4. Euklideszi terek ´ es transzform´ aci´ oik
4.7. Magasabb dimenzi´ os g¨ ombi geometria
A g¨ombi geometria alapvet˝o defin´ıci´oival ´es eszk¨ozeivel a h´aromdimenzi´os eulideszi t´erben fekv˝o g¨ombfel¨ulet eset´eben m´ar 0.3-ban megismerkedt¨unk.
Most ´attekintj¨uk, hogyan lehet ezeket a fogalmakat tetsz˝oleges dimenzi´o ese-t´ere kiterjeszteni. A g¨ombi geometria konkr´et modellj´e¨ul egy euklideszi vek-tort´er egys´egg¨ombj´et v´alasztjuk ; ez´altal a g¨ombi geometria az euklideszi geo-metria r´eszek´ent t´argyalhat´o.
4.7.1. Defin´ıci´o (G¨ombi t´er, g¨ombi alt´er). LegyenV tetsz˝oleges eukli-deszi vektort´er, dimV =d+ 1≥1. G¨ombi t´ernek, pontosabband-dimenzi´os g¨ombi t´ernek nevezz¨uk V egys´egg¨ombj´et, azaz azS ={a ∈V : kak = 1}
halmazt.
HaU ≤V tetsz˝oleges (k+ 1)-dimenzi´os line´aris alt´er, akkor azS∩U halmaz maga is k-dimenzi´os g¨ombi t´er. Az S g¨ombi t´er ´ıgy keletkez˝o r´eszhalmazait k-dimenzi´os g¨ombi altereknek nevezz¨uk (0≤k≤d).
P´eld´aul azS-beli ´atellenes pontp´arok a 0-dimenzi´os g¨ombi alterek. Az egydi-menzi´os g¨ombi alterek pontosanSf˝ok¨orei ; ezek j´atssz´ak az egyenesek szerep´et a g¨ombi geometri´aban.
HaV =Rd+1 a standard euklideszi koordin´atat´er, akkor egys´egg¨ombj´ere a szok´asosSd jel¨ol´est haszn´aljuk ; ez a standardd-dimenzi´os g¨ombi t´er.
4.7.2. Defin´ıci´o ( ´Erint˝ovektor, ´erint˝ot´er). Legyen S g¨ombi t´er V-ben, a ∈ S. Egy v ∈ V vektort az S g¨ombi t´er a pontbeli ´erint˝ovektor´anak nevez¨unk, ha v⊥a.
R¨ogz´ıtett a ∈ S mellett az a-beli ´erint˝ovektorok az a⊥ line´aris hipers´ıkot alkotj´akV-ben. Ezt a d-dimenzi´os vektorteret az S g¨ombi t´er a-beli ´erint˝ o-ter´enek nevezz¨uk, ´esTaS-sel jel¨olj¨uk.
HaS0⊆S g¨ombi alt´er ´esa∈S0, akkor aTaS0 ´erint˝oteret azS0 gener´altaV -beli alt´erre vonatkoz´oan ´all´ıtjuk el˝o mintaortogon´alis kieg´esz´ıt˝o hipers´ıkj´at, ez´ert ilyenkorTaS0 line´aris alt´er aTaS´erint˝ot´erben.
Megjegyz´es.Szeml´elet¨unk azt k´ıv´ann´a, hogy az ´erint˝oterek a g¨omb¨ot val´oban
”´erints´ek”, azaz annak csak egyetlen pontj´at tartalmazz´ak. Sz´amol´asainkban
nagyobb haszonnal j´ar viszont, ha az ´erint˝oterek vektorterek, ez´ert a g¨ombb˝ol az egyetlenak¨oz¨os pontot tartalmaz´oa+ (a⊥) affin hipers´ık helyett a vele p´arhuzamos line´aris alteret, mag´ata⊥-t tekintj¨uk ´erint˝ot´ernek. Ezzel a
meg-´
allapod´assal csak most, a g¨ombi geometria t´argyal´asa sor´an ´el¨unk ; k´es˝obb, amikor euklideszi affin t´erben fekv˝o g¨omb¨ok ´erint˝oaltereir˝ol besz´el¨unk, azok a g¨omb egyetlen pontj´at tartalmaz´o affin alterek lesznek majd.
