3. Konvex poli´ ederek ´ es polit´ opok
3.4. Pol´ aris halmazok
Felvet˝odik a k´erd´es, vajon tal´alhat´o-e b´armely P polit´ophoz olyan polit´op, amelyP-hez k´epest du´alis kombinatorikai szerkezet˝u. Az igenl˝o v´alasz tiszt´ a-z´asa c´elj´ab´ol ebben a szakaszban egy ilyen, ´un. pol´aris polit´op konstrukci´oj´at t´argyaljuk. Ennek a P∗ polit´opnak a
”term´eszetes” helye nem ugyanaz az X affin t´er, aholP tal´alhat´o, hanem a du´alis t´er. Miut´an a konstrukci´oban az orig´o kit¨untetett szerepet j´atszik, X helyett eleve egyV v´eges dimenzi´os val´os vektort´erben fekv˝o halmazokra ´es polit´opokra szor´ıtkozunk.
3.4.1. Defin´ıci´o (Pol´aris halmaz).Jel¨oljeV∗aV du´alis vektorter´et. Tet-sz˝oleges nem¨uresS ⊆V halmazra defini´aljuk azS∗ ⊆V∗ halmazt, amelyet azS pol´aris halmaz´anak nevez¨unk :
S∗={α∈V∗ : mindenv∈S-reα(v)≤1}.
A defin´ıci´obanα-ra kir´ott k¨ovetelm´enyt jel¨olhetj¨uk α(S)≤1-gyel is.
Nyilv´an a0∈V orig´o (mint egyelem˝u halmaz) pol´aris halmaza az eg´eszV∗, tov´abb´a az eg´eszV vektort´er pol´aris halmaza csak a0∈V∗pontb´ol ´all. (Itt jegyezz¨uk meg, hogy a ∗ jel¨ol´es m´ar foglalt a vektorterek du´alisa sz´am´ara.
Most ezzel valamelyest ellentmond´asba ker¨ul¨unk, de csak akkor, amikor ma-g´anakV-nek vagy line´aris altereinek a pol´aris halmazair´ol akarunk besz´elni.
Miut´an a pol´aris halmazok ir´ant els˝osorban polit´opok eset´eben ´erdekl˝od¨unk, ez a k´et´ertelm˝us´eg nem fog k´es˝obb sem zavart okozni.)
A v ∈ V vektorok mint egyelem˝u r´eszhalmazok pol´aris halmaz´at jel¨olj¨uk Fv-vel, azaz legyen Fv={α∈V∗ : α(v)≤1}.
3.4.2. ´All´ıt´as
(1) Hav∈V,v6=0, akkorFv z´art affin f´elt´erV∗-ban, amelynek az orig´o bels˝o pontja.
(2) S∗=T
v∈SFv.
(3) Ha Hv jel¨oli az Fv f´elteret hat´arol´o hipers´ıkot, azaz v 6= 0 ´es Hv =
={α∈V∗ : α(v) = 1}, akkorHv1,. . .,Hvk pontosan akkor f¨uggetlen hipers´ıkok, hav1,. . .,vk line´arisan f¨uggetlen vektorok.
(4) Fu$Fv akkor ´es csak akkor ´all, hau6=0´es l´etezik olyan 0≤λ <1 skal´ar, hogyv=λu.
Bizony´ıt´as : Haszn´aljuk a V∗∗ =V term´eszetes azonos´ıt´ast, amelyn´el a v : :V∗ →R line´aris forma α∈ V∗-on azα(v) ´ert´eket veszi f¨ol, azazv(α) =
=α(v).
(1) : Av(α)≤1 (azaz azFv defin´ıci´oj´aban szerepl˝oα(v)≤1) egyenl˝otlens´eg z´art affin f´elteret defini´al V∗-ban. Miut´anα(0) = 0 < 1, a 0pont val´oban bels˝o pontja azFv f´elt´ernek.
(2) : Nyilv´anval´oS∗ ´esFv defin´ıci´oj´ab´ol.
(3) : R¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy a Hv hipers´ık a V∗ t´eren ´ertelmezett v−1affin forma z´er´ohalmaza.
