4. Euklideszi terek ´ es transzform´ aci´ oik
4.5. Az ortogon´ alis csoportok szerkezete
attekintve a felsorolt esetek ad´odnak.
Megjegyz´es.Ir´any´ıt´assal ell´atott s´ıkban a pont k¨or¨uli forgat´asok sz¨oge el˝ oje-lesen ´ertelmezhet˝o, ´es ´ert´eke modulo 2πval´os sz´am. Ir´any´ıt´assal ell´atott h´ a-romdimenzi´os t´erben a forg´astengely ir´any´ıt´as´ara is sz¨uks´eg van ahhoz, hogy az egyenes k¨or¨uli forgat´as sz¨og´enek el˝ojelet tulajdon´ıthassunk (a
”jobbk´ ez-szab´aly” seg´ıts´eg´evel). Teh´at az ir´any´ıtott t´erbeli ir´any´ıtott egyenesek k¨or¨uli forgat´asok sz¨oge a s´ıkbeli esethez hasonl´oan modulo 2πval´os sz´am. Az, hogy a forgat´as sz¨og´et el˝ojelesen tekintj¨uk-e vagy sem, a csoportbeli konjug´alts´ ag-gal is kapcsolatban van. Tekints¨uk p´eld´aul azRα, Rβ ∈ O(2) forgat´asokat.
Ezek akkor ´es csak akkor konjug´alt elemek azO(2) csoportban, haα≡ ±β (modulo 2π). Viszont azSO(2) r´eszcsoportban pontosan akkor konjug´altak, ha egyenl˝ok (hiszenSO(2) kommutat´ıv), azaz haα≡β (modulo 2π).
4.5. Az ortogon´ alis csoportok szerkezete
Az euklideszi vektorterekhez tartoz´o ortogon´alis csoportok mind algebrai, mind topol´ogiai ´es geometriai szempontb´ol a leg´erdekesebb matematikai ob-jektumok k¨oz´e tartoznak. Az al´abbiakban ´attekintj¨uk legfontosabb tulajdon-s´agaikat. A dimenzi´o n¨ovekedt´evel ezek a tulajdons´agok egyre nehezebben felt´erk´epezhet˝ok, ez´ert legt¨obb meg´allap´ıt´asunk az alacsony dimenzi´os ese-tekre vonatkozik. A h´arom-, illetve n´egydimenzi´os esetben ehhez a kvater-ni´ok algebrai strukt´ur´aja szolg´al hat´ekony eszk¨ozzel. R¨ogz´ıtett koordin´
ata-rendszerben dolgozunk, ez´ert konkr´etan a standard euklideszi t´erhez tartoz´o O(d) ´esSO(d) csoportokat vizsg´aljuk.
AzO(d) csoport azRd×d=Rd2 euklideszi t´er r´eszhalmaza, ez´ert topol´ogiai tulajdons´agokat ¨or¨ok¨ol a befoglal´o t´erb˝ol. Miut´an a m´atrixm˝uveletek folyto-nos lek´epez´esek,O(d) ´un. topologikus csoport.
4.5.1. Topol´ogiai ´eszrev´etelek :
• O(d) kompakt halmaz, hiszen z´art ´es korl´atosRd2-ben.
• AzO(d) halmaz nem ¨osszef¨ugg˝o, hiszen det :O(d)→ {±1} folytonos
´es sz¨urjekt´ıv lek´epez´es.
• Az SO(d) r´eszcsoport ´utszer˝uen ¨osszef¨ugg˝o. Ezt a 4.4.1-beli blokkfel-bont´as seg´ıts´eg´evel lehet bel´atni azt felhaszn´alva, hogy a t 7→ Rtαi (t∈[0,1]) folytonos ´ut ¨osszek¨oti az
1 0 0 1
identikus m´atrixblokkot az Rαi m´atrixblokkal.
• Topologikus csoportban egy r´eszcsoport szerinti mell´ekoszt´alyok mind homeomorfak, hiszen a csoportbeli eltol´asok homeomorfizmusok. Emi-attO(d)-nek k´et ´utszer˝uen ¨osszef¨ugg˝o komponense van, amelyek k¨oz¨ul SO(d) az, amelyik az egys´egelemet tartalmazza (a csoport ´un.
”egys´ eg-komponense”).
4.5.2. ´All´ıt´as.O(d) =SO(d)oZ2 szemidirekt szorzat.
Bizony´ıt´as :AzSO(d) r´eszcsoport norm´aloszt´o, mert az indexe 2. Szemidirekt kieg´esz´ıt˝o gyan´ant tetsz˝oleges m´asodrend˝u ir´any´ıt´asford´ıt´o line´aris izometria v´alaszthat´o ; erre a legk´ezenfekv˝obb v´alaszt´as Z2 ={I, σH}, ahol H tetsz˝ o-leges line´aris hipers´ık.
