Affin alterek

1.2.1. Defin´ıci´o (Affin alt´er).Legyen (X, V,Φ) affin t´er ´esY ⊆X tetsz˝ o-leges r´eszhalmaz. Azt mondjuk, hogy Y affin alt´er X-ben, ha l´etezik olyan W ≤V line´aris alt´er, hogy az (Y, W,Φ|Y×Y) h´armas affin t´er. IlyenkorY a W alteret nyilv´an egy´ertelm˝uen meghat´arozza.W-re id˝onk´ent az−→

Y jel¨ol´est haszn´aljuk. (´Igy p´eld´aulV =−→

X.)

1.2.2. ´All´ıt´as. AzX affin t´er tetsz˝oleges Y ⊆X r´eszhalmaz´ara az al´abbi

´

all´ıt´asok ekvivalensek : (i) Y affin alt´er ;

(ii) Y 6=∅´es mindenA∈Y-ra ΦA(Y)≤V line´aris alt´er ; (iii) l´etezik olyanA∈Y, hogyΦA(Y)≤V line´aris alt´er ;

(iv) l´etezik olyanW ≤V line´aris alt´er ´es olyanA∈X, hogyY = Φ⁻¹_A (W).

Bizony´ıt´as : Az (i) ⇒ (ii) ⇒(iii) ⇒ (iv) implik´aci´ok a defin´ıci´okb´ol r¨ogt¨on ad´odnak. A (iv)⇒ (i) k¨ovetkeztet´eshez azt kell meggondolni, hogy b´armely B, C ∈ Y-ra −−→

BC ∈ W. Viszont Y = Φ⁻¹_A (W) miatt −−→ AB,−→

AC ∈ W, ´es ´ıgy

−−→ BC=−−→

BA+−→

AC∈W. 1.2.3. P´eld´ak

• Vektort´er term´eszetes affin strukt´ur´aj´ara n´ezve az affin alterek pontosan a line´aris alterek eltoltjai. (Ez 1.2.2.(iv)-b˝ol r¨ogt¨on l´atszik.)

• Tetsz˝oleges f : X → X⁰ affin lek´epez´es k´ephalmaza affin alt´er azX⁰ affin t´erben. (Ez azonnal ad´odik az 1.1.8. ´All´ıt´as alkalmaz´as´aval.) Ha f injekt´ıv, akkor affin izomorfizmus X ´es az f(X) affin alt´er k¨oz¨ott.

Ilyenkor azt mondjuk, hogyf affin be´agyaz´asX-r˝olX⁰-be.

• Tetsz˝oleges affin t´erben a 0-dimenzi´os affin alterek pontosan az egy-pont´u r´eszhalmazok (amelyeket azonosnak tekint¨unk a t´er pontjaival).

Az 1-dimenzi´os affin alterek az affin t´er egyenesei, a 2-dimenzi´osak az affin t´er s´ıkjai. Egy d-dimenzi´os affin t´erben, ahol dv´eges, a (d− 1)-dimenzi´os affin altereket hipers´ıkoknak nevezz¨uk. Teh´at pl. egy egyenes pontjai hipers´ıkok az egyenesen, illetve egy s´ık hipers´ıkjai a benne fekv˝o egyenesek.

• Az X affin t´er pontjai egy rendszer´et kolline´arisnak nevezz¨uk, ha va-lamelyX-beli egyenes tartalmazza ˝oket. B´armely k´et pont kolline´aris, s˝ot, haA, B∈X k´et k¨ul¨onb¨oz˝o pont, akkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyan X-beli egyenes, amelyA-t ´esB-t tartalmazza, m´egpedig a Φ⁻¹_A (F·−−→

AB) ponthalmaz. Erre az egyenesre bevezetj¨uk azhA, Bijel¨ol´est.

Vektorterekben a koordin´at´akban fel´ırt homog´en line´aris egyenletrendszerek megold´ashalmazai ´eppen a line´aris alterek. Ennek mint´aj´ara affin terekben az affin alterek inhomog´en line´aris egyenletrenszerek megold´ashalmazaik´ent nyerhet˝ok. Ezt a t´enyt fogalmazza meg

”koordin´atamentes” form´aban az 1.2.5. ´All´ıt´as, amelyet az affin form´ak defin´ıci´oj´aval k´esz´ıt¨unk el˝o.