(4) : Az
”akkor” implik´aci´o mag´at´ol ´ertet˝odik. A ford´ıtott ir´anyhoz feltehet-j¨uk, hogy v 6= 0. Ekkor Fu ⊆ Fv eset´en sz¨uks´egk´eppen Hu k Hv ´es ´ıgy u k v, azaz v = λu alkalmas λ-val. Ha most Fu 6= Fv, akkor tetsz˝oleges α ∈ Fv v´alaszt´as´aval α /∈ Fu, ahonnan 1 < α(u) = α(v)/λ = 1/λ, azaz 0< λ <1.
3.4.3. ´All´ıt´as.LegyenS, T ⊆V. Ekkor : (1) S∗ konvex z´art halmazV∗-ban ´es0∈S∗. (2) HaS⊆T, akkor S∗⊇T∗.
(3) S∗= conv(S)∗
.
(4) Ha0∈intS, akkorS∗ korl´atos.
(5) HaS korl´atos, akkor0∈intS∗. Bizony´ıt´as : (1) : A 3.4.2.(2) szerinti S∗ =T
v∈SFv el˝o´all´ıt´asban mindegyik Fv az orig´ot tartalmaz´o konvex z´art halmaz.
(2) : Nyilv´anval´o.
(3) : A ⊇ tartalmaz´as (2) alapj´an mag´at´ol ´ertet˝odik. A ford´ıtott ir´anyhoz vegy¨uk ´eszre, hogy tetsz˝oleges α ∈ V∗ mellett α conv(S)
= conv α(S) , ez´ert haα(S)≤1, akkorα conv(S)
≤1 is teljes¨ul.
(4) : Legyenstetsz˝olegesen adott affin forma aV∗t´eren, azt kell bel´atni, hogy azs(S∗)⊆Rhalmaz korl´atos. AV∗∗=V azonos´ıt´as mellett tetsz˝olegesα∈
∈V∗-ras(α) =α(v) +cvalamilyen r¨ogz´ıtettv∈V-vel ´esc∈Rkonstanssal.
Miut´an az orig´o bels˝o pontja S-nek, l´etezik olyan r ∈R, hogy v = rv0 ´es
±v0∈S. Ekkor b´armelyα∈A∗-ra
|s(α)|=|α(v) +c| ≤ |rα(v0)|+|c| ≤ |r|+|c|,
felhaszn´alva, hogy±v0∈S miatt|α(v0)| ≤1. Ez´erts(S∗) val´oban korl´atos sz´amhalmaz.
(5) : HaS korl´atos, akkor 3.2.7 alapj´an l´etezik olyanP ⊆V polit´op, melyre S⊆P. Ez´ertS benne fekszik v´eges sokV-beli pont (nevezetesenP cs´ucsai) konvex burk´aban : S ⊆ conv({v1, . . . ,vk}). Ebb˝ol (2) ´es (3) alkalmaz´as´aval ad´odik, hogy S∗ ⊇ Fv1∩. . .∩Fvk. Az itt szerepl˝o Fvi f´elterek mindegyike 3.4.2.(1) szerint a belsej´eben tartalmazza az orig´ot, ez´ert 0∈intS∗.
3.4.4. K¨ovetkezm´eny.HaK⊆V kompakt konvex halmaz, amely az orig´ot a belsej´eben tartalmazza, akkorK∗ is ilyen tulajdons´ag´u : kompakt, konvex,
´es V∗ orig´oj´at a belsej´eben tartalmazza. Emellett b´armely v ∈ ∂K-ra Fv t´amaszf´eltereK∗-nak.
Bizony´ıt´as : Az els˝o mondat csup´an egyes´ıti a 3.4.3-ban tiszt´azottakat, ´ıgy csak az utols´o ´all´ıt´ast kell bebizony´ıtanunk. Miut´an 0 ∈ intK v ∈ ∂K, a [0,v] szakasz nem hosszabb´ıthat´o megv-n t´ul K-ban, ez´ert 3.4.2.(3) miatt Fv minim´alis aK∗-ot tartalmaz´o f´elterek k¨oz¨ott a tartalmaz´asra n´ezve, azaz val´oban t´amaszf´elt´er.
Megjegyz´es. Azokat a kompakt konvex halmazokat, amelyeknek van bels˝o pontja, konvex testeknek nevezik. Azt kaptuk teh´at, hogy konvex test pol´aris halmaza is konvex test, ha az orig´o a test belsej´eben van.
A K∗ halmaz pol´aris halmaza a V∗ vektort´er du´alis´aban, azaz V∗∗ = V -ben fekszik. Nevezetes t´eny, hogy a 3.4.4-beli feltev´esek mellett ilyen m´odon mag´atK-t kapjuk vissza.