4.5.3. ´All´ıt´as.AzO(d)csoport centruma{±I}.
Bizony´ıt´as : Nyilv´an {±I} a centrumhoz tartozik ; megmutatjuk a ford´ıtott tartalmaz´ast. Tegy¨uk f¨ol, hogyA∈O(d) felcser´elhet˝oO(d) minden elem´evel,
´ıgy speci´alisan σH-val is b´armely H line´aris hipers´ıkra. Minden x ∈ H-ra σHAx =AσHx = Ax, azaz Ax ∈ H. Teh´at A-nakH invari´ans altere. Vi-szont ekkorAskal´arszorzat-tart´asa miattH⊥ is invari´ans altereA-nak, azaz H (b´armely) norm´alvektora A-nak saj´atvektora. ´Igy teh´at A-nak minden nemz´erus vektor saj´atvektora, amib˝ol k¨ovetkezik, hogyAcsak skal´arm´atrix lehet. Miut´anAt´avols´agtart´o, ez a skal´ar csak±1 lehet.
4.5.4. K¨ovetkezm´eny. Hadp´aratlan, akkor O(d) izomorf az SO(d)×Z2 direkt szorzattal, hadp´aros, akkor nem.
Bizony´ıt´as : Egy csoportban egy 2 rend˝u r´eszcsoport csak ´ugy lehet norm´ al-oszt´o, hogy a centrumhoz tartozik. Ez´ertSO(d)-nek akkor ´es csak akkor van direkt kieg´esz´ıt˝oje O(d)-ben, ha l´etezik olyan m´asodrend˝u elem O(d) cent-rum´aban, amely nem tartozik SO(d)-hez. Ez az elem 4.5.3 szerint csak −I lehet, ´es det(−I) = (−1)d miatt−I /∈SO(d) pontosan akkor teljes¨ul, had p´aratlan.
4.5.5. Algebrai ´eszrev´etelek :
Sorra vessz¨ukd≤3 mellett azO(d) csoport legegyszer˝ubb algebrai tulajdon-s´agait.
• d= 1 :
O(1) ={±1} ∼=Z2,SO(1) ={1}.
• d= 2 :
SO(2) Abel-csoport ´es izomorf a komplex egys´egk¨or multiplikat´ıv cso-portj´aval. Az O(2)−SO(2) mell´ekoszt´aly csupa m´asodrend˝u elemb˝ol
´ all.
• d= 3 :
4.5.4 miattO(3)∼=SO(3)×Z2. 4.5.6. T´etel.SO(3)egyszer˝u csoport.
Bizony´ıt´as : A t´etel bizony´ıt´as´aban kulcsszerepet j´atszanak SO(3) bizonyos elemei, m´egpedig az egyenesre vonatkoz´o ortogon´alis szimmetri´ak (azaz a t´erbeli π sz¨og˝u forgat´asok). A sz´ohaszn´alat egyszer˝us´ıt´ese v´egett nevezz¨uk ezeket f´elfordulatoknak. El˝orebocs´atunk h´arom ´eszrev´etelt a f´elfordulatokkal kapcsolatban.
1. A f´elfordulatok gener´atorrendszert alkotnakSO(3)-ban. Val´oban, 4.4.3 szerint SO(3) minden eleme forgat´as, ´es b´armely α sz¨og˝u t´erbeli for-gat´as el˝o´all k´et a tengely´ere mer˝oleges s´ıkban fekv˝o ´es egym´assal α/2 sz¨oget alkot´o tengely˝u f´elfordulat szorzatak´ent.
2. B´armely k´et f´elfordulat konjug´alt azSO(3) csoportban. Val´oban, ha egy t´erbelif izometria azLegyenest azM egyenesre k´epezi, akkor azf-fel t¨ort´en˝o konjug´al´as az L k¨or¨uli f´elfordulatot azM k¨or¨uli f´elfordulatba viszi. (Az is r¨ogt¨on l´atszik, hogy a f´elfordulatok pontosan a m´asodrend˝u elemekSO(3)-ban, ´es egy konjug´altoszt´alyt alkotnak.)
3. HaSO(3) egy heleme valamely L egyenest megford´ıt (azaz h-nak az L-re val´o megszor´ıt´asa k¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´esL-en), akkor hf´ elfordu-lat. Val´oban, a π-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o sz¨og˝u forgat´asok semmilyen egyenest
nem ford´ıtanak meg. ( ´Ugy is okoskodhatunk, hogy a 3×3-as Rα
1
m´atrixnak csakα≡π(mod 2π) eset´en saj´at´ert´eke a −1 sz´am.) R´at´er¨unkSO(3) egyszer˝u volt´anak igazol´as´ara. Legyen adott egyGESO(3) norm´aloszt´o. Tegy¨uk f¨ol, hogy G6= 1, azt kell bel´atnunk, hogy G=SO(3).