4.7.3. Defin´ıci´o (F˝ok¨or ir´anyvektora ´es param´eteres megad´asa). Le-gyenK ⊆S f˝ok¨or az S g¨ombi t´erben, ´es legyena ∈K. EkkorK =S∩U, ahol U ≤V k´etdimenzi´os line´aris alt´er. Egyu∈TaS ´erint˝ovektort a K f˝ o-k¨orapontbeli ir´anyvektor´anak mondunk, haa´esuazU alteret gener´alj´ak.
Nyilv´anval´o, hogy azu⊥ak¨ovetelm´eny miatt azuvektortK´esanemz´erus skal´art´enyez˝o erej´eig egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak.
Megford´ıtva, ha tesz˝olegesen adott az a ∈ S pont ´es az u∈ TaS nemnulla
´erint˝ovektor, akkor egy ´es csak egy olyanKf˝ok¨or l´etezikS-ben, amely ´athalad a-n ´es amelynekuir´anyvektora, m´egpedigKaza´esugener´alta line´aris alt´er metszeteS-sel. Tegy¨uk fel most, hogy uis egys´egvektor. Ekkor az
r(t) = costa+ sintu
k´eplet param´eteresen ´all´ıtja el˝o aK f˝ok¨ort. Val´oban, egyr´esztr(t) aza´esu kombin´aci´oja l´ev´en hozz´atartozik a sz´oban forg´o line´aris alt´erhez, m´asr´eszt k¨ozvetlen sz´amol´assal r¨ogt¨on l´atszik, hogykr(t)k= 1. (Atparam´eter nyilv´an az el˝ojeles k¨oz´epponti sz¨ogelfordul´ast m´eri aza´esugener´alta s´ıkban.) 4.7.4. Defin´ıci´o (G¨ombi szakasz). Ha a ´es b k´et k¨ul¨onb¨oz˝o ´es nem ´ at-ellenes pont azS g¨ombi t´erben (azaz, egyen´ert´ek˝u m´odon,a´esbline´arisan f¨uggetlen egys´egvektorok a V euklideszi vektort´erben), akkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyanK f˝ok¨or S-ben, amely a-t ´esb-t tartalmazza. Ennek a f˝ok¨ or-nek a r¨ovidebbik (azazπ-n´el kisebb k¨oz´epponti sz¨og˝u) ´ıv´et tekintj¨uk az a,b v´egpont´u g¨ombi szakasznak. AK f˝ok¨ora-beli ir´anyvektorai k¨oz¨ott el tudjuk k¨ul¨on´ıteni abir´any´aba mutat´o vektorokat a t¨obbit˝ol : egyuir´anyvektorr´ol akkor mondjuk, hogybfel´e mutat, ha a b=λa+µufel´ır´asbanµ >0. En-nek alapj´an egy g¨ombi szakasz v´egpontjaiban egy´ertelm˝uen tudunk a m´asik v´egpont ir´any´aban egys´egnyi ir´anyvektorokat felvenni.
4.7.5. Defin´ıci´o (G¨ombi t´avols´ag). Az S ⊂ V g¨ombi t´erben az a,b ∈
∈S pontokρg(a,b) g¨ombi t´avols´ag´an aza´esbegys´egvektorok ´altal bez´art sz¨oget ´ertj¨uk. Teh´at a g¨ombi t´avols´agot a
ρg(a,b) = cos−1(a·b) k´eplet adja meg.
4.7.6. Lemma.Az S halmazon az euklideszi t´avols´ag ´es a g¨ombi t´avols´ag k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak egym´ast a ρg = 2 sin−1(ρ/2) for-mul´aval.
Bizony´ıt´as :A k´et t´avols´ag kapcsolata r¨ogt¨on l´athat´o abb´ol az egys´egnyi ´ at-fog´oj´u der´eksz¨og˝u h´aromsz¨ogb˝ol, amelynek az orig´oban lev˝o ρg/2 sz¨og´evel szemben a ρ/2 hossz´us´ag´u befog´oja ´all. Azx 7→ 2 sin−1(x/2) f¨uggv´eny va-l´oban bijekt´ıv (szigor´uan monoton n¨ov˝o) a [0,2] ´es a [0, π] intervallum k¨ o-z¨ott.
