G¨ omb¨ ok, hatv´ any

Az al´abbi ´eszrev´etelt a felez˝o mer˝oleges hipers´ıkr´ol sz´ol´o 4.3.12. ´All´ıt´as kiter-jeszt´es´enek tekinthetj¨uk.

5.1.1. ´All´ıt´as.Legyend≥1´es tegy¨uk fel, hogyA₀,A₁,. . .,A_k∈E f¨ ugget-len pontok. Ekkor l´etezik olyanE-beli hiperg¨omb, amely ´athalad mindegyik A_i ponton. Az ilyen hiperg¨omb¨ok k¨oz´eppontjai egy az hA₀, A₁, . . . , A_ki af-fin alt´erhez k´epest ortogon´alis komplementer ´all´as´u (d−k)-dimenzi´os affin alteret alkotnakE-ben.

Bizony´ıt´as :Tekints¨uki= 1, . . . , k-ra azA₀, A_i pontp´arhoz tartoz´o H_i felez˝o mer˝oleges hipers´ıkot. ValamelyE-beli pont akkor ´es csak akkor k¨oz´ eppont-ja egy az A₀, A₁, . . ., A_k pontok mindegyik´en ´athalad´o hiperg¨ombnek, ha egyenl˝o t´avol van ezekt˝ol a pontokt´ol, azaz mindegyikHi-hez hozz´atartozik.

A pontrendszer f¨uggetlens´ege miatt aHihipers´ıkok norm´alvektorai line´arisan f¨uggetlenek, ´ıgy az S =Tk

i=1H_i alt´erre dimS =d−k. Az −→

S-beli vektorok mer˝olegesek mindegyik−−−→

A0Aivektorra, ez´ertS´eshA0, A1, . . . , Akiortogon´alis komplementer affin alterek.

Hak=d, akkor a sz´oban forg´o alt´er egyelem˝u, ´ıgy speci´alis esetk´ent a szimp-lex k¨or´e ´ırhat´o hiperg¨omb egy´ertelm˝u l´etez´es´et kapjuk.

5.1.2. K¨ovetkezm´eny. B´armely E-belid-dimenzi´os szimplexnek egy´ ertel-m˝uen l´etezik k¨or¨ul´ırt hiperg¨ombje, azaz olyanE-beli hiperg¨omb, amely ´ at-halad a szimplex cs´ucsain.

5.1.3. K¨ovetkezm´eny. Legyen 1 ≤ k ≤ d ´es legyen G ⊂ E valamely k-dimenzi´os affin alt´erben fekv˝o tetsz˝oleges (k−1)-dimenzi´os g¨omb, tov´abb´a P∈E− hGitetsz˝oleges pont. Ekkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyank-dimenzi´os Geg¨omb, amelyreG⊂Ge ´esP ∈G.e

Bizony´ıt´as :Val´oban, egyA₀,A₁,. . .,A_k∈G,A_k+1=P f¨uggetlen pontrend-szert v´alasztva a keresett Ge g¨omb a Pi (i = 0,1, . . . , k+ 1) cs´ucs´u (k+ 1)-dimenzi´os szimplex k¨or¨ul´ırt g¨ombje ; az egy´ertelm˝us´eg nyilv´anval´o.

5.1.4. ´All´ıt´as (Hiperg¨omb ´es affin alt´er k¨olcs¨on¨os helyzete).Legyen d ≥ 2, G ⊂E hiperg¨omb P ∈ E k¨oz´epponttal ´esr sug´arral, S ⊂ E affin alt´er, melyre 1 ≤dimS < d. Jel¨olje Q ∈S a P pont ortogon´alis vet¨ulet´et S-en, ´es legyenq=ρ(P, Q). Ekkor :

– Haq > r, akkorG∩S=∅.

– Haq=r, akkorG∩S={Q}.

– Haq < r, akkorG∩S aQk¨oz´eppont´u,p

r²−q² sugar´uS-beli hiper-g¨omb.

Bizony´ıt´as :Azonnal ad´odik a Pitagorasz-t´etelb˝ol ´es abb´ol, hogyq=ρ(P, S).

5.1.5. Defin´ıci´o ( ´Erint˝ohipers´ık).Az 5.1.4-beli q=r esetben azt mond-juk, hogy S ´erinti G-t a Q pontban. Nyilv´anval´o, hogy b´armely G ⊂ E hiperg¨omb b´armely A∈ Gpontj´ahoz egy´ertelm˝uen tal´alhat´o olyan H ⊂E hipers´ık, amely G-t az A pontban ´erinti, m´egpedig az A pontot tartalma-z´o, −→

P A norm´alvektor´u hipers´ık, ahol P a Ghiperg¨omb k¨oz´eppontja. Ezt a hipers´ıkot a G hiperg¨omb A-beli ´erint˝ohipers´ıkj´anak nevezz¨uk ´es TAG-vel jel¨olj¨uk.

HaGalacsonyabb dimenzi´oj´u g¨ombE-ben ´esA∈G, akkor aTAG´erint˝oalt´er ahGiaffin alt´erre vonatkoz´o hipers´ık.

Ha p´eld´aul azSaffin alt´er az 5.1.4-beli harmadik esetnek megfelel˝oen (dimS−

−1 dimenzi´os) g¨omb¨ot metsz ki aGhiperg¨ombb˝ol, akkor b´armelyA∈S∩G eset´enT_A(S∩G) =S∩T_AG.

