Polit´ opok

3.2.1. Defin´ıci´o (Polit´op).AzX val´os affin t´erben v´eges sok pont konvex burk´at polit´opnak nevezz¨uk.

P´eld´aul az ¨ures halmaz polit´op, ´es b´armely szimplex polit´op. A 2-dimenzi´os polit´opokat konvex soksz¨ogeknek nevezz¨uk, a 3-dimenzi´osak pedig azok az idomok, amelyeket az elemi t´ergeometria hagyom´anyos sz´ohaszn´alat´aban kon-vex poli´edernek szok´as nevezni.

Miut´an kompakt halmazok konvex burka – ´es ´ıgy speci´alisan v´eges halmazok konvex burka is – kompakt, a polit´opok kompakt halmazok. B´armely k´et polit´op egyes´ıt´es´enek a konvex burka szint´en polit´op.

3.2.2. T´etel. Legyen P = conv {A1, A2, . . . , An}

⊆ X polit´op. Ekkor P konvex poli´eder, amelynek a cs´ucsai azA1, A2, . . . , An pontok k¨oz¨ul ker¨ulnek ki.

Bizony´ıt´as : Legyen V ={A1, A₂, . . . , A_n}. ´All´ıtjuk, hogy P b´armely H t´ a-maszhipers´ıkj´araH∩P = conv(H∩V). Legyen ugyanis s∈X^• olyan affin forma, hogyH =Z(s) ´ess(P)≥0. EkkorP kompakts´aga miatt 0∈s(P) ´es H∩P =s⁻¹(0). Azsf¨uggv´eny, affin lek´epez´es l´ev´en, b´armely konvex kom-bin´aci´ot a k´eppontok ugyanolyan egy¨utthat´os konvex kombin´aci´oj´aba k´epez.

Ez´ert ha egyA∈H∩P pontotV-beli pontok konvex kombin´aci´ojak´ent ´ al-l´ıtunk el˝o, akkors(A) = 0 miatt ebben a kombin´aci´obanH-hoz nem tartoz´o pontok csak z´erus egy¨utthat´oval szerepelhetnek. ´IgyA∈conv(H∩V). Spe-ci´alisan, ha A cs´ucsa P-nek, akkor, miut´an H ∩P = {A}, sz¨uks´egk´eppen A∈V.

A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogyP-nek v´eges sok lapja van, hiszenH∩V alak´u halmazb´ol csak v´eges sok van. V´alasszunk P mindegyik hiperlapj´ahoz egy-egy ˝otP-b˝ol kimetsz˝o t´amaszhiperhipers´ıkot. Megmutatjuk, hogyP el˝o´all az ezekhez tartoz´o t´amaszf´elterek metszetek´ent, ´ıgyP konvex poli´eder.

Feltehetj¨uk, hogy dimP =d, azaz intP 6=∅. LegyenA∈X−P tetsz˝oleges pont. V´alasszunk olyanB ∈intPpontot, hogy azhA, Biegyenes ne legyen r´ e-sze semelyik olyanhA, Liaffin alt´ernek, aholLaPlegfeljebb (d−2)-dimenzi´os lapja. Ilyen B pont l´etezik, mert v´eges sok legfeljebb (d−1)-dimenzi´os af-fin alt´er egyes´ıt´ese nem fedheti le az intP nem¨ures ny´ılt halmazt. Az [A, B]

szakasz metszi∂P-t egyC pontban. AB pont megv´alaszt´asa folyt´anP-nek aC-t tartalmaz´o lapja csak hiperlap lehet, ´es az ehhez tartoz´o t´amaszf´elt´er nem tartalmazza azApontot.

3.2.3. K¨ovetkezm´eny.EgyX-beli r´eszhalmaz pontosan akkor polit´op, ha korl´atos konvex poli´eder.

Bizony´ıt´as :Azonnal ad´odik 3.1.5, 3.1.11 ´es 3.2.2 ¨osszevet´es´evel.

3.2.4. K¨ovetkezm´eny. Ha k´et konvex poli´eder metszete korl´atos, akkor polit´op. Speci´alisan, b´armely k´et polit´op k¨oz¨os r´esze polit´op.

Megjegyz´es.Polit´opok eset´eben teh´at k´etf´ele, egym´ashoz k´epest

”du´alis” sz´ ar-maztat´asi elj´ar´as is alkalmazhat´o : egyr´eszt a defin´ıci´o szerinti, v´eges pont-rendszer konvex burkak´ent t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as, m´asr´eszt a konvex poli´ederek eset´en (´altal´anosabb k¨orben) ´erv´enyes, v´eges sok f´elt´er metszetek´ent t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as. Ennek a dualit´asnak a pontos matematikai jelent´es´et a 3.4. sza-kaszban j´arjuk majd k¨or¨ul.