Id´ezz¨uk f¨ol el¨olj´ar´oban a line´aris forma fogalm´at. AV vektort´eren ´ertelmezett line´aris form´an egy tetsz˝oleges V →Fline´aris lek´epez´est ´ert¨unk. A line´aris form´ak a term´eszetes m´odon ad´od´o m˝uveletekkel vektorteret alkotnakFf¨ o-l¨ott, amitV du´alis ter´enek nevez¨unk ´es ´altal´abanV^∗-gal jel¨ol¨unk.

1.2.4. Defin´ıci´o (Affin forma, Z(s)).AzFtest felettiX affin t´eren ´ ertel-mezett affin form´anak nevez¨unk egy tetsz˝olegess :X →F affin lek´epez´est.

A term´eszetes (azaz pontonk´ent ´ertelmezett) ¨osszead´asra ´es skal´arral val´o szorz´asra n´ezve az affin form´akFf¨ol¨ott vektorteret alkotnak, amelyre azX^• jel¨ol´est vezetj¨uk be.

B´armely affin forma lineariz´altja egy V → F line´aris lek´epez´es, azaz a V^∗ du´alis vektort´er eleme. Ez´altal kapjuk az L :X^• →V^∗ line´aris lek´epez´est, amely nyilv´an sz¨urjekt´ıv, ´es amelynek a magja a konstans affin form´akb´ol ´all.

´Igy teh´at v´eges dimenzi´osX eset´eben dimX^•= dimX+ 1. ValamelyP∈X pont r¨ogz´ıt´es´evel az s 7→(L(s), s(P)) hozz´arendel´es izomorfizmus azX^• ´es aV^∗⊕Fvektorterek k¨oz¨ott. Az affin form´ak ter´enek ez a direkt felbont´asa ugyanolyan ´ertelemben nem term´eszetes, mint ahogyan X azonos´ıt´asa a V vektort´errel nem az. Ha viszont eleveX=V a term´eszetes affin strukt´ur´aj´ a-val, akkor perszeX^•=V^∗⊕Fazs(x) =ϕ(x) +b←→(ϕ,b) = (L(s), s(0)) megfeleltet´essel.

Tetsz˝oleges X eset´en l´etezik k´et kit¨untetett affin forma X-en : a konstans 0

´es a konstans 1 ´ert´ek˝u f¨uggv´eny ; ezeket0-val, illetve1-gyel jel¨olj¨uk.

Has ∈ X^• tetsz˝oleges affin forma az X affin t´eren, akkor Z(s) jel¨oli s z´ e-r´ohalmaz´at, azaz az {A ∈ X : s(A) = 0} halmazt. P´eld´aul Z(0) = X ´es Z(1) =∅. HaS ⊆X^• tetsz˝oleges nem¨ures r´eszhalmaz, akkor Z(S) jel¨oli az S-beli affin form´ak z´er´ohalmazainak k¨oz¨os r´esz´et : Z(S) =T{Z(s) :s∈S}.

Nyilv´anZ(S) =Z(U), aholU azS ´altal azX^•vektort´erben gener´alt line´aris alt´er.

Ha dimX =d v´eges ´esx: X →F^d affin koordin´atarendszerX-ben, akkor az 1.1.8. ´All´ıt´as alkalmaz´as´aval azs∈X^•affin form´ak ´altal´anos koordin´at´as alakj´at az s◦x⁻¹ : F^d → F, s(x₁, . . . , x_d) = a₁x₁+. . .+a_dx_d+b inho-mog´en line´aris f¨uggv´eny adja. Az a₁, . . ., a_d, b ∈ F konstansok tetsz˝oleges megv´alaszt´asa affin form´at defini´al.

A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as csup´an a line´aris egyenletrendszerekr˝ol sz´ol´o szok´asos line´aris algebrai meg´allap´ıt´asok ´atfogalmaz´asa az affin geometria nyelv´ere.

”H´etk¨oznapi” tartalma az, hogy egyd-dimenzi´os affin t´erben a k-dimenzi´os affin altereketd−k darab f¨uggetlen inhomog´en line´aris egyenlet ´ırja le.