5.1.6. Defin´ıci´o (Hiperg¨omb¨ok ´erintkez´ese). Legyen G₁ ´es G₂ ⊂ E k´et k¨ul¨onb¨oz˝o hiperg¨omb. Azt mondjuk, hogy G₁ ´es G₂ ´erintkeznek az A pontban, haA∈G₁∩G₂´esT_AG₁=T_AG₂. Az ´erintkez´est k¨uls˝o ´erintkez´esnek

h´ıvjuk (illetve azt mondjuk, hogy G1 ´es G2 k´ıv¨ulr˝ol ´erintik egym´ast), ha G1 ´es G2 egyike sem tartalmazza a belsej´eben a m´asik k¨oz´eppontj´at. Az ellenkez˝o esetben bels˝o ´erintkez´esr˝ol besz´el¨unk (azaz azt mondjuk, hogyG1

´esG2 bel¨ulr˝ol ´erintik egym´ast).

5.1.7. ´All´ıt´as (K´et hiperg¨omb k¨olcs¨on¨os helyzete). Legyenek d ≥ 2 mellettG₁´esG₂hiperg¨omb¨okE-benP₁, illetveP₂k¨oz´epponttal ´esr₁, illetve r₂ sug´arral, tov´abb´a jel¨oljeqa ρ(P₁, P₂)t´avols´agot. Ekkor :

– Haq <|r1−r2|, akkorG1´esG2 k¨oz¨ul az egyik a m´asikat a belsej´eben tartalmazza.

– Ha0< q=|r1−r2|, akkorG1´esG2bel¨ulr˝ol ´erintkeznek.

– Ha |r1−r2| < q < r1+r2, akkor G1∩G2 egy a hP1, P2i egyenesre mer˝oleges hipers´ıkban fekv˝o(d−2)-dimenzi´os g¨omb.

– Haq=r1+r2, akkorG1´esG2 k´ıv¨ulr˝ol ´erintkeznek.

– Haq > r1+r2, akkorG1´esG2 egym´as k¨ulsej´eben fekszenek.

Bizony´ıt´as :Egyed¨ul a harmadik (metsz˝o) esetbeli ´all´ıt´as ig´enyel indokl´ast, a t¨obbi r¨ogt¨on k¨ovetkezik a defin´ıci´okb´ol a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg haszn´ a-lat´aval. A harmadik ´all´ıt´as s´ıkbeli, k¨or¨okr˝ol sz´ol´o speci´alis esete (azaz amikor d= 2) j´ol ismert az elemi geometri´ab´ol. Az ´altal´anos esetben vegy¨uk ´eszre, hogy aG1-b˝ol ´esG2-b˝ol ´all´o rendszer invari´ansE ¨osszes olyan egybev´ag´ o-s´ag´ara n´ezve, amely aP1 ´es aP2 pontot (k¨ovetkez´esk´eppen a teljeshP1, P2i egyenest pontonk´ent) helyben hagyja. Ezek az egybev´ag´os´agok egy O(d−

−1)-gyel izomorf csoportot alkotnak, ez´ert (a d = 2 esetben haszn´alatos

”tengelyes szimmetria”, illetve ad= 3 esetben haszn´alatos

”forg´ asszimmet-ria” elnevez´es mint´aj´ara) hivatkozhatunk a G₁-b˝ol ´es G₂-b˝ol ´all´o rendszer O(d−1)-szimmetri´aj´ara. V´alasszunk ki egy tetsz˝oleges, hP₁, P₂i-t tartalma-z´o 2-dimenzi´os S affin alteret, az ottani (G₁∩S)∩(G₂∩S) halmazra az O(d−1)-szimmetri´at jelent˝o transzform´aci´okat alkalmazva a k´epeik egyes´ı-t´esek´ent megkapjuk a G1∩G2 halmazt. Viszont (G1∩S)∩(G2∩S) k´et, ahP1, P2iegyenesre szimmetrikusan ´all´o pontb´ol ´all, ´ıgyG1∩G2 val´oban a hP1, P2iegyenesre mer˝oleges hipers´ıkban fekv˝o (d−2)-dimenzi´os g¨omb.

Megjegyz´es. Az 5.1.7. ´All´ıt´asb´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy k´et k¨ul¨onb¨oz˝o hi-perg¨omb akkor ´es csak akkor ´erintkezik, ha egyetlen k¨oz¨os pontjuk van. Ha hiperg¨omb¨ok helyett alacsonyabb dimenzi´oj´u g¨omb¨ok is sz´oba ker¨ulhetnek, akkor ez m´ar nem lesz ´ıgy. Az ´erintkez´es fogalm´at alacsonyabb dimenzi´oj´u g¨omb¨ok eset´ere is az 5.1.6. Defin´ıci´o mint´aj´ara ´ertelmezhetj¨uk.

5.1.8. Defin´ıci´o (Alacsonyabb dimenzi´oj´u g¨omb¨ok ´erintkez´ese). Le-gyen 1≤k≤d, ´es legyenG1,G2⊂Ek´et k¨ul¨onb¨oz˝o (k−1)-dimenzi´os g¨omb.