3.2.5. P´eld´ak.Polit´opok n´eh´any konkr´et t´ıpus´at vessz¨uk sorra.

• Affinit´as erej´eig egyetlen nulla-, illetve egydimenzi´os polit´op l´etezik, a pont, illetve a (nemelfajul´o) szakasz.

• B´armelyd≥0-ra az [A0, A1, . . . , Ad] szimplex, aholA0, A1, . . . , Ad∈X tetsz˝oleges f¨uggetlen pontok,d-dimenzi´os polit´op.

• Parallelot´op : LegyenekA0, A1, . . . , Ad∈X f¨uggetlen pontok. Az ezekre

halmazt nevezz¨uk.P nyilv´and-dimenzi´os polit´op ´esR^degys´egkock´aj´ a-nak affin izomorfizmusn´al sz´armaz´o k´epe. P cs´ucsai az AI = Φ⁻¹_A

A k´et-, illetve h´aromdimenzi´os parallelot´opokat hagyom´anyosan paral-lelogramm´aknak, illetve parallelepipedonoknak nevezz¨uk. mind szimplexek, m´egpedig azok, amelyek el˝o´allnak Q_I,J = [A_i (i ∈

∈I), A_j⁰ (j∈J)] alakban, aholI, J ⊆ {1,2, . . . , d} diszjunkt indexhal-mazok ´esI∪J 6=∅. Nyilv´anQ_I,J ≤Q_I⁰_,J⁰ pontosan akkor teljes¨ul, ha I⊆I⁰ ´esJ ⊆J⁰.

A k´etdimenzi´os keresztpolit´opok parallelogramm´ak, a h´aromdimenzi´os keresztpolit´opok hagyom´anyos neve pedig okta´eder.

• G´ula : LegyenQ⊂X tetsz˝oleges (d−1)-dimenzi´os polit´op ´esC∈X−

− hQi tetsz˝oleges pont. A Q alap´u, C cs´ucs´u g´ul´an a P = conv Q∪

∪ {C}

d-dimenzi´os polit´opot ´ertj¨uk. A Q alap´u, C cs´ucs´u g´ul´ara a [Q, C] jel¨ol´est is alkalmazhatjuk. P = [Q, C] lapjai gyan´ant egyr´eszt Qlapjai, m´asr´eszt aQ lapjaira mint alapra ´all´ıtottC cs´ucs´u g´ul´ak ´es {C} szolg´alnak. B´armely legal´abb 1-dimenzi´os szimplex egy´uttal g´ula is, amelynek alapj´aul b´armelyik hiperlap, cs´ucs´aul a fennmarad´o cs´ucs v´alaszthat´o. Emiatt a szimplexek el˝o´all´ıthat´ok az egypont´u polit´opb´ol a g´ulak´epz´es iter´al´as´aval.

• Has´ab : LegyenQ⊂X tetsz˝oleges (d−1)-dimenzi´os polit´op ´es legyen f : X → X eltol´as olyan vektorral, amely nem fekszik a −−→

hQi alt´ er-ben. A P = conv Q∪f(Q)

polit´opot Qalap´u d-dimenzi´os has´abnak nevezz¨uk. Ad-dimenzi´os parallelot´opok (d≥1 eset´en) pontosan ad−

−1-dimenzi´os parallelot´opokra ´all´ıtott has´abok, ez´ert a parallelot´opok felfoghat´ok iter´alt has´abokk´ent. A Q alap´u d-dimenzi´os has´ab lapjai egyr´eszt Q´esf(Q) lapjai, m´asr´eszt a Qval´odi lapjaira ´all´ıtott has´ a-bok.

• Kett˝os g´ula : Legyen Q ⊂ X tetsz˝oleges (d−1)-dimenzi´os polit´op ´es A, B ∈X k´et k¨ul¨onb¨oz˝o pont ´ugy, hogy relintQ∩relint [A, B] egyet-len pontb´ol ´alljon. A P = conv Q∪[A, B]

polit´opot Q-ra ´all´ıtott d-dimenzi´os kett˝os g´ul´anak nevezz¨uk.P nem¨ures lapjai egyr´esztQval´odi lapjai, m´asr´eszt az ezekre ´all´ıtottAcs´ucs´u ´esB cs´ucs´u g´ul´ak, valamint {A} ´es {B}. Egyd-dimenzi´os keresztpolit´op olyan kett˝os g´ula, amely egy (d−1)-dimenzi´os keresztpolit´opra van ´all´ıtva, ez´ert a keresztpoli-t´opok felfoghat´ok iter´alt kett˝os g´ul´akk´ent.