Ehhez el´eg egyetlen f´elfordulatot tal´alni G-ben, mert akkor a m´asodik ´ esz-rev´etel miatt az ¨osszes f´efordulatG-ben van, ´es ´ıgy az els˝o ´eszrev´etel miatt G=SO(3).
V´alasszunk egyf ∈SO(3) nemtrivi´alis elemet, ez 4.4.3 miatt forgat´as vala-milyen tengely k¨or¨ul. Azf alkalmas hatv´any´ara ´att´erve feltehet˝o, hogy ennek a forgat´asnak a sz¨oge tompasz¨og. ´All´ıtjuk, hogy l´etezik olyan L egyenes az orig´on ´at, amelyref(L)⊥L. Val´oban, valamelyv ∈R3 nemz´erus vektorra av´esf(v) ´altal bez´art sz¨og folytonosan f¨uggv-t˝ol, felveszi a 0 ´ert´eket is (az f forg´astengely´en), ´es felveszπ/2-n´el nagyobb ´ert´eket is (azf tengely´ere me-r˝oleges s´ıkban). Ez´ert valahol aπ/2 ´ert´eket is felveszi ; v´alasszunk egy ilyen vektortLir´anyvektor´anak.
Jel¨olje g az L egyenes k¨or¨uli f´elfordulatot, ´es tekints¨uk a h = f−1 ◦g ◦
◦f ◦g ∈ SO(3) transzform´aci´ot. Ekkor h∈ G, ugyanis egyr´eszt f−1 ∈ G, m´asr´esztg◦f◦g∈G, hiszeng◦f◦gazf egy konjug´altja ´esGnorm´aloszt´o.
Vegy¨uk v´eg¨ul ´eszre, hogy ahtranszform´aci´o megford´ıtja azLegyenest, ez´ert a harmadik ´eszrev´etel miatthf´elfordulat.
Megjegyz´esek.(1) P´aratland(≥5) eset´en hasonl´o (valamivel bonyolultabb) m´odszerrel bebizony´ıthat´o, hogySO(d) egyszer˝u csoport.
(2) P´arosdest´en{±I}ESO(d) mutatja, hogy SO(d) nem egyszer˝u.
(3) Az (1)-ben eml´ıtett bizony´ıt´as a d ≥ 6 p´aros esetben kimutatja, hogy SO(d)-ben {±I} az egyetlen nemtrivi´alis norm´aloszt´o (azazSO(d) egyszer˝u
”modulo centrum”, v¨o. 4.5.3). A kimarad´od= 4 esettel kapcsolatban l. al´abb a 4.5.13. K¨ovetkezm´enyt.
4.5.7. Eml´ekeztet˝o (A kvaterni´ok algebr´aja)
Megjegyz´es.Annak ´erdek´eben, hogy a kvaterni´ok szorz´as´aval ne legyen ¨ ossze-t´eveszthet˝o, azR4-beli standard skal´aris szorzatot mosthx, yijel¨oli.
• A kvaterni´oalgebra alaphalmaza a H =R4 =R⊕R3 n´egydimenzi´os val´os vektort´er, amelyben a standard b´aziselemeket az 1, i, j, kjelekkel jel¨olj¨uk.
• A kvaterni´ok szorz´asa R-biline´aris H×H → H lek´epez´es, amelyet a b´aziselemeken az 1x = x, i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk =
=−kj =i, ki=−ik =j formul´ak defini´alnak. Ezzel a m˝uvelettelH
asszociat´ıv algebraRf¨ol¨ott az 1 egys´egelemmel. Az egys´egelem skal´ ar-szorosai az R-rel izomorfR1 r´eszalgebr´at alkotj´ak H-ban, amelyet az x 7→x1 izomorfizmus seg´ıts´eg´evel azonosnak tekint¨unk a val´os sz´ am-testtel.
• Azi (illetvej,k) kvaterni´oval pontosan azok a kvaterni´ok felcser´ elhe-t˝ok, amelyek 1 ´esi(illetve 1 ´esj, 1 ´esk) line´aris kombin´aci´oi.
• Az x =x0+x1i+x2j+x3k kvaterni´o val´os r´esz´enek az x0 sz´amot, k´epzetes r´esz´enek azx1i+x2j+x3kkvaterni´ot, konjug´altj´anak azx=
=x0−x1i−x2j−x3kkvaterni´ot nevezz¨uk.
• Az al´abbi formul´ak k¨ozvetlen sz´amol´assal k¨onnyen levezethet˝ok : xy = y x ,
hx, yi = 1
2(xy+yx) (´es ´ıgyxx=hx, xi ≥0), kxk = √
xx , kxyk = kxk · kyk, a, b∈R3-ra ab = −ha, bi+a×b .