Azt mondjuk, hogyG1´esG2´erintkeznek azA∈Epontban, haA∈G1∩G2

´esTAG1=TAG2.

5.1.9. Lemma.AzE-beli(k−1)-dimenzi´osG₁´esG₂g¨omb¨ok pontosan akkor

´erintkeznek, haG1-nek ´esG2-nek egyetlen k¨oz¨os pontja van, ´es l´etezik olyan E-beli k-dimenzi´os affin alt´er vagy k-dimenzi´os g¨omb, amely tartalmazza mindG1-et, mindG2-t.

Bizony´ıt´as :Tegy¨uk fel el˝osz¨or, hogyG₁´esG₂´erintkezik azApontban. Felte-hetj¨uk, hogy nincs olyank-dimenzi´os affin alt´er, amely tartalmazza mindk´et g¨omb¨ot. Ekkor ahG₁i,hG₂ik-dimenzi´os affin alterek egy (k−1)-dimenzi´os alt´erben (m´egpedigG₁´esG₂ k¨oz¨os ´erint˝ohipers´ıkj´aban,T_AG₁=T_AG₂-ben) metszik egym´ast, ez´ert egy¨utt egy (k+ 1)-dimenzi´osTalteret gener´alnak. Te-kints¨uk erre aT alt´erre vonatkoz´oan aTAG1 alt´ernek azAponton ´athalad´o Sortogon´alis kieg´esz´ıt˝oj´et, ekkor dimS = 2. ´All´ıtsunk mer˝oleges egyeneseket a G1 ´es a G2 g¨omb k¨oz´eppontj´an ´at a hG1i, illetvehG2ialt´erre mint hiper-s´ıkraT-ben. Ezek az egyenesek nem p´arhuzamosak (mert hG1i´eshG2inem p´arhuzamos hipers´ıkokT-ben), ´esS-ben fekszenek (mert egyr´eszt a k´et g¨omb k¨oz´eppontja illeszkedikS-re, hiszen a k¨oz´eppontokb´olA-ba mutat´o vektorok mer˝olegesekTAG1-re, m´asr´eszt mert ir´anyvektoraik is mer˝olegesekTAG1-re).

A k´et egyenes teh´at metszi egym´ast egyP∈T pontban. AT-beli,P k¨oz´ ep-pont´u,ρ(P, A) sugar´u,k-dimenzi´os Gg¨omb tartalmazzaG1-et is ´esG2-t is.

A k´et g¨ombnek azA-n k´ıv¨ul nincs k¨oz¨os pontja, mertG₁∩G₂= (hG1i ∩G)∩

∩(hG2i ∩G) = (hG1i ∩ hG2i)∩G= (T_AG₁)∩G⊆(T_AG)∩G={A}.

A ford´ıtott ir´any bizony´ıt´as´ahoz (az 5.1.7. ´All´ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´es f´eny´ e-ben) ism´et feltehetj¨uk, hogy G1 ´es G2 nem egy k-dimenzi´os affin alt´erben, hanem egyk-dimenzi´os Gg¨omb¨on fekszik. Legyen {A} =G1∩G2, azt kell megmutatnunk, hogy TAG1 =TAG2. Legyen P a G, P1 a G1, ´es P2 a G2

k¨oz´eppontja, ekkorP, P1 ´esP2 nem kolline´aris pontok. Az S = hP, P1, P2i

affin s´ıkra vonatkoz´o ortogon´alis szimmetria mindh´arom g¨omb¨ot ¨onmag´aba viszi, ez´ert A ∈ S. Mind G1, mind G2 eset´eben elmondhat´o, hogy a TAGi

affin alt´er ahP, Pi, Aialt´ernek, azazS-nek azA-n ´atmen˝o,hGi-re vonatkoz´o ortogon´alis kieg´esz´ıt˝oje, ez´ert val´obanTAG1=TAG2.

Megjegyz´es.Az 5.1.9. Lemma nyilv´anval´o m´odon ´erv´enyben marad akkor is, ha megengedj¨uk, hogyG1´esG2egyike g¨omb helyett ugyanolyan dimenzi´oj´u affin alt´er legyen. Ilyenkor ´erintkez´esen persze azt kell ´erteni, hogy a sz´oban forg´o affin alt´er a g¨ombnek egy ´erint˝ohipers´ıkja (a g¨omb ´altal kifesz´ıtett affin alt´erben).

5.1.10. Defin´ıci´o (K´et hiperg¨omb sz¨oge, g¨omb ´es hiperg¨omb mer˝ o-legess´ege).Tegy¨uk fel, hogyd≥2 ´esG₁,G₂hiperg¨omb¨okE-ben, melyekre G1∩G2 6=∅. ´Ertelmezz¨uk G1 ´esG2 sz¨og´et, a ^(G1, G2) ∈[0, π/2] sz´amot mint az ´erint˝ohipers´ıkok sz¨og´et valamely k¨oz¨os pontban, azaz v´alasszunk egy tetsz˝olegesA∈G1∩G2pontot ´es legyen^(G1, G2) =^(TAG1, TAG2). Ez a

^(TAG1, TAG2) sz¨og nem f¨ugg azAk¨oz¨os pont speci´alis v´alaszt´as´at´ol, m´ eg-pedig a k¨oz´eppontokon ´athalad´o egyenes k¨or¨uliO(d−1)-szimmetria miatt.