• A dupl´an sztochasztikus m´atrixok korl´atos halmazt alkotnak azR^n×n t´erben, ´ıgy a 3.2.3. K¨ovetkezm´eny alapj´an aBnkonvex poli´eder polit´op, amelynek a cs´ucsai az n×n-es permut´aci´om´atrixok. B_n-et Birkhoff-polit´opnak nevezik.

Tov´abbi ´erdekes p´eld´ak nyerhet˝ok a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as alkalmaz´as´aval.

3.2.6. ´All´ıt´as.K´et polit´op tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja is polit´op.

Bizony´ıt´as :B´armely polit´opnak v´eges sok cs´ucsa, ´ıgy 3.1.9.(2) miatt v´eges sok extrem´alis pontja van. A Minkowski-kombin´aci´o extrem´alis pontjai a k¨ul¨ on-k¨ul¨on vett extrem´alis pontok kombin´aci´oi k¨oz¨ul ker¨ulnek ki, ez´ert ezekb˝ol is csak v´eges sok van. K´et kompakt halmaz tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja

is kompakt, hiszen egy kompakt halmaznak (a k´et halmaz direkt szorzat´ a-nak) folytonos lek´epez´esn´el (a r¨ogz´ıtett egy¨utthat´oj´u kombin´aci´o k´epz´es´en´el) sz´armaz´o k´epe. A k´et polit´op Minkowski-kombin´aci´oja teh´at olyan kompakt konvex halmaz, amelynek v´eges sok extrem´alis pontja van, ez´ert a Krein–

Milman-t´etel alapj´an polit´op.

A 3.2.5-beli p´eld´ak k¨oz¨ul a has´abok el˝o´allnak mint egy eggyel alacsonyabb dimenzi´oj´u polit´op (az alap) ´es egy szakasz Minkowski-¨osszege. Ad-dimenzi´os parallelot´opok (d ≥ 1 eset´en) pontosan a d darab f¨uggetlen ir´any´u szakasz Minkowski-¨osszegek´ent el˝o´all´o polit´opok.

Polit´opok felhaszn´al´as´aval halmazok korl´atoss´ag´at az al´abbi m´odon jellemez-hetj¨uk.

3.2.7. ´All´ıt´as.EgyX-beli r´eszhalmaz akkor ´es csak akkor korl´atos, ha be-lefoglalhat´o egy alkalmas X-beli polit´opba.

Bizony´ıt´as :Vegy¨unk fel egyx:X →R^d affin koordin´atarendszert. HaM ⊆

⊆X korl´atos, akkor l´etezik olyancpozit´ıv val´os sz´am, hogy mindenA∈M -re ´esi = 1, . . . , d-re |x(A)i| ≤c, azaz az x(A) halmaz benne fekszik abban az R^d-beli 2c ´el˝u K kock´aban, amelyet a −c ≤ xi ≤ c egyenl˝otlens´egek defini´alnak. Ekkor P =x⁻¹(K) parallelot´op X-ben, ´esP mag´aban foglalja azM halmazt.

Most r´at´er¨unk a polit´opok lapjai ´altal alkotott kombinatorikai rendszer vizs-g´alat´ara.

3.2.8. ´All´ıt´as. HaP polit´op ´esdimP =d, akkor a P lapjai alkotta L(P) r´eszben rendezett halmazban b´armely maxim´alis rendezett l´anc hosszad+ 2.

Bizony´ıt´as : Legyen L₋₁ < L0 < . . . < Lk a P lapjainak maxim´alis l´anca.

A maximalit´as k¨ovetkezt´eben nyilv´anval´oan L₋₁ = ∅ ´es Lk = P. Az L0

lapnak 3.1.11 miatt van cs´ucsa, ´ıgy, ha L0 maga nem cs´ucs volna, a l´anc b˝ov´ıthet˝o volnaL0 egy cs´ucs´aval. Teh´at dimL0 = 0. A 3.1.7.(1) ´All´ıt´ast az L_i−1 < Li p´arra alkalmazva ad´odik, hogy minden i = 1, . . . , k-ra L_i−1 az Li-nek hiperlapja, hiszen k¨ul¨onben a l´anc b˝ov´ıthet˝o volnaLi-nek egyL_i−1-et tartalmaz´o hiperlapj´aval. Ez´ert dimLi=i (i= 0, . . . , k) ´es ´ıgyk=d.

