális kollineációs kapcsolat
A Dudás-féle kinematikai matematikai modell [3, 4] felhasználásával az euklideszi térmodellt kiegészítve a végtelen távoli síkkal, a projektív térmodellben centrális kollineációs kapcsolatba helyezzük el a gördülő kúpot és a gördülő hengert a 2. ábrán látható módon.
2. ábra. A gördülő kúp és gördülő henger közti centrális kollineációs kapcsolat [10]
A projektív térmodellben a henger egy végtelen távoli csúcsponttal rendelkező kúp. A két felület közötti centrális kollineációs kapcsolat létrehozásához a forgáskúpot és a forgáshengert a közös z tengelyen helyezzük el az alábbi megfeleltetéssel: a z tengelyen a kúp végesben lévő Mk csúcspontja és a henger végtelen távoli Mh csúcspontja egymás megfelelői, a kúp és a henger közös körének síkja a centrális kollineáció As fix alapsíkja, C centruma pedig az alapsík tengelypontján, valamint a kúp és henger csúcspontján kívül a tengely bármely pontja lehet. Az egymásnak megfelelő Ph hengerpontot és Pk kúppontot összekötő
20
egyenes a C centrumon megy keresztül. Az eltűnési síkokra fennáll az a tény, hogy amilyen távol van az egyik eltűnési sík a centrumtól, olyan távol van a másik eltűnési sík az alapsíktól.
Az Ek kúp eltűnési síkja illeszkedik a kúp Mk csúcspontjára. (2. ábra).
A Chk centrális kollineáció esetén a kúpról a hengerre való áttérés esetén a XTKX=(XTCT)H(CX) =XT{CTHC}X teljesül.
A projektív térmodellben elhelyezett gördülőfelületek közötti kapcsolat felírása után a csavarfelületeket forgómozgással, illetve tangenciális és radiális eltolással az euklideszi térben hozzuk létre, mivel annak transzformációcsoportja a mozgás.
Ezen modell felfogásban változó tengelytáv (aop1) esetén a geometriailag helyes gyártás lehetséges a kúpos csavarfelületeknek megmunkálása esetén.
Az ívelt profilú hengeres csiga hajtás hordkép vizsgálata lokalizációs céllal történik [3, 4, 5, 6, 10]. A projektív térmodellben történő értelmezéssel az ívelt profilú hengeres csiga hajtás vizsgálata során a kapcsolódás tengelyein a csomópontok helye pontosan meghatározható a korábban alkalmazott iterációs közelítő eljárások helyett, így a tervezőnek – a karakterisztikák feltárása nélkül is – már előtervezéskor lehetősége van tájékozódni a hordképről (lokalizáció).
4. ÖSSZEGZÉS
A Dudás- féle Pro-Mat matematikai modellt felhasználva a gördülő kúp és henger felületek (axoidok) elemzése során a centrális kollineációs kapcsolatba helyezés a pontos gyártást, a projektív térmodellben értelmezés az ívelt csigahajtás a hordkép lokalizációját támogatja.
5. FELHASZNÁLT IRODALOM
[1] BALAJTI, Zs., ÁBEL, J.: Applying projective geometry in design of worm manufacturing, KEY ENGINEERING MATERIALS 581: pp.: 77-81. (2014) 7th International Congress of Precision Machining, ICPM 2013. Miskolc, Magyarország: 2013.10.03 -2013.10.05. Link(ek):
DOI, Scopus
[2] DRAHOS, I.: A szerszámgeometria mozgásgeometriai alapjai, Miskolc, 1972., p. 100
[3] DUDÁS, I.: The Theory Practice of Worm Gear Drives, Kogan Page US, Sterling, USA, ISBN 1 9039 96619 9, 2004., p. 320
[4] DUDÁS, I.: The extension of the general mathematical model developed for helicoidal surfaces to the whole system of manufacturing technology and production geometry (ProMAT), The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Springer, London, Print ISSN 0268-3768. Sept. 2016. Volume 86. Issue 5–8. pp. 1557–1572.
[5] FORGÓ, Z., KAKUC,S A., MÁTÉ, M., TOLVALY-ROSCA, F.: Development of Helical Teethed Involute Gear Meshed with a Multi-Edge Cutting Tool Using a Mixed Gear Teeth Modeling Method, Elsevier Procedia Engineering, Vol. 5, No 2, 2017, ISSN 1877-7058, pp. 1–
6.
[6] LITVIN, F. L., FUENTES, A.: Gear Geometry and Applied Theory, Cambridge University Press, 2004., ISBN 978 0 521 81517 8
[7] PETRICH, G.: Ábrázoló geometria, Budapest, 1979, p.: 413, ISBN 963 17 3814 0
[8] RACHKOVSKAYA, GALINA, S., KHARABAYEV, YURIJ N.: Geometric modeling and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of complex moving one axoid along another (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids. WSCG 2009, 17-th
International Conference on
Computer Graphics, Visualization and Computer Vision, pp.: 31-34, ISBN978-80-86943-95-4 [9] STROMMER. GY.: Geometria, Budapest, 1988, p.:720, ISBN 963 18 5312 8
[10] BALAJTI ZS.: Kapcsolódó felületpárok gyártásgeomeriai fejlesztése, ábrázoló geometriai alkalmazással, Habilitációs Tézisfüzet, Miskolc, 2016., p.: 80
21