(A vektori´alis szorz´as ´ertelmez´es´ehezR3-ban azi, j, k rendezett b´azist – az 1.8.1-ben Rd-vel kapcsolatban tett meg´allapod´assal ¨osszhangban – pozit´ıv ir´any´ıt´as´unak tekintj¨uk.)
• Minden nemz´erusH-beli elemnek l´etezik multiplikat´ıv inverze :x−1 =
=x/kxk2.
4.5.8. ´Eszrev´etelek (A kvaterni´ok geometri´aja)
• AzS3={u∈H : kuk= 1}kvaterni´o-egys´egg¨omb topologikus csoport a kvaterni´ok szorz´as´ara n´ezve.
• S2 = S3∩R3 = {q ∈ H : q2 = −1}. B´armely q ∈ S2-re az 1 ´es q
´
altal kifesz´ıtettH-beli k´etdimenzi´os alt´er a komplex sz´amtesttel izomorf r´eszalgebra ; az izomorfizmust az 1↔1,q↔i∈C megfeleltet´es adja.
• B´armely u∈ S3 elem alkalmas q ∈ S2 ´esϑ ∈ [0, π] v´alaszt´as´aval
fel-´ırhat´o u = cosϑ +qsinϑ alakban. Ha u 6= ±1, akkor egy´ertelm˝uen meghat´arozzaq-t ´esϑ-t.
4.5.9. Defin´ıci´o (az S3 →SO(3) fed˝ohomomorfizmus). R¨ogz´ıtett u∈
∈S3 mellett a Φ(u) :H →H, Φ(u)(x) =uxu−1 lek´epez´es line´aris Rf¨ol¨ott
´es normatart´o, ´ıgy Φ(u) ∈ O(4). A val´os kvaterni´ok R ≤ H r´eszalgebr´aja pontonk´ent fix, ez´ert R3 = R⊥ invari´ans altere Φ(u)-nak. Szor´ıtsuk meg
Φ(u)-t az R3 alt´erre, ez´altal kapjuk a φ(u) ∈ O(3) ortogon´alis m´atrixot.
A φlek´epez´es az uv´altoz´o f¨uggv´eny´eben folytonos homomorfizmus, ´ıgy S3
¨osszef¨ugg˝o volta miattφk´epe nem l´ep kiO(3) egys´egkomponens´eb˝ol, SO(3)-b´ol (v¨o. 4.5.1). Ezzel defini´altuk aφ:S3→SO(3) homomorfizmust.
4.5.10. Lemma. B´armely u = cosϑ +qsinϑ ∈ S3 q ∈ S2, ϑ ∈ (0, π) eset´enφ(u)∈SO(3)azRqir´any´ıtott egyenes k¨or¨uli2ϑsz¨og˝u forgat´as.
Bizony´ıt´as : φ(u)q=uqu−1= (cosϑ+q sinϑ)q(cosϑ−qsinϑ) =q, emiatt aφ(u) forgat´as tengelye csak azRqegyenes lehet.
A forgat´as sz¨og´enek meg´allap´ıt´as´ahoz azt kell igazolnunk, hogya∈S2,a⊥
⊥ q eset´en a×φ(u)a = (sin 2ϑ)q. Az al´abbi sz´amol´asokban kihaszn´aljuk, hogy a ⊥ q miatt aq = −qa = a×q, valamint hogy a q vektornak az a egys´egvektorra mer˝oleges ¨osszetev˝oj´et (azaz mag´atq-t) aza×(q×a) formula szolg´altatja (l. 0.2.14) :
φ(u)a = (cosϑ+qsinϑ)a(cosϑ−qsinϑ) =
= acos2ϑ−qaqsin2ϑ−aqsinϑcosϑ+qasinϑcosϑ =
= acos 2ϑ+qasin 2ϑ,
a×φ(u)a = a×(acos 2ϑ+qasin 2ϑ) =
= a×(qa) sin 2ϑ =
= a×(q×a) sin 2ϑ =
= q sin 2ϑ .
4.5.11. T´etel.Aφ:S3→SO(3)homomorfizmus sz¨urjekt´ıv, ´esKerφ={±
±1}.
Bizony´ıt´as :Kerφazokat az egys´egkvaterni´okat tartalmazza, amelyek minden kvaterni´oval felcser´elhet˝ok, ´ıgy a 4.5.7-ban tett ´eszrev´etelek miatt Kerφ={±
±1}. A sz¨urjektivit´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik a 4.5.10. Lemm´ab´ol, hiszen SO(3) minden eleme az orig´on ´athalad´o valamilyen egyenes k¨or¨uli forgat´as.