4.7.7. Defin´ıci´o (Sz¨og a g¨ombi geometri´aban).Tegy¨uk fel, hogy aza∈
∈Spont aK1, K2⊆Sf˝ok¨or¨ok k¨oz¨os pontja. AzapontbanK1´esK2sz¨og´en aza-beli ir´anyvektoraik ´altal bez´art k´et lehets´eges (egym´astπ-re kieg´esz´ıt˝o) sz¨og k¨oz¨ul a nem nagyobbat ´ertj¨uk.
Ha k´et g¨ombi szakasz egy k¨oz¨os v´egpontjukban,a-ban csatlakozik, akkor a k´et g¨ombi szakasz ´altal bez´art sz¨oget ´ugy ´ertelmezz¨uk mint azapontb´ol a m´asik k´et v´egpontba vezet˝o g¨ombi szakaszokhoz tartoz´o k´eta-beli ir´anyvektor k¨ozti sz¨oget. Ez a sz¨og b´armely legal´abb 0 ´es legfeljebbπ´ert´eket felvehet.
4.7.8. ´All´ıt´as.A f˝ok¨or¨ok 4.7.3-beli param´eterez´es´en´el tetsz˝olegest1, t2∈R,
|t1−t2| ≤πeset´en
ρg r(t1),r(t2)
=|t1−t2|,
azaz a param´eter´ert´ekek k¨ul¨onbs´ege (lok´alisan) a megfelel˝o pontok g¨ombi t´avols´ag´at adja meg.
Bizony´ıt´as : Az ´all´ıt´as tulajdonk´eppen nyilv´anval´o abb´ol, hogy a 4.7.3-beli param´eterez´es a k¨oz´eppontban m´ert sz¨ogelfordul´as szerint t¨ort´enik. A formu-la ak´ar k¨ozvetlen sz´amol´assal is ellen˝orizhet˝o, ha mindk´et oldal koszinusz´at vessz¨uk ´es a koszinuszf¨uggv´eny add´ıci´os k´eplet´et haszn´aljuk.
Megjegyz´es.A g¨ombi t´avols´ag k´eplete ugyanazt a t´avols´agfogalmat adja, mint amit 0.3-ban a k´etdimenzi´os g¨ombi geometri´aban haszn´altunk. K´et, k¨oz¨os ponttal b´ır´o g¨ombi f˝ok¨or, illetve k´et csatlakoz´o g¨ombi szakasz mindig benne van egy legfeljebb k´etdimenzi´os g¨ombi alt´erben, ´es egy ilyen alteret tekint-ve nyilv´anval´o, hogy a sz¨og mostani defin´ıci´oja egybeesik a g¨ombh´aromsz¨ o-gek kapcs´an r´egebben tiszt´azott sz¨ogfogalommal. Ezek miattS k´etdimenzi´os g¨ombi altereiben a t´avols´agokkal ´es a sz¨ogekkel kapcsolatban mindaz ´erv´ e-nyes, amit a g¨ombfel¨ulet geometri´aj´ar´ol 0.3-ban meg´allap´ıtottunk. H´arom S-beli ponthoz is mindig tal´alhat´o olyan legfeljebb k´etdimenzi´os g¨ombi al-t´er, amely ˝oket tartalmazza, ez´ert a magasabb dimenzi´os g¨ombi t´erben fekv˝o g¨ombh´aromsz¨ogek is ugyan´ugy ´ertelmezhet˝ok, mint a k´etdimenzi´os g¨ ombfe-l¨uleten. A g¨ombh´aromsz¨ogekkel kapcsolatos trigonometriai t´etelek ´es egyen-l˝otlens´egek is mind ´erv´enyesek a magasabb dimenzi´os g¨ombi geometri´aban.
Ezek k¨oz¨ul a legalapvet˝obbet, a g¨ombi koszinuszt´etelt most ´ujra bebizony´ıt-juk az itt bevezetett eszk¨oz¨ok seg´ıts´eg´evel. Ennek az az oka, hogy ez a gon-dolatmenet ad mint´at a hiperbolikus s´ıkon k´es˝obb v´egzend˝o trigonometriai vizsg´alatainkhoz, l. 11.3.
4.7.9. T´etel (G¨ombi koszinuszt´etel). Ha a, b ´es c jel¨oli egy g¨ombh´ a-romsz¨og oldalainak g¨ombi hossz´at, ´esαjel¨oli azaoldallal szemk¨ozti sz¨oget, akkor
cosa = cosbcosc + sinbsinccosα .