1.2.5. ´All´ıt´as.LegyenX v´eges dimenzi´os affin t´er,d= dimX. EgyY ⊆X nem¨ures r´eszhalmaz pontosan akkork-dimenzi´os affin alt´er, ha l´etezik olyan (d−k)-dimenzi´osU ≤X^• line´aris alt´er, hogy1∈/U ´esY =Z(U).

Speci´alisan ha H ⊂X hipers´ık, akkor van olyan s ∈ X^• affin forma, hogy H = Z(s), ´es megford´ıtva, b´armely nemkonstans affin forma z´er´ohalmaza hipers´ık. Has, t∈X^•-ra Z(s) =Z(t), akkort=λsalkalmasλ∈F,λ6= 0-val.

1.2.6. Defin´ıci´o (F¨uggetlen hipers´ıkok). Azt mondjuk, hogy az X-beli H₁ = Z(s₁), H₂ = Z(s₂), . . ., H_k = Z(s_k) hipers´ıkok f¨uggetlenek, ha az L(s₁), L(s₂),. . ., L(s_k) du´alis vektorok line´arisan f¨uggetlenek a V^∗ vektor-t´erben.

A f¨uggetlen hipers´ıkok al´abbi tulajdons´agai a defin´ıci´ob´ol, illetve 1.2.5-b˝ol r¨ogt¨on ad´odnak.

1.2.7. ´All´ıt´as.LegyendimX =dv´eges. Ekkor : (1) X-ben a f¨uggetlen hipers´ıkok maxim´alis sz´amad.

(2) X-benk darab f¨uggetlen hipers´ık k¨oz¨os r´esze (d−k)-dimenzi´os affin alt´er.

(3) Ha H hipers´ıkok rendszere X-ben ´es Y = T

H 6= ∅, akkor b´armely H-beli f¨uggetlen r´eszrendszerd−dimY darab hipers´ıkb´ol ´all, amelyek k¨oz¨os r´esze szint´enY.

1.2.8. Defin´ıci´o (P´arhuzamoss´ag). Legyenek Y ´es Z affin alterek az X affin t´erben.

Azt mondjuk, hogyY ´esZp´arhuzamos (jelben :Y kZ), ha−→ Y =−→

Z. A p´ arhu-zamoss´ag nyilv´an ekvivalenciarel´aci´o X affin alterei halmaz´an. P´arhuzamos affin alterek dimenzi´oja egyenl˝o.

Azt mondjuk, hogyY gyeng´en p´arhuzamosZ-vel (jelben :Yh|Z), ha−→ Y ≤−→

Z. A gyenge p´arhuzamoss´ag r´eszben rendez´esi rel´aci´oX affin alterei halmaz´an.

Yh|Z eset´en nyilv´an dimY ≤dimZ.

1.2.9. ´All´ıt´as.B´armely X affin t´er Y ´esZ affin altereire ´erv´enyesek a k¨ o-vetkez˝ok.

(1) HaY kZ, akkorY =Z vagyY ∩Z=∅.

(2) HaYh|Z, akkorY ⊆Z vagyY ∩Z=∅.

(3) Yh|Z akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha l´etezik olyanY⁰ ⊆Z affin alt´er, hogyY⁰kY.

(4) B´armely A ∈ X-hez egy´ertelm˝uen l´etezik olyan Y⁰ affin alt´er, hogy A∈Y⁰ ´esY⁰ kY.

(5) HaY kZ ´esY, Z v´eges dimenzi´osak, akkor belefoglalhat´ok egy legfel-jebb eggyel magasabb dimenzi´os affin alt´erbe.

(6) HaY, Z hipers´ıkok ´esY ∩Z=∅, akkorY kZ.

Bizony´ıt´as :(1), (2), (3) ´es (4) k¨ozvetlen¨ul k¨ovetkezik a defin´ıci´ob´ol.

Az (5) ´all´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz v´alasszunk egy A ∈ Y ´es egy B ∈ Z pontot, legyenW = Φ_A(Y)≤V. HaU aW ´es az−−→

AB vektor gener´alta alt´erV-ben, akkorS= Φ⁻¹_A (U) affin alt´erX-ben,Y ∪Z⊆S, ´es dimS≤dimY + 1.

