2. Konvex halmazok affin t´ erben
2.4. Elv´ alaszt´ as, t´ amaszhipers´ıkok
2.4.1. Defin´ıci´o (Elv´alaszthat´o halmazok).LegyenA, B⊆X. Azt mond-juk, hogy aH ⊂X hipers´ık elv´alasztja A-t ´esB-t, ha A ´esB a H szerinti k´et k¨ul¨onb¨oz˝o z´art f´elt´erbe esik. K´et X-beli ponthalmaz elv´alaszthat´o, ha tal´alhat´o hozz´ajuk olyan hipers´ık, amely elv´alasztja ˝oket.
Azt mondjuk, hogy aH hipers´ık szigor´uan elv´alasztja A-t ´es B-t, haA ´es B aH szerinti k´et k¨ul¨onb¨oz˝o ny´ılt f´elt´erbe esik. K´etX-beli ponthalmaz szi-gor´uan elv´alaszthat´o, ha tal´alhat´o hozz´ajuk olyan hipers´ık, amely szigor´uan elv´alasztja ˝oket.
Ha A ´es B konvex halmazok X-ben, akkor b´armely relintA-t ´es relintB-t elv´alaszt´o hipers´ık a 2.3.6. Defin´ıci´ot k¨ovet˝o ´eszrev´etel alapj´an egy´uttalA-t
´esB-t, ´es ´ıgyA-t ´esB-t is elv´alasztja.
A szigor´uan elv´alaszthat´o halmazok sz¨uks´egk´eppen diszjunktak, m´ıg az el-v´alaszthat´o halmazok nem felt´etlen¨ul azok. Sz´els˝os´eges p´eldak´ent b´armely hipers´ık elv´alasztja saj´at mag´at saj´at mag´at´ol.
2.4.2. Lemma (Banach–Hahn-t´etel).Legyen M ⊂X ny´ılt konvex hal-maz ´esY ⊂Xaffin alt´er, melyekreM∩Y =∅. Ekkor l´etezik olyanH hipers´ık X-ben, hogyY ⊆H ´esM ∩H =∅.
Bizony´ıt´as :Feltehetj¨uk, hogyM 6=∅. El˝osz¨or bel´atjuk a lemm´at a s´ık eset´ e-re, azaz abban a speci´alis esetben, amikor dimX= 2 ´esY ={P} egypont´u.
Tekints¨uk azN =S
λ>0HP,λ(M) ny´ılt halmazt. A 2.1.3-beli ¨ot¨odik p´elda sze-rint azN halmaz konvex, ´es nyilv´anP ∈∂N. Az N halmaznak van tov´abbi Q6=P hat´arpontja, hiszen{P}semmilyen s´ıkbeli konvex ny´ılt halmaz hat´ a-r´aval nem lehet azonos. ´All´ıtjuk, hogy azE=hP, Qiegyenes ekkor diszjunkt N-t˝ol, ´es ´ıgyM-t˝ol is. Ellenkez˝o esetben ugyanis v´alasszunk egyR∈E∩N pontot. Ha Raz E egyenesen a Q-t tartalmaz´o P szerinti f´elegyenesre esik, akkorQ =HP,λ(R) valamilyen λ >0-val, ahonnan Q∈N k¨ovetkezik, ami lehetetlen, hiszenN ny´ılt ´esQ∈∂N. Ha pedigR a m´asik f´elegyenes pont-ja, akkor a 2.3.2.(1) ´All´ıt´astN-re,Q-ra ´esR-re alkalmazva k¨ovetkezik, hogy P∈N, ami szint´en lehetetlen.
Tekints¨uk most az ´altal´anos esetet ; feltehetj¨uk, hogy d= dimX ≥3 ´es azt is, hogy dimY ≤d−2. LegyenZ ⊇Y maxim´alis dimenzi´osM-t˝ol diszjunkt affin alt´erX-ben, bel´atjuk, hogyZhipers´ık. Indirekt m´odon tegy¨uk fel, hogy dimZ≤d−2. Faktoriz´aljukX-et a−→
Z alt´er szerint ´es legyenq:X→X/−→ Z a faktoriz´al´o lek´epez´es. Ekkor aq(M)⊂X/−→
Z halmaz konvex, ny´ılt ´es aq(Z) pont nem tartozik hozz´a. V´alasszunk egy tetsz˝olegesS⊆X/−→
Z k´etdimenzi´os affin alteret aq(Z) ponton ´at. Alkalmazzuk a lemma m´ar bizony´ıtott speci´alis eset´et aq(Z) pontra ´es azS∩q(M) konvex ny´ılt halmazra azSaffin s´ıkban.
HaE ⊂S egyenes, melyreq(Z)∈E ´esE∩q(M) =∅, akkorq−1(E) egy Z-n´el magasabb dimenzi´os,Y-t tartalmaz´o,M-t˝ol diszjunkt affin alt´er X-ben, ami ellentmondZ maximalit´as´anak.