3.4.5. T´etel.HaK ⊆V kompakt konvex halmaz, amely az orig´ot a belse-j´eben tartalmazza, akkorK∗∗=K.
Bizony´ıt´as : AK ⊆K∗∗ tartalmaz´as tetsz˝oleges K ⊆V r´eszhalmazra auto-matikusan f¨onn´all, ugyanis ha v ∈ K ´es α∈ K∗, akkor v(α) = α(v) ≤ 1, ez´ertv∈K∗∗.
A ford´ıtott ir´any´u tartalmaz´ashoz tegy¨uk f¨ol, hogy v ∈/ K. Ekkor K-nak l´etezik olyan F t´amaszf´eltere, amelyre v ∈/ F. Alkalmas β ∈ V∗ line´aris form´aval ´esc ∈Rkonstanssal azF f´elt´er F ={u∈V :β(u)≤c} alakban
´ırhat´o. Ekkor teh´atβ(v)> c. Ittc >0, mert0∈intKmiatt az orig´o F-nek is a belsej´eben van. Ez´ert az α =β/c form´ara ´erv´enyes, hogy minden u∈
∈F-re, ´es ´ıgy speci´alisan minden u∈ K-ra is α(u)≤1. Eszerint α∈K∗, ugyanakkorv(α) =α(v)>1, ami azt mutatja, hogyv∈/K∗∗.
Erdemes kiemelni, hogy 3.4.4 ´´ es 3.4.5 polit´opokra szor´ıtkozva is ´erv´enyes : 3.4.6. T´etel. Ha a P ⊆ V polit´op a belsej´eben tartalmazza V orig´oj´at, akkor aP∗ pol´aris halmaz is polit´op V∗-ban, amely az orig´ot a belsej´eben tartalmazza, tov´abb´aP∗∗=P.
Bizony´ıt´as :Csak azt kell bizony´ıtanunk, hogyP∗ is polit´op, hiszen az ¨osszes t¨obbi ´all´ıt´as 3.4.4, illetve 3.4.5 speci´alis esete. Tudjuk, hogyP∗korl´atos, ez´ert 3.2.3 alapj´an el´eg annyit ellen˝orizni hogy konvex poli´eder, azaz v´eges sok f´elt´er metszete. Ezt pedig 3.4.3.(5) bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan aP cs´ucsaihoz tartoz´o pol´aris f´eltereket szerepeltetve l´atjuk.
Most kapcsolatot teremt¨unkP ´esP∗ lapjai k¨oz¨ott. Legyen teh´at a tov´ abbi-akbanP r¨ogz´ıtett konvex polit´opV-ben, melyre0∈intP.
3.4.7. Defin´ıci´o (L).LegyenLaP tetsz˝oleges val´odi lapja. Defini´aljuk az L⊆P∗ halmazt az
L=P∗∩ \
v∈L
Hv
formul´aval. Itt 3.4.4 miatt mindegyikFv t´amaszf´eltere, ´es ´ıgyP∗∩Hv pedig lapja P∗-nak. Az L halmaz teh´at lapok metszetek´ent ´all´ıthat´o el˝o, ez´ert maga is lap. HaL≤P nem val´odi lap, azazL=∅vagyL=P, akkor legyen
∅=P∗´esP=∅.
Nyilv´anval´o, hogy ha aP-beliL1,L2 lapokraL1⊆L2, akkor L1⊇L2. 3.4.8. T´etel.B´armelyL≤P lapradimL=d−dimL−1.
Bizony´ıt´as : A nem val´odi lapokra ez nyilv´anval´o a defin´ıci´ob´ol. Legyen a tov´abbiakban L ≤ P val´odi lap ´esk = dimL. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy dimL ≤ d−k−1. V´alasszunk k+ 1 darab affin-f¨uggetlen pontot L-ben, legyenek ezekv0,v1,. . .,vk. Ekkor0∈ hLi/ miatt av0,v1,. . .,vk vektorok
line´arisan f¨uggetlenek. Ez´ert aHv0,Hv1,. . .,Hvk hipers´ıkok f¨uggetlenek, ´es
´ıgy aHv0∩. . .∩Hvk affin alt´er dimenzi´oja (d−k−1)-gyel egyenl˝o. AzL lap benne fekszik ebben az alt´erben, ez´ert val´oban dimL≤d−k−1.
