V´ eges dimenzi´ os val´ os affin terek

Olyan fogalmakat tekint¨unk ´at, amelyeket csak a val´os test f¨ol¨otti affin te-rekben ´ertelmez¨unk, mert defin´ıci´ojukban felhaszn´aljuk a val´os sz´amok ren-dez´es´et vagy topol´ogi´aj´at. Ezek k¨oz´e a fogalmak k¨oz´e tartozik az ir´any´ıt´as, a f´elt´er (azaz a hipers´ıkkal val´o elv´alaszt´as), a korl´atoss´ag ´es a folytonoss´ag.

Ebben a szakaszban feltessz¨uk, hogy F = R, ´es hogy az ´altalunk vizsg´alt affin terek dimenzi´oja v´eges. A dimenzi´ot, mint kor´abban is,djel¨oli.

1.8.1. Defin´ıci´o (Affin t´er ir´any´ıt´asa).Az (X, V,Φ) affin t´er ir´any´ıt´as´an aV val´os vektort´er ir´any´ıt´as´at ´ertj¨uk. Teh´atX ir´any´ıtott affin t´err´e v´alik, ha kit¨untetj¨uk a V-beli rendezett b´azisok egyik ir´any´ıt´asi ekvivalenciaoszt´aly´at

´es pozit´ıv ir´any´ıt´as´unak deklar´aljuk.

A term´eszetes affin strukt´ur´aval ell´atottR^daffin teret aze₁,. . .,e_dstandard b´azis oszt´aly´anak kiv´alaszt´as´aval ir´any´ıtottnak tekintj¨uk.

J´ol ismert, hogy az elemi geometri´aban a s´ık ir´any´ıt´as´at a h´aromsz¨ogek k¨ o-r¨ulj´ar´as´aval lehet szeml´eltetni. Ezt ´altal´anos´ıtja tetsz˝oleges dimenzi´o eset´ere a k¨ovetkez˝o fogalom.

1.8.2. Defin´ıci´o (Pozit´ıv affin b´azis). LegyenX ir´any´ıtott affin t´er. Po-zit´ıv ir´any´ıt´as´unak (vagy pozit´ıvnak) mondunk egy X-beli A0, A1, . . ., Ad

rendezett affin b´azist, ha az−−−→

A0A1,. . .,−−−→

A0Advektorok pozit´ıv b´azist alkotnak V-ben. Ellenkez˝o esetben a rendezett affin b´azist negat´ıvnak nevezz¨uk.

1.8.3. ´All´ıt´as.LegyenA0,A1,. . .,Adpozit´ıv affin b´azis azX ir´any´ıtott affin t´erben. Az ugyanezen pontok egy σ ∈ Sd+1 permut´aci´oj´aval kapott A_σ(0), A_σ(1),. . .,A_σ(d) affin b´azis pontosan akkor pozit´ıv, haσp´aros permut´aci´o.

Bizony´ıt´as : El´eg ellen˝orizni, hogy b´armely transzpoz´ıci´o v´egrehajt´asa egy affin b´azist ellent´etes ir´any´ıt´as´u affin b´azisba visz. Haσ(0) = 0, akkor ez (´es az ´all´ıt´as is) mag´at´ol ´ertet˝od˝o az 1.8.2. Defin´ıci´o alapj´an. Tegy¨uk fel teh´at, hogy σ = (0, i) valamilyen 1 ≤i ≤ d mellett ´es hasonl´ıtsuk ¨ossze a V-beli aj = −−−→

A0Aj (j = 0, . . . , d) b´azist a (0, i) transzpoz´ıci´o v´egrehajt´asa ut´an nyert −−−→

A_iA_j = a_j −a_i (j = 1, . . . , i−1), −−−→

A_iA₀ = −a_i, −−−→

A_iA_j = a_j −a_i (j = i+ 1, . . . , d) b´azissal. L´athat´o, hogy az ut´obbi b´azist az el˝obbib˝ol az

i-edik b´azisvektornak a t¨obbib˝ol val´o kivon´asa, ´es azi-edik b´azisvektor (−1)-gyel val´o szorz´asa ´utj´an kapjuk. Az ut´obbi b´azis teh´at az el˝obbivel ellent´etes ir´any´ıt´as´u.