Nyilv´an^(G₁, G₂) = 0 pontosan akkor ´all, ha G₁ ´esG₂ ´erintkezik. Ha pe-dig ^(G₁, G₂) = π/2, akkor G₁-et ´es G₂-t mer˝olegesnek mondjuk, ´es ezt a viszonyt aG₁⊥G₂jel¨ol´essel fejezz¨uk ki.

A mer˝olegess´eg defin´ıci´oj´at ki tudjuk terjeszteni arra az esetre, amikor a k´et g¨omb k¨oz¨ul az egyiknek a dimenzi´oja (d−1)-n´el alacsonyabb is lehet : miut´an affin alt´er ´es hipers´ık mer˝olegess´ege ´ertelmezve van, ezt kell megk¨ovetelni az

´erint˝ohipers´ıkokt´ol a k¨oz¨os pontokban.

5.1.11. Defin´ıci´o (K¨or vagy egyenes, ´es g¨omb vagy affin alt´er sz¨oge).

Ahogyan k´et affin alt´er sz¨og´et ´ertelmezni tudjuk abban az esetben, amikor az egyik alt´er egydimenzi´os, k´et k¨oz¨os ponttal b´ır´o g¨omb sz¨og´et is defini´ al-hatjuk olyankor, amikor egyik¨uk egydimenzi´os, azaz k¨or. Ugyan´ıgy egyenes

´es g¨omb, illetve k¨or ´es affin alt´er sz¨oge is ´ertelmezhet˝o. Legyen K ⊂E k¨or vagy egyenes,G⊂Epedig (k−1)-dimenzi´os g¨omb vagy affin alt´er, melyekre 2≤k ≤d´es K∩G6=∅. V´alasszunk egy tetsz˝oleges A ∈K∩G pontot ´es

´ertelmezz¨uk a ^(K, G) sz¨oget a ^(K, G) = ^(TAK, TAG) formul´aval, ahol TAK-n mag´atK-t ´ertj¨uk, haKegyenes, illetveTAG-nG-t ´ertj¨uk, haGaffin alt´er. Ha K-nak ´es G-nek egyn´el t¨obb k¨oz¨os pontja van ´es K * G, akkor pontosan k´et k¨oz¨os pont van ´es aK-b´ol ´esG-b˝ol ´all´o rendszer szimmetrikus a k´et pont felez˝o mer˝oleges hipers´ıkj´ara, emiatt a ^(T_AK, T_AG) sz¨og nem f¨ugg az Ak¨oz¨os pont speci´alis v´alaszt´as´at´ol.

5.1.12. Defin´ıci´o (Hatv´any). Legyen G ⊂ E r¨ogz´ıtett, P k¨oz´eppont´u, r sugar´u hiperg¨omb. A t´er valamely A ∈ E pontj´anak a G hiperg¨ombre vonatkoz´o hatv´any´an ah_G(A) =q²−r²sz´amot ´ertj¨uk, aholq=ρ(P, A).

Nyilv´anhG(A) = 0 pontosan akkor teljes¨ul, ha A ∈G. A hatv´any a G-hez k´epest bels˝o pontokra negat´ıv, a k¨uls˝okre pozit´ıv.

5.1.13. ´All´ıt´as.HaL ⊆E tetsz˝oleges egyenes az A ponton ´at ´esL∩G=

={B1, B2}, akkorhG(A) =−−→

AB1·−−→

AB2.

Bizony´ıt´as : Legyen a Q pont a P k¨oz´eppont mer˝oleges vet¨ulete az L egye-nesen, ekkor 5.1.4-re hivatkozva−−→

QB₁+−−→

QB₂=0´es ´ıgy a Pitagorasz-t´etellel

−−→AB₁·−−→

AB₂= −→

AQ+−−→

QB₁

· −→

AQ−−−→

QB₁

=ρ(A, Q)²−ρ(Q, B1)²= ρ(A, Q)²+ +ρ(P, Q)²

− ρ(P, Q)²+ρ(Q, B1)²

=q²−r².

Megjegyz´es.AB1=B2 speci´alis esetben az 5.1.13. ´All´ıt´as szerint egy k¨uls˝o pontG-re vonatkoz´o hatv´anya a pontb´olG-hez h´uzott ´erint˝oszakasz hossz´ a-nak a n´egyzet´evel egyenl˝o.

5.1.14. ´All´ıt´as.Legyenek G0, G1⊂E nem koncentrikus hiperg¨omb¨ok. Ek-kor a

H ={A∈E : hG₀(A) =hG₁(A)}

halmaz egy a hiperg¨omb¨ok k¨oz´eppontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenesre mer˝oleges hi-pers´ık.