A ford´ıtott egyenl˝otlens´eg igazol´asa c´elj´ab´ol ´all´ıtsuk el˝o azL´altal kifesz´ıtett affin alteret, hLi-et, mint t´amaszhipers´ıkok metszet´et. V´alasszunk ki ezek k¨oz¨ul a t´amaszhipers´ıkok k¨oz¨ul d−k f¨uggetlent, M1-et, M2-t, . . ., Md−k-t
´
ugy, hogyhLi=M1∩M2∩. . .∩Md−klegyen. V´alasszuk mindeni= 1, . . . , d−
−k-ra Mi-hez azαi ∈V∗ line´aris form´at ´ugy, hogy az{x ∈V :α(x)≤1}
halmaz ´eppen aP-t tartalmaz´oMi szerinti f´elt´er legyen. Ekkorα1,. . .,αd−k
line´arisan f¨uggetlenek. Azt ´all´ıtjuk, hogy mindannyian hozz´atartoznak L -hez. Val´oban, egyr´eszt nyilv´anαi ∈P∗, m´asr´eszt ha v ∈L, akkor v ∈ Mi (azazαi(v) = 1) miattαi ∈Hv.
Ugy tekinthetj¨´ uk, hogy azL7→L hozz´arendel´es b´armely olyan polit´op lap-jaira ´ertelmezve van, amely valamely v´eges dimenzi´os val´os vektort´erben az orig´ot a belsej´eben tartalmazza. Alkalmazhatjuk teh´at m´asodszor is, ez´uttal P∗ lapjaira. Ekkor ´ujraP lapjaihoz jutunk.
3.4.9. T´etel.B´armelyL≤P lapraL =L.
Bizony´ıt´as :3.4.8 k´etszeri felhaszn´al´as´aval dimL= dimL, ez´ert el´eg bel´ at-ni, hogyL ⊆ L. Legyen v ∈ L tetsz˝oleges pont, azt kell megmutatnunk, hogy mindenα∈L-rev∈Hα. Haα∈L, akkor speci´alisan α∈Hv, azaz α(v) = 1 is ´erv´enyes. Ez azt jelenti, hogyv(α) = 1, azaz val´obanv∈Hα. 3.4.10. K¨ovetkezm´eny. P ´esP∗ du´alis kombinatorikai szerkezet˝u polit´ o-pok.
Bizony´ıt´as : Val´oban, a laph´al´ok k¨oz¨otti : L(P) → L(P∗) ´es : L(P∗)→ L(P) megfeleltet´esek rendez´esford´ıt´ok ´es 3.4.9 szerint egym´as inverzei, ´ıgy bijekt´ıvek. Teh´atP ´esP∗ laph´al´oi du´alisan izomorfak.
3.4.11. P´elda.Az orig´oP-n bel¨uli elhelyezked´ese l´enyegesen befoly´asoljaP∗ alakj´at. Ha p´eld´aulP keresztpolit´op ´es az orig´o a k¨oz´eppontja, akkorP∗ pa-rallelot´op. Viszont ha az orig´o a k¨oz´eppontt´ol k¨ul¨onb¨oz˝o bels˝o pontjaP-nek, akkor b´arP∗kombinatorikailag ekvivalens egy parallelot´oppal, szemk¨ozti hi-perlapjai ´altal´aban nem p´arhuzamosak, ´es ´ıgyP∗ nem parallelot´op.
Megjegyz´es.A pol´aris test konstrukci´oja a polit´opokt´ol k¨ul¨onb¨oz˝o konvex tes-tek eset´eben is ´erdekes geometriai jelens´egekhez kapcsol´odik. Megmutathat´o p´eld´aul, hogy haKellipszoidtest, amelynek az orig´o a k¨oz´eppontja, akkorK∗ is az. Err˝ol a projekt´ıv geometri´aban fontos szerepet j´atsz´o polarit´as kapcs´an lesz m´eg sz´o, l. 9.2.17.