4.5.12. K¨ovetkezm´eny. Az S3 csoportban k´et elem akkor ´es csak akkor konjug´alt, ha a val´os r´esz¨uk egyenl˝o.
Bizony´ıt´as :Val´oban, k´et elem konjug´alt volta pontosan azt jelenti, hogy al-kalmasu-val Φ(u) egyik¨uket a m´asikba viszi. A Φ(u) alak´u transzform´aci´ok azR3 k´epzetes hipers´ıkkal p´arhuzamos affin altereket ¨onmagukban mozgat-j´ak, ´es 4.5.11 miatt egy ilyen alt´eren bel¨ul az ¨osszes egyenl˝o norm´aj´u vektort v´egigs¨oprik.
Megjegyz´es.A 4.5.11. T´etel ´erdekes topol´ogiai k¨ovetkezm´enyeket von maga ut´an :
• AzSO(3) topologikus csoport izomorf azS3csoportnak a{±1}k´ etele-m˝u norm´aloszt´o szerinti faktor´aval. Eszerint SO(3) mint topologikus t´er ´ugy ´all´ıthat´o el˝o az S3 g¨ombb˝ol, hogy annak ´atellenes pontp´arjait ekvivalensnek tekintj¨uk ´es faktoriz´alunk ezzel az ekvivalenciarel´aci´oval.
• Aφlek´epez´es k´etr´eteg˝u fed´ese azSO(3) t´ernek. Miut´anS3egyszeresen
¨osszef¨ugg˝o, ez azSO(3) univerz´alis fed´ese.
• AzSO(3) t´er fundament´alis csoportja k´etelem˝u (hiszen az univerz´alis fed´es k´etr´eteg˝u). Tekints¨uk b´armely r¨ogz´ıtett ir´any´ıtott egyenes k¨or¨ul a t·2π (0≤t≤1) sz¨og˝u forgat´asok sereg´et. Ez olyan hurokSO(3)-ban, amely a fundament´alis csoport nemtrivi´alis elem´et reprezent´alja, hiszen az 1∈S3pontb´ol indul´oS3-beli felemeltje a 4.5.10. Lemma miatt a−1 elemben v´egz˝odik, teh´at nem hurok.
4.5.13. Defin´ıci´o (az S3×S3→SO(4)fed˝ohomomorfizmus).R¨ogz´ıtett (u, v) ∈ S3×S3 mellett a ψ(u, v) :H → H, ψ(u, v)(x) = uxv−1 lek´epez´es line´arisRf¨ol¨ott ´es normatart´o, ´ıgyψ(u, v)∈O(4). (Nyilv´anφ(u) =ψ(u, u).) A ψ lek´epez´es az (u, v) v´altoz´o f¨uggv´eny´eben folytonos homomorfizmus az S3×S3 topologikus csoportr´ol azO(4) topologikus csoportba, ´ıgyS3×S3
¨osszef¨ugg˝o volta miatt k´ephalmaza azSO(4) egys´egkomponensben van. Ezzel defini´altuk aψ:S3×S3→SO(4) homomorfizmust.
4.5.14. T´etel . A ψ : S3 ×S3 → SO(4) homomorfizmus sz¨urjekt´ıv, ´es Kerψ={±(1,1)}.
Bizony´ıt´as : Ha (u, v) ∈ Kerψ, akkor 1 = ψ(u, v)(1) = uv−1 miatt u =
=v. Ekkor viszont φ(u) =ψ(u, u) miatt u∈ Kerφ, ´es ´ıgy a 4.5.11. T´etelt haszn´alvau=±1.
A sz¨urjektivit´as igazol´asa c´elj´ab´ol legyen A ∈SO(4) tetsz˝oleges. Tekints¨uk az u= A1 egys´egkvaterni´ot, ´es defini´aljuk aB ∈SO(4) m´atrixot a Bx =
=u−1Axformul´aval. (Bval´obanSO(4)-beli, mert azu-val t¨ort´en˝o balszorz´as normatart´o, azaz ortogon´alis line´aris lek´epez´es, ´esS3¨osszef¨ugg˝o volta miatt benne van O(4) egys´egkomponens´eben.) A defin´ıci´o folyt´an B1 = 1, ez´ert R3= 1⊥ invari´ans altereB-nek, ´esB lesz˝uk´ıt´eseR3-raSO(3) egy eleme. A 4.5.11. T´etel miatt ez az elem el˝o´allφ(v)-k´ent alkalmasv∈S3-mal, ami azt jelenti, hogyB = Φ(v). Ekkor minden x∈H-ra Ax=uBx =uΦ(v)(x) =
=uvxv−1=ψ(uv, v)(x), azazA=ψ(uv, v).
4.5.15. K¨ovetkezm´eny.AzSO(4)csoportban l´eteznek a centrumt´ol k¨ul¨ on-b¨oz˝o nemtrivi´alis norm´aloszt´ok is.
Bizony´ıt´as :Val´oban, azS3×{1}´es{1}×S3direkt szorzand´okψ-n´el sz´armaz´o k´epei ilyenek.