Bizony´ıt´as : Legyenek a, b´esc ∈ S rendre az a, b, c oldalakkal szemk¨ozti cs´ucsok. Ekkor a g¨ombi t´avols´ag 4.7.5-beli defin´ıci´oja alapj´an cosa=b·c.
V´alasszunk egys´egnyi ir´anyvektorokat azav´egpontban aza-b´ol kiindul´o k´et oldalszakasz ir´any´aban, m´egpedigumutassonbfel´e,vpedigcfel´e. Ekkor a sz¨og 4.7.7-beli defin´ıci´oja szerint cosα=u·v.
Param´eterezz¨uk 4.7.3 szerint a g¨ombh´aromsz¨og a-b´ol indul´o oldalait az a kezd˝opontot ´es azu, illetve vir´anyvektort haszn´alva. A 4.7.8. ´All´ıt´as miatt ezek a param´eterez´esek at=c, illetvet=bhelyettes´ıt´essel ´eppen ab, illetve accs´ucsot ´all´ıtj´ak el˝o :
b = cosc a+ sincu c = cosba+ sinbv.
Szorozzuk ¨ossze skal´arisan a k´et bal oldalt, illetve a k´et jobb oldalt, ebb˝ol, felhaszn´alva, hogya⊥u´esa⊥v, a
b·c= cosb cosc kak2 + sinbsincu·v
formul´at kapjuk, amib·c= cosa,kak= 1, ´esu·v= cosαalapj´an a t´etel
´
all´ıt´as´aval egyen´ert´ek˝u.
4.7.10. K¨ovetkezm´eny.Aρg g¨ombi t´avols´agf¨uggv´eny metrika azS halma-zon, ´es annak az euklideszi t´erb˝ol ¨or¨ok¨olt topol´ogi´aj´at sz´armaztatja.
Bizony´ıt´as : Egyed¨ul a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg nem nyilv´anval´o ρg defin´ı-ci´oja alapj´an a metrik´at´ol megk¨ovetelt tulajdons´agok k¨oz¨ul. Ha S h´arom pontja egy f˝ok¨orre illeszkedik, akkor k¨ozt¨uk a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg k¨ oz-vetlen szemrev´etelez´essel l´athat´o, ha pedig nem, azaz a h´arom pont g¨ omb-h´aromsz¨oget fesz´ıt ki, akkor a g¨ombh´aromsz¨ogekre vonatkoz´o, 0.3.5.(1)-ben bebizony´ıtott szigor´u h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eget alkalmazhatjuk.
Az S halmazra szor´ıtkozva a ρ euklideszi t´avols´agf¨uggv´eny ´es a ρg g¨ombi t´avols´agf¨uggv´eny egym´as pozit´ıv konstansszorosaival becs¨ulhet˝ok (m´egpedig 4.7.6-b´ol ad´od´oanρ≤ρg≤πρ), ez´ert ez a k´et metrika ugyanazt a topol´ogi´at sz´armaztatjaS-en.
A tov´abbiakban az (S, ρg) metrikus t´er izometri´aival ´es izometriacsoportj´aval foglalkozunk. Vil´agos, hogy az S-et mag´aban foglal´o V euklideszi vektort´er b´armely ortogon´alis transzform´aci´oj´at S-re megszor´ıtva izometri´at kapunk.
A k¨ovetkez˝o t´etel szerint a g¨ombi t´er minden izometri´aja ´ıgy ´all el˝o.
4.7.11. T´etel.I(S, ρg) =O(V). Pontosabban, a k´et csoport k¨oz¨ott izomor-fizmust l´etes´ıt aV-beli ortogon´alis transzform´aci´okS-re t¨ort´en˝o lesz˝uk´ıt´ese.
Bizony´ıt´as :Csak azt kell ellen˝orizn¨unk, hogy b´armelyS-et ¨onmag´ara k´epez˝o, ρg szerint izometrikus lek´epez´es kiterjeszthet˝oV ortogon´alis transzform´aci´ o-j´av´a.
Egy ortonorm´alt b´azis r¨ogz´ıt´es´evel azonos´ıtsukV-t azRd+1koordin´atat´errel
´esS-et azSdstandard g¨ombbel. Legyenf ∈I(S) tetsz˝oleges izometria. Ekkor az Rd+1-beli standard b´azisvektorok f-n´el sz´armaz´o k´epei szint´en ortonor-m´alt b´azist alkotnakRd+1-ben, hiszen p´aronk´entπ/2 g¨ombi t´avols´agra l´ev˝o egys´egvektorok. L´etezik teh´at olyanA∈O(d+ 1) ortogon´alis transzform´aci´o, amelyn´elAei=f(ei) (i= 1, . . . , d+ 1).