A pol´aris halmazok haszn´alat´anak m´asik ´erdekes esete, amikor aV vektort´er egy konvex k´upj´ara alkalmazzuk a konstrukci´ot. Tegy¨uk fel most teh´at, hogy K ⊆V konvex k´up. Vegy¨uk ´eszre, hogy a pol´aris halmaz elemeit 3.4.1-ben defini´al´o α(v) ≤ 1 egyenl˝otlens´eg helyett ilyenkor α(v)≤ 0 is ´ırhat´o, azaz K∗ = {α ∈ V∗ : minden v ∈ K-ra α(v) ≤ 0}. Val´oban, egyr´eszt az ´ıgy defini´alt halmaz nyilv´anval´oan r´esze K∗-nak. M´asr´eszt pedig ha valamilyen α∈V∗line´aris forma nem tartozik hozz´a, akkor valamilyenv∈Kvektoron α(v) =a >0, ekkor (2/a)v∈K´esα (2/a)v
= 2 mutatja, hogyα /∈K∗. 3.4.12. Defin´ıci´o (Pol´aris k´up).HaKkonvex k´up aV val´os vektort´erben, akkor a
K∗={α∈V∗ : mindenv∈K-ra α(v)≤0}
halmaztK pol´aris k´upj´anak nevezz¨uk.
3.4.13. ´All´ıt´as
(1) K∗ z´art konvex k´upV∗-ban.
(2) HaKz´art, akkorK∗∗=K.
Bizony´ıt´as :(1) : Ha mostv∈K,v6=0-ra Fv az α(v)≤0 egyenl˝otlens´eggel adott z´art f´elteret jel¨oliV∗-ban, akkor ism´et K∗=T
v∈KFv, de most az itt szerepl˝o f´elterek mindegyike az orig´ot a hat´ar´an tartalmazza, ez´ert metszet¨uk z´art konvex k´up.
(2) : AK⊆K∗∗ tartalmaz´as 3.4.5 mint´aj´ara automatikus. A ford´ıtott ir´ any-hoz el´eg annyit ´eszrevenni, hogy hav∈/K, akkor l´etezik olyanK-t tartalma-z´o, orig´on ´athalad´o hat´ar´u z´art f´elt´er, amelyben vnincs benne, azaz l´etezik olyan α ∈ K∗, amelyre α(v) > 0. Egy ilyen α ´eppen azt tan´us´ıtja, hogy v∈/K∗∗.
A tov´abbiakban tegy¨uk f¨ol, hogy K val´odi konvex k´up V-ben, azaz V-t˝ol k¨ul¨onb¨ozik. Ilyenkor az orig´o relat´ıv hat´arpontjaK-nak. A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as a pol´aris k´up dimenzi´oj´at ´all´ıtja kapcsolatba az orig´onak mint hat´arpontnak a rendj´evel, l. 2.5.1.
3.4.14. ´All´ıt´as.B´armely K ⊆V val´odi konvex k´upra dimK∗ =d−r(0)
´erv´enyes.
Bizony´ıt´as :Kb´armely t´amaszhipers´ıkja tartalmazza az orig´ot, teh´atK azo-nos az orig´ohoz tartoz´o t´amaszf´eltereinek a metszet´evel. HaY jel¨oli a t´ amasz-hipers´ıkok metszet´et, akkor egyr´eszt defin´ıci´o szerintr(0) = dimY, m´asr´eszt Y aK-ban fekv˝o legb˝ovebb line´aris alt´erV-ben.
AK∗ halmaz nyilv´an benne fekszikY annull´ator´aban, amid−r(0) dimen-zi´os line´aris alt´er V∗-ban. M´asr´eszt ha K∗ egy enn´el val´odi m´odon sz˝ukebb alt´erben is benne volna, akkor ez az alt´er egy Y-n´al val´odi m´odon b˝ovebb
Z ≤ V alt´ernek volna az annull´atora. Ebb˝ol viszont Z ⊆ K∗∗ k¨ovetkezne, ami ellentmond 3.4.13.(2)-nek.
3.4.15. ´All´ıt´as. Ha K konvex poli´ederk´up (azaz olyan konvex k´up, amely egy´uttal konvex poli´eder), akkor K∗is az.
Bizony´ıt´as :Kval´odi lapjai k¨oz¨ott l´etezik egy tartalmaz´asra n´ezve legkisebb, m´egpedig a t´amaszhipers´ıkok metszetek´ent ad´od´o Y line´aris alt´er V-ben.