Megjegyz´esek. (1) Ha SO(4)-et mint az S3 g¨omb transzform´aci´oinak cso-portj´at tekintj¨uk, akkor a 4.5.14-beli k´et norm´aloszt´o azS3 csoport balszor-z´asaib´ol (azaz azx7→uxlek´epez´esekb˝ol), illetve jobbszorz´asaib´ol (azx7→xv lek´epez´esekb˝ol) ´all. A 4.5.14. T´etel szerint ennek a k´et norm´aloszt´onak csakI
´es−Ia k¨oz¨os elemei, valamint azS3g¨omb b´armely ir´any´ıt´astart´o ortogon´alis transzform´aci´oja el˝o´all egy balszorz´as ´es egy jobbszorz´as kompoz´ıci´ojak´ent.
Erre a jelens´egre majd visszat´er¨unk a 4.8. szakaszban, amikor a h´ aromdimen-zi´os g¨ombi geometria saj´atoss´agait der´ıtj¨uk f¨ol.
(2) 4.5.14-b˝ol is hasonl´o topol´ogiai k¨ovetkeztet´eseket vonhatunk le, mint 4.5.11-b˝ol : a ψ : S3 ×S3 → SO(4) homomorfizmus k´etr´eteg˝u fed˝olek´ epe-z´es ; itt is S3×S3 egyszeresen ¨osszef¨ugg˝o, ez´ert ψ az univerz´alis fed´es, ´es SO(4) fundament´alis csoportja is a k´etelem˝u csoport. (Topol´ogiai eszk¨oz¨okkel bebizony´ıthat´o egy´ebk´ent, hogy mindend ≥3 eset´en SO(d) fundament´alis csoportja k´etelem˝u.)
4.6. Hasonl´ os´ ag
4.6.1. Defin´ıci´o (Hasonl´os´ag).Legyenek (X, ρ) ´es (X0, ρ0) metrikus terek.
Egy f : X → X0 lek´epez´est hasonl´os´agnak nevez¨unk X ´es X0 k¨oz¨ott, ha bijekt´ıv ´es minden x, y∈X, x6=y-ra aρ0 f(x), f(y)
/ρ(x, y) ar´any ugyan-akkora, azazf t´avols´agar´any-tart´o. HaX legal´abb k´etelem˝u, akkorf ezt az ar´anyt egy´ertelm˝uen meghat´arozza. Ezt a pozit´ıv sz´amot nevezz¨uk azf ha-sonl´os´ag ar´any´anak. (Az egypont´u metrikus terek k¨oz¨otti lek´epez´esek mint hasonl´os´agok ar´any´anak az 1 sz´amot tekintj¨uk.)
Ha X r¨ogz´ıtett metrikus t´er, akkor az X-et saj´at mag´aba k´epez˝o hasonl´ o-s´agok csoportot alkotnak a kompoz´ıci´o m˝uvelet´ere n´ezve. Ezt a csoportot X hasonl´os´agi csoportj´anak nevezz¨uk ´es Sim (X)-szel jel¨olj¨uk. Ha Sim (X) minden elem´ehez hozz´arendelj¨uk az ar´any´at, akkor a pozit´ıv val´os sz´amok multiplikat´ıv csoportj´aba k´epez˝o Sim (X) → R+ homomorfizmust nyerj¨uk.
Ennek a homomorfizmusnak a magja azI(X) izometriacsoport.
Els˝osorban az E → E hasonl´os´agokat ´es a Sim (E) csoportot vizsg´aljuk, aholE euklideszi t´er. Ebben az egybev´ag´os´agokr´ol m´ar megismert t´etelekre t´amaszkodhatunk, ez´ert a hasonl´os´agok ´attekint´ese nem ig´enyel l´enyeges ´uj gondolatokat. K´et euklideszi t´erben fekv˝o ponthalmazt hasonl´onak mondunk, ha l´etezik olyan hasonl´os´ag, amely az egyiket a m´asikra k´epezi.
4.6.2. P´eld´ak
• LegyenSd−1={x∈Rd : kxk= 1}azRd-beli egys´egg¨omb (d≥1). Az Sd−1 metrikus t´er hasonl´os´agai sz¨uks´egk´eppen izometri´ak (ahogyan ez
´ıgy van b´armely korl´atos metrikus t´erben), azaz Sim (Sd−1) =I(Sd−1).
´Igy teh´at a g¨ombi geometri´aban a hasonl´os´ag fogalm´ara nincs sz¨uks´eg.