1.8.4. Defin´ıci´o (Ir´any´ıt´astart´as ´es -v´alt´as). Legyenf :X →X⁰ affin izomorfizmus azX ´esX⁰ affin terek k¨oz¨ott. Azt mondjuk, hogyf ir´any´ıt´ as-tart´o, haL(f) : V → V⁰ ir´any´ıt´astart´o line´aris izomorfizmus (azaz pozit´ıv V-beli b´azist pozit´ıv V⁰-beli b´azisba visz). Egy´ebk´entf-et ir´any´ıt´asv´alt´onak nevezz¨uk. Azf :X →X⁰ affin izomorfizmus nyilv´an aszerint ir´any´ıt´astart´o, illetve ir´any´ıt´asv´alt´o, hogy valamely (vagy ami ezzel egyen´ert´ek˝u, b´armely) X-beli pozit´ıv affin b´azisnak az f-n´el sz´armaz´o k´epe pozit´ıv, illetve negat´ıv affin b´azisX⁰-ben.

Azf :X →Xaffinit´asok k¨oz¨ott az ir´any´ıt´astart´ok pontosan azok, amelyekre detL(f)>0. Ebben az esetben (amikorX =X⁰) az, hogyf ir´any´ıt´astart´ o-e vagy so-em, no-em f¨ugg az X-beli ir´any´ıt´as v´alaszt´as´at´ol. Teh´at az affinit´ a-sok k¨or´eben an´elk¨ul is besz´elhet¨unk ir´any´ıt´astart´asr´ol, -v´alt´asr´ol, illetve affin b´azisok egym´assal megegyez˝o vagy ellent´etes ir´any´ıt´as´ar´ol, hogy a t´er ir´ a-ny´ıt´as´at r¨ogz´ıtett¨uk volna. AzX affin t´er ir´any´ıt´astart´o affinit´asai 2 index˝u r´eszcsoportot alkotnak az Aff (X) csoportban, amelyet Aff⁺(X)-szel jel¨ol¨unk.

1.8.5. P´eld´ak.

• B´armely eltol´as ´es b´armely pozit´ıv ar´any´u homot´ecia ir´any´ıt´astart´o. A negat´ıv ar´any´u homot´eci´ak csak p´aros dimenzi´os affin t´erben ir´any´ıt´ as-tart´ok.

• Legyen τ ∈ Aff (X) egy Y ⊆ X affin alt´erre vonatkoz´o (valamilyen ir´any´u) affin szimmetria. A τ affinit´as pontosan akkor ir´any´ıt´astart´o, ha dimX −dimY p´aros. Speci´alisan a hipers´ıkokra vonatkoz´o affin szimmetri´ak ir´any´ıt´asv´alt´ok, a k¨oz´eppontos szimmetri´ak pedig p´aros dimenzi´os affin t´erben ir´any´ıt´astart´ok, p´aratlan dimenzi´os t´erben ir´ a-ny´ıt´asv´alt´ok.

1.8.6. Defin´ıci´o (F´elt´er). Legyen dimX ≥ 1 ´es H ⊂ X hipers´ık. V´ a-lasszunk olyans∈X^• affin form´at, hogyH =Z(s). AH hipers´ık hat´arolta z´art f´elt´ernek nevezz¨uk az {A ∈ X : s(A) ≤ 0} ´es az {A ∈ X : s(A) ≥

≥0} halmazt, ny´ılt f´elt´ernek pedig ezekX-beli komplementereit. Az 1.2.5.

All´ıt´´ as utols´o mondat´ara hivatkozva, aH ´altal hat´arolt f´elterek val´oban csak a H hipers´ıkt´ol f¨uggnek, nem pedig s v´alaszt´as´at´ol. Egydimenzi´os t´erben a f´eltereket f´elegyeneseknek, k´etdimenzi´osban pedig f´els´ıkoknak nevezz¨uk.