Bizony´ıt´as : Szor´ıtkozzunk el˝osz¨or az L = hP0, P₁i egyenesre, ahol P_i a G_i hiperg¨omb k¨oz´eppontja (i= 0,1). Haszn´aljuk L-ben aP₀,P₁ pontok koordi-n´at´aira ap₀, illetvep₁jel¨ol´est, legyen tov´abb´aG₀´esG₁sugarar₀, illetver₁. EgyL-belixkoordin´at´aj´u pont akkor ´es csak akkor tartozikH-hoz, hax-re fenn´all az

(x−p₀)²−r₀² = (x−p₁)²−r₁², azaz a 2x(p1−p0) = r²₀−r²₁+p²₁−p²₀

egyenlet, amelynekp1−p06= 0 miatt egy´ertelm˝uen l´etezik megold´asa. Ezzel bel´attuk, hogy a H ∩L halmaz egyetlen pontb´ol ´all ; jel¨olj¨uk ezt a pontot B-vel.

Ha most A ∈ E tetsz˝oleges, jel¨olj¨uk T-vel az A mer˝oleges vet¨ulet´et az L egyenesen. Ekkori= 0,1-re

h_Gi(A) = ρ(A, P_i)²−r²_i =

= ρ(A, T)²+ρ(T, Pi)²−r_i²=

= ρ(A, T)²+h_Gi(T)

mutatja, hogy A ∈ H pontosan akkor teljes¨ul, amikor T ∈ H. Emiatt H azoknak azE-beli pontoknak a halmaza, amelyeknek a vet¨ulete aBpont, ez pedig azLegyenesreB-ben ´all´ıtott mer˝oleges hipers´ık.

5.1.15. Defin´ıci´o (Hatv´anyhipers´ık). HaG0, G1 ⊂E nem koncentrikus hiperg¨omb¨ok, akkor az 5.1.14-beli H hipers´ıkot G0 ´esG1 hatv´ anyhipers´ık-j´anak nevezz¨uk. (A d = 2, illetve d = 3 esetben a hatv´anyvonal, illetve a hatv´anys´ık elnevez´eseket haszn´aljuk H-ra.)

Megjegyz´esek. (1) HaG0 ´esG1 koncentrikus ´es k¨ul¨onb¨oz˝o sugar´u, akkor az 5.1.14-ben defini´altH halmaz ¨ures.

(2) Ha a G0 ´es G1 k¨ul¨onb¨oz˝o hiperg¨omb¨ok ´erintkeznek, akkor hatv´ anyhi-pers´ıkjuk az ´erinkez´esi pontban h´uzott k¨oz¨os ´erint˝ohipers´ık. Ha G0 ´es G1

metsz˝ok, akkorH=hG0∩G1i.

A pont hiperg¨ombre vonatkoz´o hatv´any´anak fogalm´at k´ezenfekv˝o m´odon le-het az olyan

”elfajul´o” esetekre is kiterjeszteni, amikor a g¨omb

”z´erus sugar´u”, azaz egyetlen pontb´ol ´all. Ilyenkor a hatv´anyhipers´ık a felez˝o mer˝oleges hi-pers´ıkk´a specializ´al´odik. Ebben az ´ertelemben az al´abbi t´etel az 5.1.1. ´All´ıt´as

´

altal´anos´ıt´asa.

5.1.16. T´etel.LegyenekG0,G1,. . .,GkolyanE-beli hiperg¨omb¨ok, amelyek P₀,P₁,. . ., P_k k¨oz´eppontjai f¨uggetlen pontrendszert alkotnakE-ben. Ekkor az

{A∈E : h_G0(A) =h_G1(A) =. . .=h_Gk(A)}

halmaz (d−k)-dimenzi´os affin alt´er, amely a hP0, P1, . . . , Pki affin alt´erhez k´epest ortogon´alis komplementer ´all´as´u.

Bizony´ıt´as :Az 5.1.1. ´All´ıt´as bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara r¨ogt¨on k¨ovetkezik 5.1.14-b˝ol.

A k¨ovetkez˝o t´etel g¨omb¨ok mer˝olegess´eg´et jellemzi hatv´anyok seg´ıts´eg´evel.

5.1.17. ´All´ıt´as. Legyen d ≥ 2 ´esi = 1,2-re G_i ⊂ E hiperg¨omb, melynek k¨oz´eppontjaP_i, sugarar_i. Ekkor az al´abbi ´all´ıt´asok ekvivalensek :

(i) G1⊥G2.

(ii) ρ(P1, P2)²=r²₁+r₂². (iii) h_G2(P₁) =r₁². (iv) hG₁(P2) =r₂².

Bizony´ıt´as :(i)⇒(ii) : Tetsz˝olegesA∈G1∩G2ponttal aP1P2Ah´aromsz¨ og-nekA-n´al der´eksz¨oge van, ´ıgy a Pitagorasz-t´etel alkalmazhat´o.

(ii) ⇒ (i) : A felt´etelb˝ol |r1−r2| < ρ(P1, P2) < r1+r2 k¨ovetkezik, ´ıgy az 5.1.7. ´All´ıt´ast haszn´alva v´alaszthatunk egyA∈G1∩G2pontot ´es alkalmaz-hatjuk a Pitagorasz-t´etel megford´ıt´as´at. Az −−→

AP1´es−−→

AP2 mer˝oleges vektorok aTAG1 ´esTAG2´erint˝ohipers´ıkok norm´alvektorai, ez´ert G1⊥G2.

A (ii), (iii) ´es (iv) ´all´ıt´asok egym´as k¨ozvetlen ´atfogalmaz´asai.