A (6) ´all´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz feltessz¨uk, hogyX =V a term´eszetes affin struk-t´ur´aval,Y =W+a,Z =U+b, ahol W ´esU line´aris hipers´ıkokV-ben. Ha indirekt feltev´essel Y ∦ Z, akkor W 6= U, ´es ´ıgy sz¨uks´egk´eppenW +U =

=V. Emiatt tal´alhat´o w ∈W ´es u∈U ugy, hogy´ w−u=b−a. Ekkor x = w+a = u+b, ahonnan x ∈ Y ∩Z, ami ellentmond az Y ∩Z = ∅ felt´etelnek.

Megjegyz´es. HaX affin s´ık, E ⊂X egyenes, P ∈X −E, akkor (4)-b˝ol ´es (5)-b˝ol k¨ovetkez˝oen egy´ertelm˝uen l´etezik olyan E⁰ ⊂X egyenes, hogy P ∈

∈E⁰ ´esE⁰∩E=∅. A p´arhuzamoss´agi axi´oma ´all´ıt´asa teh´at automatikusan

´erv´enyes az affin geometri´aban.

1.2.10. ´All´ıt´as.B´armely dilat´aci´o minden affin alteret vele p´arhuzamos affin alt´erbe visz.

Bizony´ıt´as :Haf dilat´aci´o, akkorL(f), skal´arral val´o szorz´as l´ev´en, minden V-beli line´aris alteret ¨onmag´aba visz. ´Igy tetsz˝olegesY affin alt´erre−−−→

f(Y) =

=L(f)(−→ Y) =−→

Y, ´es emiattf(Y)kY.

Az 1.2.10. ´All´ıt´as m´odot ad dilat´aci´okn´al a k´eppont

”szerkeszt´essel” t¨ort´en˝o meghat´aroz´as´ara.

1.2.11. K¨ovetkezm´eny.Legyenf tetsz˝oleges dilat´aci´o egyX affin t´erben, A ∈ X, A⁰ = f(A) 6= A, ´es E jel¨olje az hA, A⁰i egyenest. Legyen B ∈ X tetsz˝oleges, E-re nem illeszked˝o tov´abbi pont. Az ehhez tartoz´o B⁰ =f(B) k´eppont az al´abbiF ´esGegyenesek metsz´espontjak´ent ´all el˝o :

F az a B-n ´atfektetett egyenes, amelyet f ¨onmag´aba k´epez, azaz ha f homot´eciaP k¨oz´epponttal, akkorF =hP, Bi, ha pedigf eltol´as, akkor F azE-vel p´arhuzamos egyenes B-n ´at ;

G pedig az az A⁰-n ´atmen˝o egyenes, amely p´arhuzamos az hA, Bi egye-nessel.

1.2.12. Defin´ıci´o (Komplementarit´as). Az Y ´es Z affin alterek komp-lementer alterek az X affin t´erben, ha V =−→

Y ⊕−→

Z direkt ¨osszeg. Ilyenkor Y∩Zegyetlen pont. A komplementarit´as szimmetrikus rel´aci´oXaffin alterei halmaz´an.

Affin alterek p´arhuzamoss´ag´at, illetve komplementarit´as´at haszn´alva affin le-k´epez´esek n´eh´any fontos t´ıpus´at tudjuk bevezetni.

1.2.13. Defin´ıci´o (Vet´ıt´es alt´erre).LegyenY affin alt´er azX affin t´erben,

´es r¨ogz´ıts¨uk az −→

Y ≤ V alt´er egy U direkt kieg´esz´ıt˝oj´et a V vektort´erben.

Defini´aljuk a p:X →Y lek´epez´est a k¨ovetkez˝o m´odon. Tetsz˝olegesA∈ X-hez egy´ertelm˝uen tal´alhat´o olyan Z(A)⊆ X affin alt´er, hogyA ∈ Z(A) ´es

−−−→Z(A) =U. EkkorZ(A)∩Y egypont´u ; legyenp(A) ez a pont. Vektoriz´alva ´es line´aris algebr´ara hivatkozva r¨ogt¨on l´atszik, hogyp affin lek´epez´es. Nyilv´an p◦p = p. A p lek´epez´est az X affin t´er Y affin alt´erre t¨ort´en˝o U ir´any´u vet´ıt´es´enek nevezz¨uk.