2.4.3. ´All´ıt´as. Legyenek M ´es N nem¨ures diszjunkt konvex halmazok X-ben, amelyek k¨oz¨ul legal´abb az egyik ny´ılt. Ekkor M ´es N elv´alaszthat´ok.
Ha mindk´et halmaz ny´ılt, akkor szigor´uan is elv´alaszthat´ok.
Bizony´ıt´as :Tegy¨uk fel, hogyMny´ılt. Tetsz˝olegesen v´alasztott orig´oval azono-s´ıtsukX-et aV vektort´errel, majd k´epezz¨uk azN−MMinkowski-kombin´aci´ot.
N−M ny´ılt halmaz, hiszenN−M =S
x∈N(x−M) ´es itt mindegyikx−M tag az M k¨oz´eppontos szimmetri´aval sz´armaz´o k´ep´enek egy eltoltja, teh´at ny´ılt. Tov´abb´a M∩N =∅miattN−M nem tartalmazza az orig´ot, ez´ert a 2.4.2. Lemma felhaszn´al´as´aval tal´alhat´o olyan s∈V∗ line´aris forma, amely mindenN −M-beli vektoron pozit´ıv ´ert´eket vesz fel. Emiatt az s(M)⊂R intervallum minden eleme kisebb azs(N)⊂Rintervallum minden elem´en´el.
V´alasszunk egy elv´alaszt´o pontot, azaz a [sups(M),infs(N)] z´art interval-lum egy tetsz˝oleges celem´et. Ekkor av7→s(v)−c affin forma z´er´ohalmaza olyan hipers´ık, amely elv´alasztja M-et ´esN-et. HaM ´esN is ny´ılt halmaz, akkors(M) ´ess(N) ny´ılt intervallumok ´es ´ıgyc /∈s(M)∪s(N), emiatt ez a hipers´ık szigor´uan v´alasztja elM-t ´esN-et.
2.4.4. K¨ovetkezm´eny. Legyenek K ´es L nem¨ures diszjunkt konvex z´art halmazok, amelyek k¨oz¨ul legal´abb az egyik kompakt. EkkorK´esLszigor´uan elv´alaszthat´ok.
Bizony´ıt´as :R¨ogt¨on k¨ovetkezik a 2.3.8. ´es a 2.4.3. ´All´ıt´asokb´ol.
Megjegyz´es. A 2.4.4. K¨ovetkezm´enyben a kompakts´agi feltev´es nem enged-het˝o el, tekints¨uk ugyanis p´eld´aul a 2.3.8. ´All´ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´esben sze-repl˝oK´esLhalmazokat.
2.4.5. K¨ovetkezm´eny.AzXaffin t´er egy r´eszhalmaza pontosan akkor kon-vex ´es z´art, ha el˝o´all z´art f´elterek metszetek´ent. A konvex z´art halmazok is
´es a konvex ny´ılt halmazok is el˝o´allnak ny´ılt f´elterek metszetek´ent.
Bizony´ıt´as : Z´art f´elterek metszete nyilv´an konvex ´es z´art. Megford´ıtva, le-gyenK⊆X konvex z´art halmaz. V´alasszunk a 2.4.4. K¨ovetkezm´eny alapj´an
mindenP ∈X−K ponthoz egyP-t ´esK-t szigor´uan elv´alaszt´o hipers´ıkot
´es annak aK-t tartalmaz´oFP z´art f´elter´et. EkkorK=T
P∈X−KFP. Ha a fenti konstrukci´oban FP-nek a megfelel˝o ny´ılt f´elteret v´alasztjuk, ak-korK ny´ılt f´elterek metszetek´ent ´all el˝o. V´eg¨ul, ha K ny´ılt, akkor a 2.4.3.
All´ıt´´ asra hivatkozva v´alasztjuk a hipers´ıkokat, majd a ny´ılt f´eltereket.
2.4.6. ´All´ıt´as. Ha K, L ⊆ X diszjunkt konvex halmazok, akkor b´armely P∈X pontraKdiszjunktconv {P} ∪L mindannyian egy s´ıkban vannak, ahol azhA, Di egyenes elv´alasztja B-t C-t˝ol, valamint a hB, Ci egyenes elv´alasztja A-t D-t˝ol. Emiatt az [A, D] ⊆
⊆ K ´es [B, C] ⊆ L szakaszok metszik egym´ast, ami ellentmond K ´es L diszjunkts´ag´anak.
2.4.7. T´etel. Legyenek K, L ⊂ X nem¨ures konvex halmazok, melyekre relintK´esrelintLdiszjunktak. EkkorK´esLelv´alaszthat´ok.
Bizony´ıt´as : Nyilv´an elegend˝o relintK ´es relintL elv´alaszthat´os´ag´at megmu-tatni.
HaK´esLk¨oz¨ul legal´abb az egyikd-dimenzi´os, akkor relintK´es relintLk¨oz¨ul legal´abb az egyik ny´ılt, ez´ert a 2.4.3. ´All´ıt´ast alkalmazva k´eszen vagyunk.