5.1.18. Defin´ıci´o (Hiperg¨omb norm´alegyenlete).LegyenG⊂E hiper-g¨omb,P jel¨olje a k¨oz´eppontj´at,ra sugar´at. HaE-ben adott egy tetsz˝oleges x:E→R^d Descartes-f´ele koordin´atarendszer, amelyn´elx(P) =p, akkorG egyenlete erre a koordin´atarendszerre n´ezve vektoros alakban (x−p)²−r²=

= 0, illetve koordin´at´akkal kifejezve

x²₁+x²₂+. . .+x²_d+a1x1+a2x2+. . .+adxd+b= 0

alak´u alkalmasa1, a2, . . . , ad, bkonstansokkal. Ennek az egyenletnek b´armely nemz´erus skal´arszorosa szint´en G egyenlete. Ezek k¨oz¨ott azt, amely a fenti fel´ır´asban szerepel, azaz amelyben a m´asodfok´u tagok egy¨utthat´oja 1, a G hiperg¨omb norm´alegyenlet´enek nevezz¨uk.

A norm´alegyenlet vektoros alakj´aban r´aismer¨unk aG-re vonatkoz´o hatv´ any-ra : tetsz˝oleges A ∈ E pontra hG(A) = (x(A)−p)²−r². Ennek alapj´an a Ghiperg¨omb norm´alegyenlete ismeret´eben tetsz˝oleges pont G-re vonatkoz´o hatv´anya k¨onnyen meghat´arozhat´o : csak be kell helyettes´ıteni a pont koor-din´at´ait a norm´alegyenlet bal oldal´aba. Ennek az ´eszrev´etelnek az alapj´an a hatv´anyhipers´ık egyenlet´et tudjuk k¨onnyen el˝o´all´ıtani.

5.1.19. ´All´ıt´as.K´et nem koncentrikus hiperg¨omb norm´alegyenlet´enek a k¨ u-l¨onbs´ege a hatv´anyhipers´ık egyenlet´et adja.

Bizony´ıt´as : Val´oban, ha G1´esG2 norm´alegyenlet´enek vektoros alakja (x−

−p₁)²−r₁² = 0, illetve (x−p₂)²−r²₂ = 0, akkor a fentiek alapj´an ezek k¨ul¨onbs´eg´et mint egyenletet egyApont koordin´at´ai akkor ´es csak akkor el´ e-g´ıtik ki, hah_G1(A)−h_G2(A) = 0.

5.2. Inverzi´ o

5.2.1. Defin´ıci´o (Inverzi´o). Legyend≥1 ´esG⊂E r¨ogz´ıtett hiperg¨omb, melynek k¨oz´eppontjaP, sugarar. AGhiperg¨ombre vonatkoz´o inverzi´on azt a

σ_G : E− {P} → E− {P}

lek´epez´est ´ertj¨uk, amelyn´el P-ben felvett orig´oval t¨ort´en˝o vektoriz´al´as ut´an mindenx∈EP,x6=0eset´en

σG(x) = r² kxk² ·x.

M´as sz´oval, valamelyA6=P pont inverze (azaz aG-re vonatkoz´o inverzi´on´al sz´armaz´o k´epe) aP kezd˝opont´u,A-n ´athalad´o f´elegyenesnek az azA⁰pontja, amelyreρ(P, A)·ρ(P, A⁰) =r².

A P pontot az inverzi´o p´olus´anak, a G g¨omb¨ot az inverzi´o alapg¨ombj´enek nevezz¨uk.

A tov´abbiakban (5.2.10 -ig bez´ar´olag) r¨ogz´ıt¨unk E-ben egyP k¨oz´eppont´u,r sugar´uGhiperg¨omb¨ot ´es aσG inverzi´o tulajdons´agait vizsg´aljuk.

5.2.2. ´All´ıt´as

(1) σG◦σG=id_E−{P}.

(2) Tetsz˝olegesλ6= 0-ra σG◦HP,λ=H_P,1/λ◦σG. Speci´alisan,σG felcse-r´elhet˝o aP k¨oz´eppont´u szimmetri´aval.

(3) G= Fix (σG), azaz valamelyA∈E,A6=P pontra σG(A) =A ponto-san akkor ´all, haA∈G.

(4) HaS⊆Eaffin alt´er ´esP ∈S, akkorσG|_S−{P}=σG∩S.

(5) B´armelyG-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o E-beliG⁰ hiperg¨ombreσG(G⁰) =G⁰ akkor ´es csak akkor ´erv´enyes, ha G⁰ ⊥G.

(6) Ha G₁ ´es G₂ k¨oz¨os P k¨oz´eppont´u, r₁, illetve r₂ sugar´u E-beli hiper-g¨omb¨ok, akkor

σG₂◦σG₁=H_P,(r2/r1)2|_E−{P}.

Bizony´ıt´as :(1), (2), (3) ´es (4) a defin´ıci´o k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enyei.

(5) : Aσ_G(G⁰) =G⁰felt´etel 5.1.13 miatt azzal egyen´ert´ek˝u, hogyh_G⁰(P) =r², ez pedig 5.1.17 miattG⁰´esGmer˝olegess´eg´et jelenti.

(6) : A k¨oz¨os k¨oz´epponttal mint orig´oval vektoriz´alva tetsz˝oleges x∈V,x6=

=0-ra (σG₂◦σG₁)(x) = r₂²

(r²₁/kxk²)·x

2

· (r²₁/kxk²)·x

= (r2/r1)²·x.