A H hipers´ık ´altal hat´arolt k´et z´art f´elt´er lefediX-et ´es a k¨oz¨os r´esz¨uk H. A k´et ny´ılt f´elt´er diszjunkt, ´es egy¨utt lefedik H komplementer´et. HaY ⊆X

affin alt´er, melyreYh|Hnem teljes¨ul, akkorH∩Y hipers´ıkY-ban ´es az ´altala hat´arolt Y-beli (z´art, illetve ny´ılt) f´elterek ´eppen a H ´altal hat´aroltX-beli (z´art, illetve ny´ılt) f´elterek metszeteiY-nal. Ez r¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy H=Z(s),s∈X^• eset´ens|Y affin formaY-on ´esH∩Y =Z(s|Y).

1.8.7. ´All´ıt´as.R¨ogz´ıts¨unk egyA0,. . .,A_d−1 affin b´azist aH ⊂X hipers´ık sz´am´ara. A t´er tetsz˝olegesAd, A⁰_d∈/ H pontjai pontosan akkor esnek ugyan-abba aH hat´arolta ny´ılt f´elt´erbe, ha azA0,A1,. . .,Ad´es azA0,A1,. . .,A⁰_d affin b´azisok megegyez˝o ir´any´ıt´as´uak.

Bizony´ıt´as :LegyenH =Z(s) valamilyens∈X^•affin form´aval, ´es v´alasszunk transzform´al´o m´atrix determin´ansas(A⁰_d)/s(A_d), ami pontosan akkor pozit´ıv, haA_d´esA⁰_d ugyanabba aH hat´arolta ny´ılt f´elt´erbe esik.

Megjegyz´es.Az 1.8.7. ´All´ıt´asb´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy ir´any´ıtott affin t´ er-ben egyH hipers´ık ir´any´ıt´asa valamelyik H hat´arolta f´elt´er kiszemel´es´evel egyen´ert´ek˝u. K´ezenfekv˝o egy f´elt´er ir´any´ıt´as´an az eg´esz t´er ir´any´ıt´as´at ´erteni.

Ezek ut´an meg´allapodhatunk abban, hogy egy ir´any´ıtott f´elt´er olyan m´odon sz´armaztatja a hat´arol´o hipers´ıkja ir´any´ıt´as´at, hogy azokat a hipers´ıkbeli ren-dezett affin b´azisokat tekintj¨uk pozit´ıvnak, amelyeket a befoglal´o t´er pozit´ıv b´azis´av´a eg´esz´ıt¨unk ki azzal, hogy valamely a (ny´ılt) f´elt´erb˝ol v´alasztott pon-tot a t¨obbi ut´an sorolunk.

1.8.8. Defin´ıci´o (Korl´atos halmaz).A v´eges dimenzi´os, val´osX affin t´er egyT r´eszhalmaz´at korl´atosnak mondjuk, ha b´armelys∈X^• affin form´aval azs(T)⊆Rsz´amhalmaz korl´atos.

Nyilv´an korl´atos halmaz b´armely r´eszhalmaza is korl´atos, tov´abb´a v´eges sok X-beli korl´atos halmaz egyes´ıt´ese is korl´atos. B´armely f : X → X⁰ affin lek´epez´esn´el korl´atosX-beli r´eszhalmaz k´epe is korl´atosX⁰-ben, hiszenT ⊆

⊆X ´ess⁰ ∈(X⁰)^• melletts⁰ f(T)

= (s⁰◦f)(T), ´es itt s⁰◦f ∈X^•.

AzX =R^d esetben az itt defini´alt korl´atoss´ag nyilv´an egybeesik azR^d ko-ordin´atat´erben haszn´alt szok´asos korl´atoss´agfogalommal. Emiatt – felhasz-n´alva, hogy tetsz˝oleges X-re az X-beli affin koordin´atarendszerek affin izo-morfizmusokX ´esR^dk¨oz¨ott – meg´allap´ıthatjuk, hogyX egyT r´eszhalmaza akkor ´es csak akkor korl´atosX-ben, ha b´armely (vagy ak´ar csak egyetlen)x: :X →R^daffin koordin´atarendszer mellett azx(T) halmaz korl´atosR^d-ben.