HaK´esLmindkettend-n´el alacsonyabb dimenzi´osak, akkor el´eg teh´at meg-mutatni, hogy relintK´es relintLbelefoglalhat´ok olyan diszjunkt konvex hal-mazokba, amelyek k¨oz¨ul legal´abb az egyikd-dimenzi´os. Ezt pedig a 2.4.6. ´ Al-l´ıt´as ism´etelt alkalmaz´as´aval ´erj¨uk el. Ha ugyanisM ´esN d-n´el alacsonyabb dimenzi´oj´u diszjunkt konvex halmazok, akkor valamelyP ∈X− hMi ∪ hNi pontot v´alasztva 2.4.6 szerint M kib˝ov´ıthet˝o a conv {P} ∪M
halmazz´a vagy N kib˝ov´ıthet˝o a conv {P} ∪N
halmazz´a ´ugy, hogy tov´abbra is k´et diszjunkt konvex halmazt kapjunk. E l´ep´es sor´an az egyik halmaz
dimenzi-´
oja eggyel n˝ott, ez´ert ilyen kib˝ov´ıt´esek v´eges egym´asut´anj´aval el˝obb-ut´obb egyik¨ukd-dimenzi´os lesz.
2.4.8. Defin´ıci´o (T´amaszhipers´ık, t´amaszf´elt´er).LegyenS⊆X tetsz˝ o-leges ponthalmaz. EgyH ⊂X hipers´ıkot az S halmaz t´amaszhipers´ıkj´anak mondunk, haS r´esze az egyikH szerinti z´art f´elt´ernek, ´es nincs olyan enn´el a f´elt´ern´el val´odi m´odon sz˝ukebb z´art f´elt´er, amely S-et tartalmazza. Az S halmaz t´amaszf´elter´enek mondjuk a H szerinti z´art f´elterek k¨oz¨ul az S-et tartalmaz´ot (illetve mindkett˝ot, haS⊆H).
P´eld´aul ha S r´esze az egyik H szerinti z´art f´elt´ernek ´es ugyanakkor H ∩
∩S 6=∅, akkor H sz¨uks´egk´eppen t´amaszhipers´ık. Lehets´eges azonban m´eg
konvex halmazok eset´eben is, hogy egy t´amaszhipers´ık nem tartalmazza a halmaz egyetlen hat´arpontj´at sem, l. pl. a 2.3.8. ´All´ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´ es-ben szerepl˝o K halmazt ´es azx-tengelyt mintKt´amaszegyenes´et.
AzShalmaz t´amaszhipers´ıkjait z´er´ohalmazk´ent el˝o´all´ıt´os∈X•affin form´ a-kat nyilv´an az a tulajdons´ag jellemzi, hogy azs(S) halmaz r´esze a sz´ amegye-nes pozit´ıv vagy negat´ıv z´art f´elegyenes´enek, ´es 0∈s(S).
2.4.9. T´etel. Konvex halmaz b´armely hat´arpontj´ahoz tal´alhat´o olyan t´ a-maszhipers´ık, amely ezt a pontot tartalmazza.
Bizony´ıt´as : Legyen K ⊂X konvex ´esP ∈ ∂K. Ha l´etezik K-t tartalmaz´o hipers´ık, akkor az t´amaszhipers´ık is. Ez´ert feltehet˝o, hogy dimK=d. Mivel ekkorP /∈relintK, alkalmazhatjuk a 2.4.7. T´etelt aK´es azL={P} halma-zokra. B´armely elv´alaszt´o hipers´ık egy´uttalP-n ´atmen˝o t´amaszhipers´ık.
2.4.10. ´All´ıt´as. Ha K konvex halmaz ´es H ∩relintK 6= ∅ teljes¨ul K-nak valamelyH t´amaszhipers´ıkj´ara, akkorK⊆H.
Bizony´ıt´as : dimK = d eset´en H ∩relintK 6= ∅ lehetetlen, hiszen ilyenkor relintK = intK ny´ılt. Ha pedig dimK < d, t´erj¨unk ´at a hKiaffin alt´erre ´es ahKi-beliH∩ hKit´amaszhipers´ıkra.
2.4.11. ´All´ıt´as.B´armely konvex z´art halmaz azonos a t´amaszf´eltereinek a metszet´evel.
Bizony´ıt´as :Jel¨oljeLaK konvex z´art halmaz t´amaszf´eltereinek a metszet´et.
A K ⊆ L tartalmaz´as nyilv´anval´o. Megford´ıtva, ha A ∈ X −K, akkor a 2.4.5. K¨ovetkezm´enyt alkalmazva tal´alhat´o olyan s ∈ X• affin forma, hogy s(A) < 0 ´es minden B ∈ K-ra s(B) ≥ 0. Legyen c = infs(K), ekkor az s0(P) =s(P)−c (P ∈X) k´eplettel adott affin forma ´altal defini´alt{P ∈X : :s0(P)≥0} t´amaszf´elt´er nem tartalmazza A-t, ´ıgyA /∈L. Teh´at L⊆K is
´erv´enyes.