1.2.14. Defin´ıci´o (P´arhuzamos vet´ıt´es).LegyenY ´esZ k´et egyenl˝o di-menzi´oj´u affin alt´er azX affin t´erben ´es r¨ogz´ıts¨uk az−→

Y ,−→

Z ≤V alterek egy U k¨oz¨os direkt kieg´esz´ıt˝oj´et a V vektort´erben. Ekkor az 1.2.13-beli p lek´ e-pez´esZ-re t¨ort´en˝o lesz˝uk´ıt´ese affin izomorfizmusZ ´esY k¨oz¨ott. Ezt a p|Z

lek´epez´est aZalt´erY-ra t¨ort´en˝oUir´any´u p´arhuzamos vet´ıt´es´enek nevezz¨uk.

1.2.15. Defin´ıci´o (Affin szimmetria). Legyen Y affin alt´er az X affin t´erben ´es legyenp:X →Y a t´erU ir´any´u vet´ıt´eseY-ra. B´armelyA∈X-hez egy´ertelm˝uen l´etezik olyanτ(A)∈X pont, melyre−−−−−−→

p(A)τ(A) =−−−−→

Ap(A). Ekkor τ ∈Aff (X) ´esτ◦τ =id_X. Ezt a τ lek´epez´est azY affin alt´erre vonatkoz´o U ir´any´u affin szimmetri´anak nevezz¨uk. Meggondolhat´o, hogy ha charF 6=

= 2, akkorY pontosan a τ fixpontjaib´ol ´all. A pontokra (azaz 0-dimenzi´os affin alterekre) vonatkoz´o affin szimmetri´akat k¨oz´eppontos szimmetri´aknak is nevezz¨uk, ezek ´eppen a−1 ar´any´u homot´eci´ak.

1.3. Affin kombin´ aci´ ok, f¨ uggetlens´ eg, affin b´ azis

Vektort´erben affin kombin´aci´onak szok´as nevezni az olyan line´aris kombi-n´aci´okat, amelyekben az egy¨utthat´ok ¨osszege 1. Ilyen fajta kombin´aci´okat vektorok helyett egy affin t´er pontjaib´ol is k´epezhet¨unk.

1.3.1. Defin´ıci´o (Affin kombin´aci´o).LegyenekA₁, A₂, . . . , A_k pontok az vektorokkal vannak azonos´ıtva, akkor O = 0 v´alaszt´assal l´athat´o, hogy az affin kombin´aci´o fogalma val´oban az 1 ¨osszeg˝u egy¨utthat´okkal vett line´aris kombin´aci´ot jelenti : ilyenkorb=Pk

i=1λ_ia_i.

1.3.2. ´All´ıt´as.Az affin lek´epez´esek felcser´elhet˝ok az affin kombin´aci´ok k´epz´ e-s´evel. Azaz : haf :X →Y affin lek´epez´es, ´esX-ben aBpont azA₁, A₂, . . . , A_k pontok affin kombin´aci´oja, akkorY-ban az f(B)pont az f(A₁), f(A₂), . . . , f(A_k)pontok ugyanilyen egy¨utthat´os affin kombin´aci´oja.

Bizony´ıt´as :Az 1.1.4. ´All´ıt´ast ´es a fenti ´eszrev´etelt felhaszn´alva r¨ogt¨on ad´odik.

1.3.3. ´All´ıt´as. Az X affin t´er egy nem¨ures Y r´eszhalmaza pontosan ak-kor affin alt´er, ha z´art az affin kombin´aci´ok k´epz´es´ere, azaz ha tetsz˝oleges A₁, A₂, . . . , A_k ∈Y, λ₁, λ₂, . . . , λ_k ∈F,Pk

i=1λ_i = 1eset´en azA_i pontokλ_i egy¨utthat´os affin kombin´aci´oja is elemeY-nak.

Bizony´ıt´as :Feltessz¨uk, hogy X=V a term´eszetes affin strukt´ur´aval.