A v´eges dimenzi´os val´os affin terekben term´eszetes (koordin´at´az´ast´ol f¨ ugget-len) ´ut k´ın´alkozik lek´epez´esek folytonoss´ag´anak az ´ertelmez´es´ere. Ehhez olyan fogalmakat kell tiszt´azni, mint az affin t´erben fekv˝o r´eszhalmazok ny´ılt,

illet-ve z´art volta, pontok k¨ornyezetei, halmazok belseje, illetve lez´ar´asa. Ezeket a fogalmakat tekintj¨uk a t´er topol´ogiai viszonyainak.

1.8.9. Defin´ıci´o (Ny´ılt ´es z´art halmazok, term´eszetes topol´ogia).

Az X affin t´er egy r´eszhalmaz´at ny´ıltnak mondjuk, ha el˝o´all´ıthat´o olyan halmazok egyes´ıt´esek´ent, amelyek mindegyike v´eges sok ny´ılt f´elt´er metszete.

AzX-beli ny´ılt halmazok rendszer´ere ´erv´enyesek az al´abbi tulajdons´agok : – ∅´esX ny´ılt halmazok,

– b´armely v´eges sok ny´ılt halmaz metszete is ny´ılt, – tetsz˝olegesen sok ny´ılt halmaz egyes´ıt´ese is ny´ılt.

A ny´ılt halmazok ´ıgy defini´alt rendszer´et az affin t´er term´eszetes topol´

ogi-´

aj´anak szok´as nevezni. Z´artnak mondjuk X egy r´eszhalmaz´at, ha az X-re vonatkoz´o komplementere ny´ılt halmaz.

P´eld´aul a ny´ılt f´elterek ny´ılt halmazok, a z´art f´elterek z´artak az 1.8.9. Defi-n´ıci´o ´ertelm´eben is.

K¨onny˝u meggondolni, hogy ha Y ⊆X affin alt´er, akkor azY-beli ny´ılt hal-mazok pontosan azY ∩U alak´u halmazok, aholU ny´ılt halmaz X-ben.

1.8.10. Defin´ıci´o (Pontok k¨ornyezetei). Azt mondjuk, hogy egyA∈X pontnak egyX-beliKr´eszhalmaz k¨ornyezeteX-ben, ha l´etezik olyanU ⊆X ny´ılt halmaz, amelyreA∈U ⊆K. (Meggondolhat´o, hogy ezzel egyen´ert´ek˝u defin´ıci´ot kapn´ank, haU-r´ol megk¨oveteln´enk, hogy el˝o´all´ıthat´o legyen v´eges sokX-beli ny´ılt f´elt´er metszetek´ent.)

1.8.11. Defin´ıci´o (Bels˝o pont, hat´arpont, lez´ar´as). Legyen S ⊆ X. A t´er egy A pontj´at az S halmaz bels˝o pontj´anak mondjuk, ha S az A-nak k¨ornyezete. Az S halmaz belsej´en azS bels˝o pontjai ´altal alkotott intS halmazt ´ertj¨uk. AB∈X pontotS hat´arpontj´anak mondjuk, haB b´armely K k¨ornyezet´ere K∩S 6=∅ ´esK−S 6= ∅ teljes¨ul. Az S halmaz hat´ar´anak nevezz¨uk az S hat´arpontjaib´ol ´all´o ∂S halmazt. Az S halmaz lez´ar´as´anak mondjuk azS=S∪∂Shalmazt.

Az al´abbi tulajdons´agok k¨onnyen meggondolhat´ok : – intS a legb˝ovebbS-ben fekv˝o ny´ılt halmaz, – ∂S=X− intS∪int(X−S)

,

– S a legsz˝ukebbS-et tartalmaz´o z´art halmaz, – S=X− int(X−S)

,

– egy halmaz akkor ´es csak akkor ny´ılt, ha azonos a belsej´evel, – egy halmaz akkor ´es csak akkor z´art, ha azonos a lez´ar´as´aval.