3.2.9. Defin´ıci´o (Kombinatorikai szerkezet,αk).EgyPpolit´op eset´eben azL(P) laph´al´ot szok´asP kombinatorikai szerkezet´enek nevezni. Azt mond-juk, hogyP ´esQazonos kombinatorikai szerkezet˝u (vagy kombinatorikailag ekvivalens) polit´opok, haL(P) ´esL(Q) izomorf r´eszben rendezett halmazok, azaz l´etezik k¨oz¨ott¨uk rendez´estart´o bijekci´o.P-t ´esQ-t du´alis kombinatorikai szerkezet˝u polit´opoknak mondjuk, haL(P) ´esL(Q) du´alisan izomorfak, azaz l´etezik k¨oz¨ott¨uk rendez´esford´ıt´o bijekci´o.

P´eld´aul ha aQpolit´opP-nek valamely affin izomorfizmusn´al sz´armaz´o k´epe (azazP ´esQaffin-ekvivalens), akkorP ´esQkombinatorikailag ekvivalens.

Tetsz˝oleges P polit´op ´es k ≥ 0 eg´esz sz´am eset´en jel¨olje αk = αk(P) a P polit´opk-dimenzi´os lapjai sz´am´at. A 3.2.8. ´All´ıt´as k¨ovetkezt´ebenP lapjainak dimenzi´ojaL(P)-b˝ol felismerhet˝o, ez´ert kombinatorikailag ekvivalensP ´esQ eset´eben minden k-ra αk(P) = αk(Q). Hasonl´ok´eppen, ha P ´es Q du´alis kombinatorikai szerkezet˝ud-dimenzi´os polit´opok, akkor mindenk≤(d−1) -reαk(P) =α_d−k−1(Q).

P´eld´aul b´armely konvex soksz¨og eset´eben α0 =α1 a soksz¨og oldalsz´am´aval egyenl˝o ; k´et konvex soksz¨og pontosan akkor kombinatorikailag ekvivalens, ha az oldalsz´amuk egyenl˝o. (T¨ort´enetesen ilyenkor du´alis kombinatorikai szerke-zet˝uek is.)

3.2.10. P´eld´ak.Attekintj¨´ uk n´eh´any polit´opt´ıpus kombinatorikai szerkezet´et.

• B´armely k´et egyenl˝o dimenzi´oj´u szimplex azonos kombinatorikai szer-kezet˝u (hiszen affin-ekvivalens), ´es du´alis kombinatorikai szerkezet˝u is.

Ad-dimenzi´os szimplex laph´al´oja egy (d+1)-elem˝u halmaz r´ eszhalmaz-h´al´oj´aval izomorf, ´esαk= ^d+1_k+1

.

• B´armely k´et egyenl˝o dimenzi´oj´u parallelot´op, illetve b´armely k´et egyen-l˝o dimenzi´oj´u keresztpolit´op kombinatorikusan ekvivalens (s˝ot, affin-ek-vivalens). Egyd-dimenzi´os parallelot´op ´es egyd-dimenzi´os keresztpoli-t´op du´alis kombinatorikai szerkezet˝u. Ezt a 3.2.5-beliP paralellot´op ´es Qkeresztpolit´op eset´eben a val´odi lapok k¨oz¨ottiP_I,J 7→QI,{1,2,...,d}−J

megfeleltet´es mutatja.

A P parallelot´op eset´eben αk(P) = 2^d−k · ^d_k

, a Q keresztpolit´opra pedig (k < deset´en)αk(Q) =α_d−k−1(P) = 2^k+1· _k+1^d

.

• Kombinatorikailag ekvivalens alap´u g´ul´ak egym´assal is kombinatorika-ilag ekvivalensek. HaP egyQalap´u g´ula, akkorα0(P) = 1 +α0(Q) ´es k≥1 -re αk(P) =αk(Q) +α_k−1(Q).

• Kombinatorikailag ekvivalens alap´u tetsz˝oleges has´abok is kombinato-rikailag ekvivalensek. HaP egyQalap´u has´ab, akkorα0(P) = 2α0(Q)

´

esk≥1 -reαk(P) = 2αk(Q) +αk−1(Q).

• Kombinatorikailag ekvivalens polit´opokra ´all´ıtott kett˝os g´ul´ak egym´ as-sal is kombinatorikailag ekvivalensek. HaP aQ-ra ´all´ıtottd-dimenzi´os kett˝os g´ula, akkor α₀(P) = 2 +α₀(Q), 1 ≤ k ≤ d−2 -re α_k(P) =

=α_k(Q) + 2α_k−1(Q), ´esα_d−1(P) = 2α_d−2(Q).

• HaQ´esRdu´alis kombinatorikai szerkezet˝u polit´opok, akkor aQalap´u has´ab ´es azR-re ´all´ıtott kett˝os g´ula is du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u-ek. (Ennek az ´eszrev´etelnek az iter´al´as´aval ´ujra megkapjuk a kor´abban m´ar meg´allap´ıtott dualit´asi viszonyt a parallelot´opok ´es a keresztpoli-t´opok k¨oz¨ott.)