5.2.3. ´All´ıt´as (Hipers´ık inverze). Legyen H ⊂ E hipers´ık. HaP ∈ H, akkorσ_G(H−{P}) =H−{P}, ha pedigP /∈H, akkor aσ_G(H)∪{P}halmaz P-n ´athalad´o hiperg¨omb, amelynek aP-beli ´erint˝ohipers´ıkja p´arhuzamos H-val.

Bizony´ıt´as :AP ∈H esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨uk fel, hogy P /∈H

´es legyen T a P pont mer˝oleges vet¨uleteH-n. A G-b˝ol ´es H-b´ol ´all´o rend-szer hP, Ti egyenes k¨or¨uli O(d−1)-szimmetri´aja folyt´an az ´all´ıt´ast elegen-d˝o a s´ıkbeli (d = 2) esetre igazolni. Tetsz˝oleges A ∈ H, A 6= T pontra ρ(P, A)·ρ(P, σG(A)) =r² =ρ(P, T)·ρ(P, σG(T)) miattρ(P, A)/ρ(P, T) =

= ρ(P, σG(T))/ρ(P, σG(A)), amib˝ol a P-n´el k¨oz¨os sz¨oggel b´ır´o P AT ´es P σG(T)σG(A) h´aromsz¨ogek hasonl´os´aga k¨ovetkezik. Ez´ert az ut´obbi h´ arom-sz¨ogben aσG(A) cs´ucsn´al der´eksz¨og van, ´ıgy aσG(A) pont a [P, σG(T)] ´atm´ e-r˝oj˝u Thal´esz-k¨orre illeszkedik. Megford´ıtva, e k¨or b´armelyP-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝oB pontja nyilv´an el˝o´all valamelyH-beli pont (m´egpedig ahP, Biegyenes ´esH metsz´espontja) inverzek´ent. V´eg¨ul ennek a k¨ornek aP-beli ´erint˝oje mer˝oleges ahP, Tiegyenesre, azaz p´arhuzamos H-val.

5.2.4. K¨ovetkezm´eny (Affin alt´er inverze). LegyenK ⊂E affin alt´er.

HaP ∈K, akkorσG(K−{P}) =K−{P}, ha pedigP /∈K, akkor aσG(K)∪

∪ {P} halmazP-n ´athalad´o dimK-dimenzi´os g¨omb, amelynek aP pontbeli

´erint˝oaltere p´arhuzamos K-val.

Bizony´ıt´as :A P ∈K esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Ha pedigP /∈K, akkor 5.2.2.(4) miatt szor´ıtkozhatunk azS =hK, Pi affin alt´erre, amelyben a K hipers´ıkra alkalmazhatjuk az 5.2.3. ´All´ıt´ast.

5.2.5. ´All´ıt´as (Hiperg¨omb inverze). LegyenG⁰ ⊂E g¨omb. Ha P ∈G⁰, akkor aσ_G(G⁰−{P})halmaz hipers´ık, amely p´arhuzamos aT_PG⁰hipers´ıkkal, ha pedigP /∈G⁰, akkor σ_G(G⁰)hiperg¨omb.

Bizony´ıt´as : A P ∈ G⁰ esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o 5.2.2.(1)-re ´es 5.2.3-ra hivatkozva.

Tegy¨uk fel el˝osz¨or, hogy P a G⁰ hiperg¨omb k¨uls˝o pontja, ekkor h_G⁰(P) >

>0. Legyen Ge a P k¨oz´eppont´u, p

h_G⁰(P) sugar´u g¨omb, ekkor 5.1.17 miatt G⁰ ⊥Ge ´es ´ıgy 5.2.2.(5) miatt σ

Ge(G⁰) =G⁰. Ez´ert 5.2.2.(6)-ot felhaszn´alva σG(G⁰) =σG σ

Ge(G⁰)

=H_P,r2/h_G0(P)(G⁰) val´oban hiperg¨omb.

Ha pedig P bels˝o pontja G⁰-nek, akkor v´alasszuk G-nak ae P k¨oz´eppont´u, p−hG⁰(P) sugar´u hiperg¨omb¨ot. A P-b˝ol G⁰-h¨oz h´uzott szel˝oszakaszok el-lent´etes ir´any´ıt´as´uak ´es szorzatuk (abszol´ut ´ert´ekben) ´eppen Ge sugar´anak n´egyzete, ez´ert σ

Ge(G⁰) = H_P,−1(G⁰). Ezut´an az el˝oz˝o esethez hasonl´oan, de most 5.2.2.(2)-t is felhaszn´alvaσ_G(G⁰) =σ_G H_P,−1(σ

Ge(G⁰))

= (H_P,−1◦σ_G◦

◦σ

Ge)(G⁰) =H_P,r2/h_G0(P)(G⁰) hiperg¨omb.

5.2.6. K¨ovetkezm´eny (Alacsonyabb dimenzi´oj´u g¨omb inverze). Le-gyen1≤k≤d´es legyenG⁰⊂E (k−1)-dimenzi´os g¨omb. HaP ∈G⁰, akkor aσG(G⁰− {P})halmaz(k−1)-dimenzi´os,TPG⁰-vel p´arhuzamos affin alt´er, ha pedigP /∈G⁰, akkor σG(G⁰)szint´en(k−1)-dimenzi´os g¨omb.