• Ha E legal´abb 1-dimenzi´os euklideszi t´er, akkor a (±1-t˝ol k¨ul¨onb¨ o-z˝o ar´any´u) E-beli homot´eci´ak p´eldak´ent szolg´alnak olyan hasonl´os´agi transzform´aci´okra, amelyek nem egybev´ag´os´agok. A HP,λ : E → E homot´ecia ar´anya|λ|.
4.6.3. Lemma. Euklideszi t´erben b´armely hasonl´os´ag el˝o´all´ıthat´o egy egy-bev´ag´os´ag ´es egy tetsz˝olegesen el˝o´ırhat´o k¨oz´eppont´u homot´ecia kompoz´ıci´ o-jak´ent.
Bizony´ıt´as :Legyen λazf ∈Sim (E) hasonl´os´ag ar´anya. V´alasszunk tetsz˝ o-legesen egyP ∈E pontot ´es tekints¨uk ag=HP,1/λ◦f kompoz´ıci´ot. Ekkor g∈I(E) ´es ´ıgyf =HP,λ◦g a k´ıv´ant el˝o´all´ıt´as.
4.6.4. K¨ovetkezm´eny.Sim (E) =I(E)oR+.
Bizony´ıt´as : Valamely (tetsz˝olegesen) r¨ogz´ıtett P ∈ E pont mellett aP k¨ o-z´eppont´u, pozit´ıv ar´any´u homot´eci´ak csoportja nyilv´an az R+ csoporttal izomorf. Ez a r´eszcsoport az I(E) E Sim (E) norm´aloszt´o egy szemidirekt kieg´esz´ıt˝oje a Sim (E) csoportban, hiszen egyr´eszt ezek k¨oz¨ott a homot´eci´ak k¨oz¨ott csak az identit´as t´avols´agtart´o, m´asr´eszt 4.6.3 miatt a k´et r´eszcsoport egy¨utt gener´atorrendszer.
Most ´attekintj¨uk az euklideszi egybev´ag´os´agok szerkezet´et le´ır´o f˝o t´ eteleink-nek (4.2.10-eteleink-nek ´es 4.4.6-nak) a hasonl´os´agokra vonatkoz´o k¨ovetkezm´eny´et, illetve kieg´esz´ıt´es´et. A 4.2.10. T´etel hasonl´os´agokra ´erv´enyes megfelel˝oje azon-nal k¨ovetkezik a 4.6.3. Lemma felhaszn´al´as´aval :
4.6.5. T´etel.Egyf :E→E lek´epez´es pontosan akkor hasonl´os´ag, haf ∈
∈Aff (E)´esL(f)∈R+·O(V).
Egyen´ert´ek˝u ´atfogalmaz´assal : azRd→Rdhasonl´os´agok pontosan azf(x) =
=λAx+b (x∈ Rd)alak´u lek´epez´esek. Itt a λ >0, A ∈O(d)´es b∈Rd adatokatf egy´ertelm˝uen meghat´arozza.
Bizony´ıt´as :A k´et megfogalmaz´as ekvivalenci´aja egy (tetsz˝oleges) ortonorm´alt koordin´atarendszer felv´etele ut´an nyilv´anval´o.
Ha az f lek´epez´esf(x) = λAx+b alak´u, akkorf egy ortogon´alis line´aris transzform´aci´o, egy homot´ecia ´es egy eltol´as kompoz´ıci´oja, teh´at hasonl´os´ag.
Legyen mostf ∈Sim (Rd) tetsz˝olegesen adott. ´Irjuk f-et 4.6.3 felhaszn´al´ a-s´aval azf =H0,λ◦g alakban, aholλ >0 ´esg ∈I(Rd). Ekkor 4.2.10 miatt alkalmas A ∈ O(d)-vel ´es b ∈ Rd-vel g(x) = Ax+ (1/λ)b, ez´ert f(x) =
=λAx+b(x∈Rd). Ittλsz¨uks´egk´eppen azf hasonl´os´ag ar´any´aval egyezik meg,A´esbegy´ertelm˝us´ege pedig a 4.2.10. T´etelbeli egy´ertelm˝us´egi ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik.
4.6.6. K¨ovetkezm´eny. B´armely hasonl´os´ag sz¨ogtart´o : ha f :E → E0 ha-sonl´os´ag, L ⊂E egyenes, ´esS ⊂ E legal´abb 1-dimenzi´os affin alt´er, akkor f(L)´esf(S)sz¨oge egyenl˝o L´esS sz¨og´evel.
Bizony´ıt´as : K´et egyenes k¨oz¨ott a sz¨oget az ir´anyvektoraik sz¨og´en kereszt¨ul defini´altuk, ezt pedig mind az ortogon´alis line´aris lek´epez´esek, mind a homo-t´eci´ak, mind az eltol´asok nyilv´anval´oan meg˝orzik. Az egyenes ´es affin alt´er sz¨og´enek esete pedig 4.3.5 szerint visszvezethet˝o a k´et egyenes k¨ozti sz¨og ese-t´ere, felhaszn´alva, hogy hap:E→S, illetvep0:E0→f(S) jel¨oli a megfelel˝o ortogon´alis vet´ıt´eseket, akkorp0◦f =f◦p.