Ha Y affin alt´er, azaz Y = W +a valamilyen W ≤ V-vel ´es a ∈ Y-nal, a-lasszunk egy tetsz˝olegesa∈Y elemet. Megmutatjuk, hogy azY −a halmaz line´aris alt´er V-ben. Legyenek xi = ai −a ∈ Y −a tetsz˝oleges elemek ´es

1.3.4. K¨ovetkezm´eny.Ha affin alterek egy tetsz˝oleges rendszer´enek a met-szete nem az ¨ures halmaz, akkor affin alt´er.

1.3.5. K¨ovetkezm´eny.B´armely nem¨uresS⊆X r´eszhalmazhoz l´etezik leg-sz˝ukebb,S-et tartalmaz´o affin alt´er.

1.3.6. Defin´ıci´o (Affin burok). A nem¨uresS ⊆X r´eszhalmazt tartalma-z´o legsz˝ukebb affin alteret az S halmaz affin burk´anak nevezz¨uk ´es hSi-sel jel¨olj¨uk. Ilyenkor ´ugy is fogalmazhatunk, hogy azS halmaz affin gener´ ator-rendszer az hSi affin alt´erben. Ha S1, . . . , Sk az X r´eszhalmazainak vagy pontjainak (nem¨ures egyes´ıt´es˝u) list´aja, akkorhS1, . . . , Skijel¨oli az egyes´ıt´ e-s¨uk affin burk´at.

1.3.7. ´All´ıt´as. Tetsz˝oleges nem¨ures S ⊆X r´eszhalmazra az S affin burka pontosan azS-beli elemek affin kombin´aci´oib´ol ´all.

Bizony´ıt´as :Jel¨olj¨ukC(S)-sel azS-beli elemek affin kombin´aci´oib´ol ´all´o pont-halmazt. Bel´atjuk, hogy hSi=C(S).

AzhSi ⊇C(S) tartalmaz´as fenn´all, hiszenhSiaffin alt´er, ´es ´ıgy z´art az affin kombin´aci´ok k´epz´es´ere (1.3.3. ´All´ıt´as).

AzhSi ⊆C(S) tartalmaz´ashoz (ism´et az 1.3.3. ´All´ıt´as felhaszn´al´as´aval) el´eg azt bel´atni, hogy affin kombin´aci´ok affin kombin´aci´oja a kiindul´asi pontok-nak is affin kombin´aci´oja. Val´oban, tekints¨uk az x =Pk

i=1λ_ix_i affin kom-bin´aci´ot aV vektort´erben, ´es tegy¨uk f¨ol, hogy mindegyikx_i vektor maga is

egy xi =Pki akkor az 1.2.3-ban bevezetett jel¨ol´essel ¨osszhangban hA, Bi az A-n ´es B-n

´

atfektetett egyenes. HaX =V ´esA=a, B=b∈V, akkor hA, Bi={ta+ + (1−t)b : t∈F}.

1.3.9. ´All´ıt´as.Tegy¨uk fel, hogycharF6= 2. Az X affin t´er egy nem¨uresY r´eszhalmaza pontosan akkor affin alt´er, ha b´armelyA, B ∈Y-rahA, Bi ⊆Y. Bizony´ıt´as : Affin alterekre a felt´etel az 1.3.3. ´All´ıt´as speci´alis esetek´ent tel-jes¨ul. A ford´ıtott ir´anyhoz feltehet˝o, hogy X = V ´es 0 ∈ Y; azt kell be-bizony´ıtani, hogy Y line´aris alt´er V-ben. Val´oban, skal´arral val´o szorz´asra z´art, mert x ∈ Y-ra Fx = h0,xi ⊆ Y, ´es ¨osszegre z´art, mert x,y ∈ Y-ra

x+y

2 ∈ hx,yi ⊆Y ´es ´ıgyx+y∈ h0,^x+y₂ i ⊆Y.