Bizony´ıt´as : A P ∈ hG⁰iesetben az ´all´ıt´as 5.2.5-b˝ol nyilv´anval´o a hG⁰i affin alt´erre szor´ıtkozva.

A P /∈ hG⁰iesetben tekints¨uk az 5.1.3. K¨ovetkezm´eny szerinti k-dimenzi´os, G⁰-t tartalmaz´o ´esP-n is ´athalad´oGeg¨omb¨ot, valamint egy tetsz˝oleges olyan H ⊂E hipers´ıkot, amelyreG⁰ ⊂H ´esP /∈H. EkkorG⁰ =Ge∩H, tov´abb´a aσG(Ge− {P}) halmazk-dimenzi´os affin alt´er, aσG(H)∪ {P} halmaz pedig hiperg¨ombE-ben. Ez´ert 5.1.4-re hivatkozvaσ_G(G⁰) =σ_G(Ge− {P})∩σ_G(H) val´oban (k−1)-dimenzi´os g¨omb.

Megjegyz´es.Az 5.2.3–5.2.6-ban megfogalmazott tulajdons´agokat egy¨uttesen

´

ugy szok´as ¨osszefoglalni, hogy inverzi´on´al tetsz˝oleges dimenzi´oj´u g¨omb¨ok vagy affin alterek k´epe ugyanolyan dimenzi´oj´u g¨omb vagy affin alt´er. Ez a sz´ ohasz-n´alat kiss´e pontatlan amiatt, hogy nem t´er ki a p´olus hovatartoz´as´ab´ol ad´od´o sz¨uks´egszer˝u lesz˝uk´ıt´esekre. Az 5.2. szakasz h´atralev˝o r´esz´eben ezt a pontat-lans´agot a g¨ord¨ul´ekenyebb fogalmaz´as ´erdek´eben eln´ezz¨uk. Az 5.3. szakasz-ban l´atni fogjuk, hogy a t´er ´un. inverz´ıv b˝ov´ıt´ese ´utj´an ez a megfogalmaz´as is pontoss´a tehet˝o.

5.2.7. T´etel (Az inverzi´o ´erintkez´estart´asa). Legyenek G₁, G₂ ⊂ E egyenl˝o dimenzi´oj´u E-beli g¨omb¨ok, illetve egyik¨uk affin alt´er is lehet. Ha G₁ ´esG₂ valamely P-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o pontban ´erintkeznek, akkor aP p´olus´u inverzi´on´al keletkez˝o k´epeik is ´erintkeznek. Ha pedig G₁ ´esG₂ a p´olusban

´erintkeznek, akkor inverzeik p´arhuzamos affin alterek.

Bizony´ıt´as : Az ´erintkez´es 5.1.9-beli jellemz´es´eb˝ol (bele´ertve az azt k¨ovet˝o megjegyz´est is) 5.2.4 ´es 5.2.6 alkalmaz´as´aval ad´odik.

5.2.8. T´etel (Az inverzi´o sz¨ogtart´asa).Legyend≥2´es tegy¨uk f¨ol, hogy G1 ´es G2 k´et olyan E-beli g¨omb vagy affin alt´er, amelyek sz¨og´et ´ ertelmez-t¨uk. (Teh´at vagy dimG1 = dimG2 =d−1, vagy G1 ´esG2 k¨oz¨ul az egyik 1-dimenzi´os, a m´asik legal´abb1-dimenzi´os, tov´abb´a haG1´esG2 nem mind-kett˝o affin alt´er, akkor G1∩G2 6= ∅.) Ekkor a G-re vonatkoz´o inverzi´on´al

^ σG(G1), σG(G2)

=^(G1, G2).

Bizony´ıt´as :Tekints¨uk el˝osz¨or azt az esetet, amikorG1is ´esG2 is affin alt´er.

Ekkori= 1,2-re a (dimGi−1)-dimenzi´osσG(Gi)∪{P}g¨ombnek aPp´olusban vett ´erint˝ohipers´ıkja p´arhuzamosGi-vel, emiatt val´oban

^ σ_G(G₁), σ_G(G₂)

=^ T_P(σ_G(G₁)∪{P}), T_P(σ_G(G₂)∪{P})

=^(G₁, G₂). HaG1´esG2nem mindkett˝o affin alt´er, akkor valamelyA∈G1∩G2 kiszeme-l´ese ut´an az 5.2.7. T´etel miattG1-et ´esG2-t helyettes´ıthetj¨uk aTAG1, illetve TAG2 affin alterekkel ´es alkalmazhatjuk r´ajuk a t´etel m´ar tiszt´azott eset´et.

´Igy

^(G1, G2) = ^(TAG1, TAG2) =

= ^ σ_G(T_AG₁)∪ {P}, σG(T_AG₂)∪ {P}

=

= ^ σ_G(G₁), σ_G(G₂) ,

ahol az utols´o l´ep´esben ism´et az 5.2.7. T´etelre hivatkozunk.

ahol az utols´o l´ep´esben ism´et az 5.2.7. T´etelre hivatkozunk.

In document Geometria (Pldal 154-169)