Azt ´all´ıtjuk hogy f = A|S. Ha x ∈ S tetsz˝oleges pont, akkor minden i =
= 1, . . . , d+ 1-re ρg f(x), f(ei)
=ρg(x,ei) =ρg(Ax, Aei) =ρg Ax, f(ei) ,
azaz az y = f(x) pontnak ´es a z =Ax pontnak ugyanakkora a g¨ombi t´ a-vols´aga azf(ei) pontok mindegyik´et˝ol. Ez´ert a 4.7.6. Lemm´ara hivatkozva ugyanez a
”l´egvonalban m´ert” euklideszi t´avols´agokra is igaz. Miut´an mind y, mindzegys´egvektor, l´atjuk, hogyy´eszugyanakkora euklideszi t´avols´ ag-ra van egyRd+1-beli affin b´azis minden elem´et˝ol, m´egpedig a 0, f(e1), . . ., f(ed+1) pontokt´ol. Ez pedig a 4.2.11. Lemma bizony´ıt´as´aban tett ´eszrev´etelek miatt azt mutatja, hogyy=z, amit bizony´ıtani akartunk.
A g¨ombi t´er izometri´aival kapcsolatban most egy olyan jelens´eget tanulm´ a-nyozunk, amely csak magasabb dimenzi´oban jelenik meg, a k´etdimenzi´os g¨ombfel¨ulet geometri´aj´aban m´eg nem.
4.7.12. Defin´ıci´o (Clifford-eltol´as). Legyen (X, ρ) tetsz˝oleges metrikus t´er. Egy f : X → X izometri´at Clifford-eltol´asnak nevez¨unk, ha minden pontot ugyanakkora t´avols´agra mozd´ıt el, azaz ha az x 7→ρ x, f(x)
val´os f¨uggv´eny konstansX-en.
Vegy¨uk ´eszre, hogy ha az f ´es g izometri´ak konjug´altak az I(X) izomet-riacsoportban, ´es egyik¨uk Clifford-eltol´as, akkor a m´asik is az. Val´oban, ha g = h◦f ◦h−1, akkor ρ x, g(x)
= ρ x, h f h−1(x)
=ρ y, f(y) , ahol y=h−1(x).
Az euklideszi terek eltol´asai nyilv´an Clifford-eltol´asok. A 4.4.6. T´etel birto-k´aban azt is k¨onny˝u l´atni, hogy euklideszi t´erben egy Clifford-eltol´as csakis
eltol´as lehet. Egy euklideszi izometria ugyanis a tengely´enek a pontjait (´es csak azokat) mozd´ıtja el a lehet˝o legkisebb m´ert´ekben, teh´at ha ez az elmoz-d´ıt´as konstans m´ert´ek˝u, akkor a tengely – amelyen az izometria eltol´assal hat – csak az eg´esz t´er lehet.
A g¨ombi geometri´aban is l´eteznek Clifford-eltol´asok : az ´un. antipod´alis lek´ e-pez´es, amely minden ponthoz az ´atellenes´et (azaz minden vektorhoz a (−1)-szeres´et) rendeli, b´armely dimenzi´oban Clifford-eltol´as. Ez a p´elda azonban intuit´ıv szempontb´ol nem igaz´an kiel´eg´ıt˝o, hiszen szeml´elet¨unk az eltol´ast´ol valamif´ele folytonos mozg´as lehet˝os´eg´et v´arja. Az euklideszi geometri´aban b´armely tv eltol´as val´oban belefoglalhat´o eltol´asoknak egy ´un.
”egyparam´ e-teres csoportj´aba”, m´egpedig atsveltol´asok sereg´ebe, aholsval´os param´eter.
(Vegy¨uk ´eszre, hogy itt azs7→tsvhozz´arendel´es folytonos homomorfizmus a val´os sz´amok addit´ıv csoportj´ab´ol az euklideszi t´er izometri´ainak a csoport-j´aba.)
Meglep˝o m´odon ha a g¨ombi t´er dimenzi´oja p´aratlan, akkor az antipod´alis lek´epez´es belefoglalhat´o Clifford-eltol´asok egyparam´eteres csoportj´aba.