1.8.12. Defin´ıci´o (Konvergens pontsorozat, limesz).AzX-beliAn(n∈

∈N) pontsorozatot konvergensnek nevezz¨uk, ´es azA∈X pontot a sorozat limesz´enek mondjuk (jelben :An →A), haA-nak b´armely k¨ornyezete a soro-zat elemeit v´eges sok kiv´etellel tartalmazza.

K¨onnyen meggondolhat´o, hogy b´armely S ⊆ X r´eszhalmazra S pontosan az S-beli konvergens sorozatok limeszeib˝ol ´all, tov´abb´a egy pont akkor ´es csak akkor tartozik ∂S-hez, ha el˝o´all S-ben fekv˝o sorozat limeszek´ent is ´es (X−S)-ben fekv˝o sorozat limeszek´ent is.

1.8.13. Defin´ıci´o (Folytonos lek´epez´es).LegyenekX ´esX⁰ v´eges dimen-zi´os val´os affin terek ´es f : X → X⁰ tetsz˝oleges lek´epez´es. Azt mondjuk, hogy f folytonos az A ∈ X pontban, ha az f(A) ∈ X⁰ pontnak b´armely K⁰ ⊆ X⁰ k¨ornyezet´ehez tal´alhat´o az A pontnak olyan K ⊆ X k¨ornyezete, amelyref(K)⊆K⁰.

K¨onnyen l´athat´o, hogyf akkor ´es csak akkor folytonos mindenA∈X pont-ban, ha b´armelyU⁰ ⊆X⁰ny´ılt halmazra azf⁻¹(U⁰) halmaz ny´ıltX-ben. En-nek alapj´an azf lek´epez´est folytonosnak mondjuk, ha b´armely ny´ılt halmaz f-n´el sz´armaz´o ˝osk´epe ny´ılt. (Ezzel egyen´ert´ek˝u felt´etel az is, hogy b´armely z´art halmaz ˝osk´epe z´art.)

A ny´ılt halmazokat ny´ılt f´elterekb˝ol sz´armaztattuk metsz´es ´es egyes´ıt´es seg´ıt-s´eg´evel. Halmazok ˝osk´ep´enek k´epz´ese felcser´elhet˝o a metszet ´es az egyes´ıt´es m˝uvelet´evel. Emiatt a folytonoss´ag ut´obbi felt´etel´et elegend˝o volna csak a ny´ılt f´elterekre mintU⁰ halmazokra megk¨ovetelni.

Haf :X→X⁰affin lek´epez´es, akkor tetsz˝olegess⁰ ∈(X⁰)^•affin forma eset´en az{A⁰ ∈X⁰ :s⁰(A⁰)>0}ny´ılt f´elt´er f szerinti ˝osk´epe az{A∈X : s(A)>

>0} halmaz, ahols=s⁰◦f ∈ X^•. Ha s nem konstans, akkor ez a halmaz ny´ılt f´elt´er, egy´ebk´ent pedig vagy∅, vagyX. Emiatt b´armely affin lek´epez´es folytonos.

R¨ogz´ıts¨unk p´eld´aul egy A0, A1, . . ., Ad affin b´azist X-ben ´es ´all´ıtsuk el˝o a P ∈ X pontokat P = λ₀A₀+λ₁A₁+. . .+λ_dA_d affin kombin´aci´ok´ent. Az 1.3.19. ´All´ıt´as ´es az affin form´ak folytonos volta alapj´an a λ_i egy¨utthat´ok folytonosan f¨uggnekP-t˝ol.

Az affin alterek z´art halmazok, hiszen folytonos f¨uggv´enyek (nevezetesen az affin form´ak) z´er´ohalmazaik´ent, illetve ezek metszeteik´ent ´allnak el˝o.