V´alasszunk b´azist az Y alt´erben ´es soroljuk f¨ol a b´azisvektorok±1-szereseit egy v1, v2, . . ., vk sorozatban. (Lehets´eges, hogy dimY = 0, ekkor ebben a l´ep´esben egyetlen vektort sem v´alasztunk.) A dimY-n´al eggyel nagyobb dimenzi´oj´u lapok relat´ıv belsej´eb˝ol szemelj¨unk ki egy-egy tov´abbi vektort : vk+1,vk+2,. . ., vm.
Azt ´all´ıtjuk, hogy K∗ = {α ∈ V∗ : α(vi) ≤ 0 (i = 1,2, . . . m)}. Ha ezt bel´atjuk, akkor ezzelK∗-ot el˝o´all´ıtottuk v´eges sok f´elt´er metszetek´ent (neve-zetesen az Fvi ={α∈V∗ : α(vi)≤0} f´elterek metszetek´ent), azaz K∗-r´ol bebizony´ıtottuk, hogy konvex poli´ederk´up.
Vegy¨uk ´eszre, hogy b´armely v∈K vektor el˝o´all´ıthat´o av1,v2,. . .,vm vek-torok nemnegat´ıv egy¨utthat´os kombin´aci´ojak´ent. Ez k¨onnyen meggondolhat´o av-t tartalmaz´o lap dimenzi´oja szerinti indukci´oval.
Nyilv´an K∗ ⊆ {α ∈ V∗ : α(vi) ≤ 0 (i = 1,2, . . . m)}. A ford´ıtott tartal-maz´as pedig a fenti ´eszrev´etel k¨ovetkezm´enye : ha αnempozit´ıv ´ert´eket vesz fel mindegyikvi vektoron, akkor ugyancsak nempozit´ıv ´ert´eket vesz fel ezek b´armely nemnegat´ıv egy¨utthat´os kombin´aci´oj´an is, azaz K minden elem´en,
´es ez´ert K∗-hoz tartozik.
Megjegyz´esek.(1) A konvex poli´ederk´upok ´es pol´aris k´upjaik lapstrukt´ur´aja k¨oz¨ott a polit´opok eset´ehez hasonl´o dualit´asi viszony ´all f¨onn. A 3.4.7–3.4.10-beli defin´ıci´ok ´es t´etelek csek´ely m´odos´ıt´asokkal ´atfogalmazhat´ok a k´upok eset´ere. A konvex poli´ederk´upok k¨or´eben a laph´al´ot ´ugy ´erdemes defini´alni, hogy az ¨ures halmazt nem tekintj¨uk lapnak. EkkorK´esK∗laph´al´oi du´alisan izomorfak.
(2) A konvex k´upok ´es poli´ederk´upok ´erdekes, geometri´an bel¨uli alkalmaz´asi ter¨ulete a g¨ombi geometri´aban a konvex halmazok ´es poli´ederek elm´elete. A g¨ombi konvex halmazokat, illetve g¨ombi konvex poli´edereket ugyanis ´eppen a konvex k´upok, illetve konvex poli´ederk´upok metszik ki egy euklideszi vektor-t´er orig´o k¨or¨uli g¨ombj´eb˝ol. A g¨ombh´aromsz¨ogekkel kapcsolatban 0.3.6-ban megismert polarit´as is ´ıgy sz´armazik a pol´aris k´up konstrukci´oj´ab´ol a h´ arom-dimenzi´os t´er tri´edereire mint poli´ederk´upokra vonatkoz´oan.
Az euklideszi t´er hagyom´anyosan a geometria tudom´any´anak els˝o sz´am´u c´ el-pontja ´es terepe. A geometria sok ´evsz´azados t¨ort´enete hatalmas ismeret-anyagot halmozott f¨ol az euklideszi t´err˝ol. Ennek csak igen kis r´esz´et tudjuk itt ´erinteni. Els˝osorban az ´altal´anos, tetsz˝oleges dimenzi´oj´u euklideszi terek matematikai kezel´es´ehez sz¨uks´eges appar´atus kidolgoz´as´at, ´es egy-k´et jellem-z˝o eredm´eny bemutat´as´at t˝uzz¨uk ki c´elul. A magasabb dimenzi´os euklideszi t´erfogalom az affin geometri´ara ´es a line´aris algebra eszk¨ozeire ´ep¨ul. A t´er
´es transzform´aci´oi szerkezet´enek ´attekint´ese ut´an az inverzi´oval, szab´alyos testekkel, ´es konvex testek metrikus tulajdons´agaival foglalkozunk.