4.7.13. P´elda.P´aratlandmellett tekints¨ukα∈R-re a
m´atrixot, ahol mindegyik 2×2-esRαblokk ugyanaz azαsz¨og˝u forgat´asm´ at-rix. Nyilv´an azα7→C(α) lek´epez´es folytonos homomorfizmus ´esC(π) =−I.
Azt is k¨onny˝u ellen˝orizni, hogyC(α) Clifford-eltol´ast l´etes´ıt azSdg¨ombi t´ e-ren minden α-ra : ha kxk= 1, akkor a C(α)x
·x= cosαskal´aris szorzat,
´es ´ıgy a ρg C(α)x,x
g¨ombi t´avols´ag is f¨uggetlen x-t˝ol. P´aros dimenzi´oj´u g¨ombi t´er eset´eben viszont az identit´ason ´es az antipod´alis lek´epez´esen k´ıv¨ul nincsen Clifford-eltol´as. Ezt a 4.4.1 K¨ovetkezm´enyt haszn´alva tudjuk a leg-egyszer˝ubben bel´atni : ha a befoglal´o t´er dimenzi´oja p´aratlan, akkor b´armely ortogon´alis transzform´aci´onak sz¨uks´egk´eppen van 1 abszol´ut ´ert´ek˝u saj´at´ er-t´eke, ´es emiatt a g¨ombi t´ernek van olyan pontja, amely vagy fixen marad, vagy az ´atellenes´ebe k´epez˝odik.
P´aratland eset´en a C(α) ∈ I(Sd) Clifford-eltol´asokat eleg´ans m´odon lehet sz´armaztatni komplex sz´amok haszn´alat´aval. Ha ugyanis d= 2n−1, akkor Sd felfoghat´o mint aCfelettn-dimenzi´osCnkomplex t´er egys´egg¨ombje. Az S1⊂Ckomplex egys´egk¨or valamelyeαi elem´evel t¨ort´en˝o szorz´as, azaz a
(z1, . . . , zn)7→(eαiz1, . . . , eαizn)
lek´epez´es azSdg¨omb¨ot saj´at mag´aba k´epezi, ´es ennek a lek´epez´esnek a m´ at-rixa a szok´asos C = R2 azonos´ıt´as mellett ´eppen a fenti C(α)-val egyezik
meg. Ha kiv´alasztunk egy tetsz˝olegesz∈Cn vektort, akkor ennek az ¨osszes C(α)-val vett Clifford-eltoltjai az S1z = (Cz)∩Sd halmazt alkotj´ak. Itt Cz komplex egyenes, ami k´etdimenzi´os line´aris alt´er R f¨ol¨ott, ez´ert Sd-vel vett metszete f˝ok¨or. Azt kaptuk teh´at, hogy aC(α) Clifford-eltol´asok sereg´et v´egrehajtvaSd b´armely pontja f˝ok¨or ment´en mozog. Az ´ıgy el˝o´all´o f˝ok¨or¨ok nyilv´an p´aronk´ent diszjunktak ´es egy¨utt lefedik Sd-t.
4.7.14. ´All´ıt´as.Hadp´aratlan, akkor azSd standard g¨ombi t´erben b´armely Clifford-eltol´as alkalmas α mellett a 4.7.13-beli C(α)transzform´aci´o konju-g´altja azI(Sd)izometriacsoportban.
Bizony´ıt´as : Az identit´as α= 0, az antipod´alis lek´epez´es α =π mellett ´all el˝o C(α)-k´ent. Ha adott egy ezekt˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o Clifford-eltol´as az Sd t´erben, akkor ´ırjuk f¨ol az ˝ot l´etes´ıt˝o ortogon´alis transzform´aci´ot alkalmas ortonor-m´alt b´azisban a 4.4.1 K¨ovetkezm´eny szerinti blokkm´atrix-alakban. Azi-edik invari´ans alt´erben azRαi forgat´asi blokk a g¨omb pontjaitαig¨ombi t´avols´ ag-ra mozd´ıtja el. Ez´ert az ¨osszes αi egyenl˝o, azaz a k¨oz¨os ´ert´eketα-val jel¨olve ebben a b´azisban a transzform´aci´o m´atrixaC(α). A standard b´azisra ´att´erve teh´at C(α) konjug´altj´at kapjuk.