B´armelyH ⊂X hipers´ık azonos b´armelyikH ´altal hat´arolt (ak´ar ny´ılt, ak´ar z´art) f´elt´ernek az 1.8.11. Defin´ıci´o ´ertelm´eben vett hat´ar´aval. Ez p´eld´aul abb´ol

l´athat´o, hogy tetsz˝olegesP∈H ponthoz v´alaszthatunk olyanEegyenest X-ben, hogyP ∈E´esE*H, ekkorE∩H ={P}´es ´ıgyP b´armely k¨ornyezete belemetsz azEegyenes mindk´etPszerinti ny´ılt f´elegyenes´es´ebe, ann´al ink´abb mindk´etH hat´arolta f´elt´erbe.

Megjegyz´es.Altal´´ aban folytonos lek´epez´esn´el z´art halmaz k´epe nem felt´ etle-n¨ul z´art, ´es ny´ılt halmaz k´epe sem felt´etlen¨ul ny´ılt. J´ol ismert t´eny viszont, hogy az R^d-ben fekv˝o korl´atos z´art halmazok folytonos k´epei szint´en kor-l´atosak ´es z´artak. Egy v´eges dimenzi´os val´os affin t´erben fekv˝o r´eszhalmazt kompaktnak nevez¨unk, ha korl´atos ´es z´art. Az ilyen halmazokra nyilv´anval´oan

´

atvihet˝o azR^d-ben fekv˝o korl´atos ´es z´art halmazok anal´ızisb˝ol ismert sz´amos tulajdons´aga. ´Igy p´eld´aul a Bolzano–Weierstrass-f´ele t´etel ´es a Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel is ´erv´enyes affin t´erben : kompakt halmazon ´ertelmezett b´armely folytonos val´os f¨uggv´enynek l´etezik minimuma ´es maximuma, illetve egy kompakt halmazban fekv˝o b´armely pontsorozatb´ol kiv´alaszthat´o olyan r´eszsorozat, amely a halmaz valamely pontj´ahoz konverg´al.

1.8.14. Defin´ıci´o (Homeomorfizmus).Egy bijekt´ıv lek´epez´est, amely foly-tonos, ´es amelynek az inverze is folytonos, homeomorfizmusnak nevez¨unk.

Nyilv´an b´armely affin izomorfizmus egy´uttal homeomorfizmus.

EgyX →X⁰ homeomorfizmus bijekt´ıv megfeleltet´est l´etes´ıt azX-beli, illetve azX⁰-beli ny´ılt halmazok rendszere k¨oz¨ott (azazX´esX⁰topol´ogi´aja k¨oz¨ott).

Ha r¨ogz´ıt¨unk egy x : X → R^d affin koordin´atarendszert, akkor az X-beli ny´ılt halmazokat (´es az ebb˝ol sz´armaztathat´o tov´abbi topol´ogiai fogalmakat) azR^d koordin´atat´erbeli

ρ(x,y) = v u u t

d

X

i=1

(xi−yi)² x= (x1, . . . , xd), y= (y1, . . . , yd)∈R^d t´avols´ag seg´ıts´eg´evel is defini´alhatn´ank : az U ⊆ X halmazt ny´ıltnak ne-vezhetn´enk, ha b´armely A ∈ U ponthoz van olyan ε > 0, hogy q ∈ R^d, ρ x(A),q

< ε eset´en q ∈ x(U). Az al´abbi t´etel alapj´an ezzel a m´ odszer-rel is – f¨uggetlen¨ul a koordin´atarendszer megv´alaszt´as´at´ol – a term´eszetes topol´ogia ny´ılt halmazait kapn´ank. Ez annyit jelent, hogy R^d-nek mint af-fin t´ernek a term´eszetes topol´ogi´aja azonos a fenti ρt´avols´agf¨uggv´eny ´altal sz´armaztatott topol´ogi´aval.

1.8.15. T´etel. Legyen S ⊆ R^d ´esp ∈ S. Az S halmaz akkor ´es csak ak-kor k¨ornyezete p-nek azR^d affin t´er term´eszetes topol´ogi´aja ´ertelm´eben, ha l´etezik olyanε >0, hogyq∈R^d,ρ(p,q)< εeset´enq∈S.

Bizony´ıt´as :Tegy¨uk f¨ol el˝osz¨or, hogySk¨ornyezetep-nek. Ekkor van v´eges sok olyan ny´ılt f´elt´er, amelyek tartalmazz´akp-t ´es amelyek metszeteS-nek r´esze.