Megjegyz´es. Az affin alterek fenti jellemz´ese nyilv´anval´oan nem ´erv´enyes a k´etelem˝u test feletti (legal´abb k´etdimenzi´os) affin terekben, hiszen az egye-nesek k´etelem˝uek, ´es ´ıgy az 1.3.9. ´All´ıt´asban szerepl˝o felt´etel semmit sem k¨ovetelY-r´ol. Meggondolhat´o viszont, hogy az 1.3.9. ´All´ıt´as olyan form´aban is igaz, hogy a charF6= 2 kik¨ot´es helyett csak azt tessz¨uk fel, hogyFlegal´abb ismert t´enyre vezett¨uk vissza az ´all´ıt´ast.

1.3.11. K¨ovetkezm´eny.Affin t´erben b´armelyk+ 1elem˝uS r´eszhalmazra dimhSi ≤kteljes¨ul.

Bizony´ıt´as :K¨ozvetlen¨ul ad´odik az 1.3.10. ´all´ıt´asb´olk szerinti teljes

indukci-´

(iv) haO ∈X,λ0, λ1. . . , λk ∈F,Pk

i=0λi = 0, ´esPk i=0λi

−−→OAi =0, akkor λ0=λ1=. . .=λk= 0.

Bizony´ıt´as : (i), (ii) ´es (iii) ekvivalenci´aja az 1.3.10. ´All´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan j´ol ismert line´aris algebrai tulajdons´agokb´ol ad´odik.

(iii)⇒(iv) :Pk f¨uggetlen pontok azX affin t´erben, ha teljes´ıtik az 1.3.12. ´all´ıt´asban szerepl˝o felt´etelek valamelyik´et (´es ´ıgy mindegyiket).

P´eld´aul egyetlen pont mindig f¨uggetlen, k´et pont akkor ´es csak akkor f¨ ug-getlen, ha k¨ul¨onb¨oz˝o, h´arom pont akkor ´es csak akkor f¨uggetlen, ha nem kolline´aris.

1.3.14. Defin´ıci´o (Affin b´azis). Az X v´eges dimenzi´os affin t´erben affin b´azisnak nevez¨unk egyA0,A1,. . .,Akpontrendszert, ha az−−−→

Az affin b´azisok al´abbi jellemz´ese k¨ozvetlen¨ul ad´odik a defin´ıci´okb´ol.

1.3.15. ´All´ıt´as.LegyenX v´eges dimenzi´os affin t´er,d= dimX. EgyX-beli pontrendszer pontosan akkor affin b´azisX-ben, ha f¨uggetlen ´es(d+ 1)elem˝u, illetve akkor, ha affin gener´atorrendszer ´es(d+ 1)elem˝u.

1.3.16. ´All´ıt´as.LegyenX v´eges dimenzi´os affin t´er, ekkor b´armely X-beli f¨uggetlen pontrendszer kieg´esz´ıthet˝o affin b´aziss´aX-ben.

Bizony´ıt´as : 1.3.12.(iii)-ra hivatkozva az ´all´ıt´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik a line´ ari-san f¨uggetlen vektorrendszerek b´aziss´a val´o kib˝ov´ıthet˝os´eg´er˝ol sz´ol´o line´aris algebrai alapt´etelb˝ol.

Megjegyz´es.V´egtelen dimenzi´os affin terekben l´eteznek olyan v´egtelen pont-rendszerek, amelyek b´armely (nem¨ures) v´eges r´eszrendszere f¨uggetlen. Az ilyen pontrendszereket is k´ezenfekv˝o f¨uggetlennek nevezni. Affin b´azisnak ezek ut´an a maxim´alis f¨uggetlen pontrendszereket, illetve ezzel egyen´ert´ e-k˝u m´odon a minim´alis affin gener´atorrendszereket tekinthetj¨uk. A geometria szempontj´ab´ol els˝osorban a v´eges dimenzi´os affin terek fontosak, ez´ert szor´ıt-koztunk a f¨uggetlens´eg ´es az affin b´azis fentebbi defin´ıci´oj´aban a v´eges esetre.

Transzfinit eszk¨oz¨oket felhaszn´alva az 1.3.16. ´All´ıt´as v´egtelen dimenzi´os ana-logonja is bebizony´ıthat´o volna.