4.7.15. Defin´ıci´o (Clifford-p´arhuzamos halmazok). Legyenek A ´es B tetsz˝oleges nem¨ures halmazok az (X, ρ) metrikus t´erben. Azt mondjuk, hogy A´esB Clifford-p´arhuzamosak, ha az a 7→ρ(a, B) f¨uggv´eny konstans az A halmazon ´es a b 7→ ρ(b, A) f¨uggv´eny konstans a B halmazon. (Itt Y ⊆ X eset´enρ(x, Y) jel¨oli az x∈X pont t´avols´ag´at azY halmazt´ol azX t´erben, azaz az inf{ρ(x, y) :y∈Y}sz´amot.)
P´eld´aul euklideszi t´erben a p´arhuzamos affin alterek nyilv´an Clifford-p´ arhu-zamosak, ´es azt is k¨onny˝u l´atni, hogy k´et affin alt´er csak ´ugy lehet Clifford-p´arhuzamos, ha a szok´asos ´ertelemben p´arhuzamosak. ´Erdekes m´odon a g¨ om-bi geometri´aban is b˝os´egesen l´eteznek Clifford-p´arhuzamos g¨ombi alterek.
4.7.16. P´elda. Tekints¨uk a Clifford-eltol´asok 4.7.13-beli C(α) sereg´en´el a pontok mozg´asa ´altal le´ırt f˝ok¨or¨ok rendszer´et. Azt ´all´ıtjuk, hogy e f˝ok¨or¨ok k¨oz¨ul b´armelyik kett˝o Clifford-p´arhuzamos. LegyenK=S1z´esL=S1wk´et ilyen f˝ok¨or. Ha αa val´os sz´amokat futja be (el´eg persze egy 2π hossz´us´ag´u intervallumot befutnia), akkor aC(α)zpont aK f˝ok¨ort j´arja be. Ez´ert
ρg z, L
=ρg C(α)z, C(α)(L)
=ρg C(α)z, L
mutatja, hogy azL-t˝ol m´ert g¨ombi t´avols´ag konstansK ment´en, ´es ugyanez
´erv´enyes ford´ıtott szereposzt´assal isLhelyettK-t ´eszhelyettw-t ´ırva.
Legyen mostK´esL k´et tetsz˝oleges f˝ok¨or azS g¨ombi t´erben. Legyeneka∈
∈K,b∈Lolyan pontok, amelyekreρg(a,b) =ρg(a, L) =ρg(b, K). (Ilyen
(a,b) ∈ K×L mindig l´etezik, hiszen K ´es L kompakt volta miatt a ρg
f¨uggv´enynek a K×L halmazon van minimumhelye.) V´alasszunk egy-egy egys´egnyi hossz´u ir´anyvektort, u-tK-hoz ´esv-tL-hez aza∈K, illetveb∈
∈Lpontban.
4.7.17. T´etel.Tegy¨uk f¨ol, hogyK´esLClifford-p´arhuzamos f˝ok¨or¨okS-ben.
Ekkor aza,b,u´esvvektorok fenti v´alaszt´asa mellett u⊥b, v⊥a, ´es u·v=±a·b.
Megford´ıtva, ha aza,b∈Spontokban ezeknek a felt´eteleknek eleget tev˝ou∈
∈TaS, illetvev∈TbS ´erint˝o egys´egvektorokat v´alasztunk, akkor az ezekkel mint ir´anyvektorokkal megadott, a-n, illetve b-n ´athalad´o k´et S-beli f˝ok¨or Clifford-p´arhuzamos.
Bizony´ıt´as : Param´eterezz¨ukK-t ´esL-et az rK(s) = cossa+ sinsu, illetve rL(t) = costb+ sintv k´eplettel 4.7.3 szerint, ´es k´epezz¨uk a fut´o vektorok skal´aris szorzat´at :
f(s, t) = (cossa+ sinsu)·(costb+ sintv) =
= cosscosta·b+ sinscostu·b+ cosssinta·v+ sinssintu·v. Ha K ´es L Clifford-p´arhuzamosak, a ρg rK(s),rL(t)
= cosf(s, t) f¨ ugg-v´enynek minimumhelye, azaz mag´anak f-nek maximumhelye a (0,0) ∈ R2 pont. Emiatt f mindk´et parci´alis deriv´altja az orig´oban z´erussal egyenl˝o : (∂f /∂s)(0,0) =u·b= (∂f /∂t)(0,0) =a·v= 0.