LegyenH az egyik ilyen f´elt´er hat´arol´o hipers´ıkja. EkkorH =Z(s)⊂R^d, ahol azs∈(R^d)^• affin forma koordin´at´as alakja s(x) =a1x1+. . .+adxd+ +b (x∈R^d). Miut´an ap= (p1, . . . , pd)∈R^d pont valamelyikH hat´arolta ny´ılt f´elt´erbe esik, s(p) = c 6= 0. Legyen ε = |c|/p

a²₁+. . .+a²_d. Ha most valamilyenq∈R^d-re ρ(p,q)< ε, akkor a Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eget felhaszn´alva

|s(p)−s(q)|=|a1(p1−q1)+. . .+ad(pd−qd)| ≤ q

a²₁+. . .+a²_d·ρ(p,q)<|c|, teh´at q is ugyanabba a ny´ılt f´elt´erbe esik, mint p. Az ´ıgy kiv´alasztott ε-ok legkisebbike megfelel a k´ıv´analmaknak.

Megford´ıtva, ha adott az ε > 0 sz´am, akkor defini´aljuk i = 1, . . . , d-re az s_i∈(R^d)^• ´est_i∈(R^d)^• affin form´akat az s_i(x) =x_i−p_i−p

ε/d, illetve a t_i(x) =x_i−p_i+p

ε/dformul´aval. Azs_i<0 ´es at_i>0 egyenl˝otlens´egekkel defini´alt 2d darab ny´ılt f´elt´ernek pk¨oz¨os pontja. B´armely tov´abbi q k¨oz¨os pontjukra |q_i−p_i| <p

ε/d teljes¨ul minden i-re, ´ıgy ρ(p,q) < ε, ahonnan q∈S. EmiattS k¨ornyezetep-nek.

1.8.16. ´All´ıt´as.B´armely sz¨urjekt´ıv affin lek´epez´es ny´ılt lek´epez´es, azaz ny´ılt halmazt ny´ılt halmazba visz.

Bizony´ıt´as :Az 1.1.10-beli els˝o p´elda alapj´an lineariz´al´as ´es alkalmas koordi-n´atarendszer bevezet´ese ut´an csak azt kell meggondolni, hogyk ≤deset´en azr:R^d→R^k vet´ıt´es ny´ılt lek´epez´es.

Legyen teh´atU ⊆R^dny´ılt ´esq∈r(U), be kell l´atnunk, hogy azr(U) halmaz k¨ornyezeteq-nak. V´alasszunkp= (p₁, . . . , p_d)∈U-t ´ugy, hogyr(p) =q. Az 1.8.15. T´etel miatt alkalmasε-nal appontε-k¨ornyezete r´eszeU-nak. Ha most y∈R^k ´esρ(q,y)< ε, akkor azx= (y, pk+1, . . . , pd)∈R^d pontraρ(p,x) =

=ρ(q,y)< ε, ez´ertx∈U, tov´abb´a r(x) =y, ahonnany∈r(U).

Megjegyz´es.Egy´eb testek feletti v´eges dimenzi´os affin tereken is ´ertelmezhet˝o term´eszetes topol´ogia az X =X_A =V =F^d azonos´ıt´as ´utj´an, valah´anyszor azF test alaphalmaz´an adott egy olyan topol´ogia, amelyre n´ezve a testbeli m˝uveletek folytonosak. Szok´as ilyen m´odon p´eld´aul a komplex affin tereket is topol´ogi´aval ell´atni. Egy (X, V,Φ) d-dimenzi´os komplex affin t´er topol´ o-gi´aj´anak egy

”term´eszetes” sz´armaztat´asa ad´odik abb´ol, hogy aV vektort´er 2d-dimenzi´os vektort´ernek tekinthet˝o a val´os test f¨ol¨ott, ´es ´ıgy (X, V,Φ) au-tomatikusan 2d-dimenzi´os val´os affin t´er.

In document Geometria (Pldal 68-75)