Az egybev´ag´os´agok term´eszetes felbont´as´ar´ol sz´ol´o 4.4.6. T´etel val´odi (teh´at 1-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o ar´any´u) hasonl´os´agokra vonatkoz´o megfelel˝oj´et egyszer˝uv´e teszi a hasonl´os´agok fixpontjair´ol sz´ol´o al´abbi ´eszrev´etel.
4.6.7. Lemma. Ha f ∈ Sim (E) nem egybev´ag´os´ag, akkor f-nek l´etezik (egyetlen) fixpontja.
Bizony´ıt´as : A Banach-f´ele fixpontt´etel (
”kontrakci´os elv”) alkalmazhat´o f -re vagy f−1-re (aszerint, hogy az f hasonl´os´ag λ ar´any´ara λ < 1, illetve λ >1). Tegy¨uk fel p´eld´aul, hogy λ < 1, ekkor egy tetsz˝olegesen kiszemelt P ∈E ponttal a P, f(P),f f(P)
, . . .,fn(P), . . . sorozat Cauchy-sorozat azEteljes metrikus t´erben. A sorozat teh´at konvergens, ´es aQlimeszpontra f(Q) =Q.
4.6.8. T´etel.Ha azf ∈Sim (E)hasonl´os´ag nem izometria, akkor alkalmas ortonorm´alt koordin´atarendszerbenf(x) =λAx alakban ´ırhat´o, ahol λ >0
´es azAm´atrix a 4.4.1-ben le´ırt alak´u.
Bizony´ıt´as :A 4.6.7. Lemm´at alkalmazva vektoriz´aljunk azffixpontj´aval mint orig´oval, majd alkalmazzuk 4.6.3-at ´es 4.4.1-et.
4.6.9. Defin´ıci´o (Hiperg¨omb, g¨omb).Tegy¨uk fel, hogyd≥1. AdottP ∈
∈E´esr >0 mellettP k¨oz´eppont´u,rsugar´uE-beli hiperg¨ombnek nevezz¨uk a
G={A∈E : ρ(P, A) =r}
ponthalmazt. K¨onnyen l´athat´o, hogy aGhalmaz egy´ertelm˝uen meghat´ aroz-zaP-t ´esr-et. K´et (vagy t¨obb) hiperg¨omb¨ot koncentrikusnak mondunk, ha k¨oz´eppontjuk k¨oz¨os. G¨ombnek nevezz¨uk E-ben az E legal´abb
egydimenzi-´
os affin altereiben mint euklideszi terekben fekv˝o hiperg¨omb¨oket. AGg¨omb dimenzi´oj´an a dimG= dimhGi −1 sz´amot ´ertj¨uk.
Az egydimenzi´os esetben g¨omb helyett k¨ort mondhatunk. AzEt´er 0-dimen-zi´os g¨ombjei pontosan a k´et k¨ul¨onb¨oz˝oE-beli pontb´ol ´all´o rendezetlen pont-p´arok. A d-dimenzi´os t´erben a hiperg¨omb¨ok pontosan a (d−1)-dimenzi´os g¨omb¨ok.
Az A ∈ E pontot a P k¨oz´eppont´u, r sugar´u G hiperg¨ombre vonatkoz´oan bels˝o pontnak nevezz¨uk, ha ρ(P, A) < r, k¨uls˝o pontnak, ha ρ(P, A) > r.
AG-re n´ezve bels˝o pontok ny´ılt konvex halmazt alkotnak E-ben, amelynek a hat´ara G-vel egyenl˝o. ´Igy p´eld´aul ha A, B ∈ G, akkor az [A, B] szakasz minden relat´ıv bels˝o pontja G-re n´ezve bels˝o pont. Emiatt b´armely E-beli egyenesnek legfeljebb k´et pontja tartozhatG-hez.
4.6.10. P´elda. Legyenek P, A ∈ E, P 6= A adott pontok. Tekints¨uk az A pont k´ep´et azE¨osszes olyan egybev´ag´os´ag´an´al, amely aP pontot fixen tartja (azaz azf(A) pontokat, aholf ∈O(EP)). Ezeknek a k´eppontoknak a
4.6.10. P´elda. Legyenek P, A ∈ E, P 6= A adott pontok. Tekints¨uk az A pont k´ep´et azE¨osszes olyan egybev´ag´os´ag´an´al, amely aP pontot fixen tartja (azaz azf(A) pontokat, aholf ∈O(EP)). Ezeknek a k´eppontoknak a