Ezt felhaszn´alvaf(s, t) = cosscosta·b+ sinssintu·v. Ism´et kihaszn´alva, hogyK´esLClifford-p´arhuzamosak, azrK(π/2) pont ´es azLf˝ok¨or t´avols´ag´ a-nak koszinusza szint´ena·b-vel egyenl˝o, ez´ert azf(π/2, t) f¨uggv´eny maximuma is ennyi. Viszontf(π/2, t) = sintu·v, ahonnan|u·v|=a·bk¨ovetkezik.
A megford´ıt´as indokl´as´aban feltehetj¨uk, hogy u· v = a ·b ≥ 0, ellen-kez˝o esetben ugyanis b-t vagy v-t (vagy mindkett˝ot) kicser´elhetj¨uk a (−
−1)-szeres´ere. A k¨oz¨os ´ert´eket p-vel jel¨olve az f f¨uggv´enyre az f(s, t) =
= (cosscost+ sinssint)·p = cos(s−t)·p k´epletet kapjuk. Ebb˝ol r¨ogt¨on l´atszik, hogy azf f¨uggv´eny maximumap-vel egyenl˝o, ´es ezt az ´ert´eket a f¨ ugg-v´eny b´armely r¨ogz´ıtetts mellett is ´es b´armely r¨ogz´ıtett t mellett is felveszi (m´egpedig nyilv´ans=teset´en). Ez´ert a k´et f˝ok¨or Clifford-p´arhuzamos.
A 4.7.17. T´etel olyan er˝os korl´atoz´ast ad a Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or¨ok ´ al-l´as´ara n´ezve, hogy a sz´oba j¨ov˝o legalacsonyabb dimenzi´oban, azaz amikor a g¨ombi t´er dimenzi´oja 3, az adott f˝ok¨orh¨oz adott ponton ´at h´uzhat´o Clifford-p´arhuzamosok sz´am´ara vonatkoz´o k¨ovetkeztet´est is levonhatunk bel˝ole.
4.7.18. K¨ovetkezm´eny.Legyen adott aKf˝ok¨or ´es abpont a h´ aromdimen-zi´os S g¨ombi t´erben. Hab∈K vagy abvektor mer˝olegesK s´ıkj´ara, akkor pontosan egyb-n ´athalad´o,K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or l´etezikS-ben, egy´ebk´ent pedig pontosan kett˝o.
Bizony´ıt´as : A b ∈ K esetben nyilv´an maga K az egyetlen K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨orb-n ´at. Ha abvektor mer˝olegesK s´ıkj´ara, akkorbg¨ombi t´avols´aga K minden pontj´at´ol π/2, ami a lehet˝o legnagyobb t´avols´ag egy pont ´es egy f˝ok¨or k¨oz¨ott. AK-t´olπ/2 g¨ombi t´avols´agra l´ev˝o pontok halma-za S-ben ´eppen egy f˝ok¨or, m´egpedig az, amelyet a K s´ıkj´anak ortogon´alis komplementere metsz kiS-b˝ol. (Itt kihaszn´altuk, hogy S h´aromdimenzi´os.) Ebben az esetben teh´at ez az egyetlen f˝ok¨or Clifford-p´arhuzamosK-val ab-n
´
athalad´o f˝ok¨or¨ok k¨oz¨ul.
Tegy¨uk most f¨ol, hogy ab vektor nem fekszik benneK s´ıkj´aban, ´es nem is mer˝oleges r´a. Legyen a ∈ K a b-hez legkisebb g¨ombi t´avols´agra lev˝o pont K-ban, ekkor a p=a·bsz´amra 0< p <1 ´erv´enyes. V´alasszunkK-hozu∈
∈TaS egys´egnyi hossz´us´ag´u ir´anyvektort aza pontban, ekkoru⊥a mellett u⊥bis teljes¨ul. Ab-n ´athalad´o,K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or sz´am´ara a bpontbeliv∈TbSegys´egnyi hossz´u ir´anyvektort a 4.7.17-beli felt´etelek
∈TaS egys´egnyi hossz´us´ag´u ir´anyvektort aza pontban, ekkoru⊥a mellett u⊥bis teljes¨ul. Ab-n ´athalad´o,K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or sz´am´ara a bpontbeliv∈TbSegys´egnyi hossz´u ir´anyvektort a 4.7.17-beli felt´etelek