1.3.17. Defin´ıci´o (Affin b´azishoz csatolt affin koordin´atarendszer).

Ha azA₀,A₁,. . .,A_d pontok affin b´azist alkotnakX-ben, akkor tetsz˝oleges izomorfizmust defini´altunk, amelyet azA₀,A₁,. . .,A_d affin b´azishoz csatolt affin koordin´atarendszernek nevez¨unk.

Nyilv´an b´armely x affin koordin´atarendszer ilyen m´odon keletkezik, m´ egpe-dig az A₀ = x⁻¹(0) ´es A_i = x⁻¹(e_i) (i = 1, . . . , d) pontok alkotta affin b´azisb´ol. (Itt e_i jel¨oli az F^d-beli i-edik standard b´azisvektort, azaz e_i =

= (0, . . . ,1, . . . ,0).)

1.3.18. T´etel. R¨ogz´ıts¨unk egy A0, A1, . . ., Ad affin b´azist az X affin t´ er-ben. Ekkor b´armelyP ∈X pont el˝o´all´ıthat´o azA0,A1,. . .,Ad pontok affin kombin´aci´ojak´ent, tov´abb´a az ehhez sz¨uks´eges egy¨utthat´okat aP pont

egy-´ertelm˝uen meghat´arozza.

Bizony´ıt´as :Legyenek λ1, . . . , λd ∈Faz adott affin b´azishoz csatolt affin ko-ordin´atarendszerben aP pont koordin´at´ai, azaz−−→

A0P =Pd Adpontok affin kombin´aci´oja, akkor egy tetsz˝olegesO∈X kezd˝opontot r¨ og-z´ıtve−−→

Bizony´ıt´as : Vektoriz´aljuk X-et az A0 pontban, azonos´ıtsuk V-vel az XA₀

vektorteret, ´es legyen a V-beli −−−→

A0Ai (i = 1, . . . , d) b´azishoz tartoz´o du´alis b´azis ϕi ∈ V^∗ (i = 1, . . . , d). Ekkor az 1.3.18. T´etel bizony´ıt´asa szerint i = 1, . . . , d-re si = ϕi ´es s0 = 1−(s1+. . .+sd). Emiatt s0, s1, . . . , sd

gener´atorrendszer azX^•=V^∗⊕Fvektort´erben, ´es mivel a dimenzi´od+ 1, b´azis is.

1.3.20. Defin´ıci´o (Du´alis affin form´ak). Az 1.3.19. ´All´ıt´asban szerepl˝o s0, s1,. . ., sd ∈X^• affin form´akat az A0, A1, . . ., Ad affin b´azishoz tartoz´o du´alis affin form´aknak nevezz¨uk.

K¨onnyen l´athat´o, hogy a du´alis affin form´akat azs_i(A_j) =δ_ij (0≤i, j≤d) egyenl˝os´egek is egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak ; ez a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asnak egy speci´alis esete.

1.3.21. ´All´ıt´as.HaA0,A1,. . .,Adaffin b´azis azX affin t´erben, tov´abb´aA⁰₀, A⁰₁,. . .,A⁰_dtetsz˝olegesen adott pontok azX⁰affin t´erben, akkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyanf :X→X⁰ affin lek´epez´es, melyref(Ai) =A⁰_i (i= 0,1, . . . , d).

Bizony´ıt´as : Az A₀, illetve A⁰₀ pontokban t¨ort´en˝o vektoriz´aci´oval az 1.1.4.

All´ıt´´ asra hivatkozva a megfelel˝o line´aris algebrai t´etelb˝ol r¨ogt¨on ad´odik.

1.3.22. K¨ovetkezm´eny.HaA0,A1,. . .,Ad´esB0,B1,. . .,Bd affin b´azisok az X affin t´erben, akkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyan f ∈ Aff (X) affinit´as, melyref(Ai) =Bi (i= 0,1, . . . , d).

Megjegyz´es.Az 1.3.22. K¨ovetkezm´enyben foglalt t´enyt a csoportelm´elet nyel-v´en ´ugy szok´as megfogalmazni, hogy az Aff (X) csoport

”egyszeresen tran-zit´ıvan hat” az X affin t´er rendezett affin b´azisainak halmaz´an. Csoportok hat´as´ar´ol a k´es˝obbiekben m´eg t¨obb alkalommal lesz sz´o.

In document Geometria (Pldal 42-52)