Konvex halmazokra vonatkoz´ o alapt´ etelek

2.2.1. T´etel (Carath´eodory t´etele). A d-dimenzi´os X affin t´erben egy S⊆X halmaz konvex burk´anak b´armely pontja el˝o´all legfeljebbd+ 1darab S-beli pont konvex kombin´aci´ojak´ent.

Bizony´ıt´as : A 2.1.8. T´etelt alkalmazva P ∈ conv(S) el˝o´all´ıthat´o valamilyen A₁,. . .,A_k∈S pontoknak valamilyenλ₁,. . .,λ_k egy¨utthat´os konvex kombi-n´aci´ojak´ent. Ekkorλ₁−−→

P A₁+. . .+λ_k−−→

P A_k=0. Tegy¨uk fel, hogyka legkisebb olyan sz´am, amellyel ilyen el˝o´all´ıt´as lehets´eges, ekkor sz¨uks´egk´eppen az ¨osszes λ_i pozit´ıv. Azt ´all´ıtjuk, hogyk≤d+ 1. Indirekt m´odon tegy¨uk fel, hogyk >

> d+1, ekkor azA₁,. . .,A_kpontrendszer nem f¨uggetlen, ez´ert l´eteznek olyan, nem mind 0-val egyenl˝o α1,. . .,αk val´os sz´amok, hogyα1+. . .+αk = 0 ´es α₁−−→

P A₁+. . .+α_k−−→

P A_k = 0. Ekkor el´eg kicsiε > 0 mellett a λ₁+εα₁, . . ., λk+εαksz´amok nemnegat´ıvak ; ehhez nyilv´anε≤min{−λi/αi :αi <0,1≤

≤i≤k}elegend˝o. V´alasszukε-t ezzel a korl´attal egyenl˝onek. Ekkor aPpont azA1,. . .,Ak pontok konvex kombin´aci´oja aλ1+εα1,. . .,λk+εαk egy¨ utt-hat´okkal, amelyek k¨oz¨ott a 0 is el˝ofordul.P teh´at el˝o´allk-n´al kevesebbS-beli pont konvex kombin´aci´ojak´ent, ami ellentmondkminimalit´as´anak.

2.2.2. Defin´ıci´o (Szimplex).Az X affin t´erben k-dimenzi´os szimplexnek nevezz¨ukk+ 1 darab f¨uggetlen pont konvex burk´at. Jel¨ol´es : haA₀,A₁, . . ., A_k ∈ X f¨uggetlenek, akkor [A₀, A₁, . . . , A_k] = conv {A₀, A₁, . . . , A_k}

. Az A₀,A₁,. . .,A_k pontokat a szimplex cs´ucsainak nevezz¨uk.

K¨onnyen meggondolhat´o (´es a 2.5. szakaszban r´eszletesen is t´argyaljuk majd), hogy a szimplex a cs´ucsai halmaz´at egy´ertelm˝uen meghat´arozza.

A 0-dimenzi´os szimplexek egypont´uak, az 1-dimenzi´os szimplexek pontosan a nem elfajul´o szakaszok, a 2-dimenzi´osakat h´aromsz¨ognek, a 3-dimenzi´osakat tetra´edernek nevezz¨uk.

Miut´an egy szimplex a cs´ucsai alkotta pontrendszer nemnegat´ıv egy¨utthat´os affin kombin´aci´ob´ol ´all, b´armely d-dimenzi´os szimplexet el˝o tudunk ´all´ıtani d+ 1 darab z´art f´elt´er k¨oz¨os r´eszek´ent. Legyenek ugyanis A0, A1, . . ., Ad

a szimplex cs´ucsai, ekkor ezek a pontok affin b´azist alkotnak X-ben. Le-gyenek s0, s1, . . ., sd ∈ X^∗ az ehhez az affin b´azishoz tartoz´o du´alis affin szimp-lexeknek az egyes´ıt´esek´ent, amelyeknek a cs´ucsaiS-nek elemei.

Bizony´ıt´as :B´armelyikS-beli cs´ucs´u szimplex nyilv´an benne fekszik conv(S)-ben, ´ıgy el´eg a ford´ıtott tartalmaz´ast bel´atni. Legyen P ∈ conv(S) tetsz˝ o-leges. A 2.1.8. T´etel szerint P benne van v´eges sok alkalmas S-beli pont konvex burk´aban ; v´alasszunk egy olyan A0, A1, . . ., Ak minim´alis S-beli pontrendszert, amelynekP a konvex burk´aban van. El´eg megmutatni, hogy ez a pontrendszer f¨uggetlen. Ha nem ´ıgy volna, akkor benne fek¨udne egy k-n´al kisebb dimenzi´oj´uY affin alt´erben, amelyre a 2.2.1. T´etelt alkalmazva az ad´odna, hogy P el˝o´all azA0,A1,. . .,Ak pontok k¨oz¨ul legfeljebbkdarabnak a konvex kombin´aci´ojak´ent is. Ez ellentmond azA0,A1,. . .,Akpontrendszer minimalit´as´anak.

2.2.4. Lemma (Radon t´etele).Ha valamelyS⊆X pontrendszer nem f¨ ug-getlen, akkorS-nek l´eteznek olyanS1´esS2diszjunkt r´eszhalmazai, amelyekre conv(S1)∩conv(S2)6=∅.

Bizony´ıt´as : Feltehet˝o, hogyS ={A1, A2, . . . , Ak} v´eges. L´eteznek olyanλ1, λ2,. . .,λk nem csupa z´erus val´os sz´amok, amelyekreλ1+λ2+. . .+λk= 0 ´es valamilyen (tetsz˝oleges)O∈X kezd˝oponttalλ1

−−→OA1+λ2

OAj is teljes¨ul. Mindk´et formul´aban konvex kombin´aci´ok ´allnak, emiattP ∈conv(S1)∩conv(S2), ahol S1={Ai :i∈I}

´esS2={Aj:j ∈J}.

2.2.5. T´etel (Helly t´etele, v´eges v´altozat).Legyen adott ad-dimenzi´os val´os affin t´erben v´eges sok konvex halmaz. Ha k¨oz¨ul¨uk b´armelyik legfeljebb (d+ 1)-nek van k¨oz¨os pontja, akkor az ¨osszesnek van k¨oz¨os pontja.

Bizony´ıt´as : LegyenekK₁,K₂,. . .,K_n az adott konvex halmazok. Teljes in-dukci´ot alkalmazunk n szerint. Han ≤d+ 1, akkor nincs mit bizony´ıtani ; legyen n = d+ 2. B´armelyik 1 ≤ m ≤ d+ 2 indexhez a feltev´es szerint

tal´alhat´o olyan Am pont, amelyre Am ∈ Ki teljes¨ul minden i 6= m, 1 ≤

≤i≤d+ 2 eset´en. Az A1,A2,. . ., Ad+2 pontok rendszere ¨osszef¨ugg˝o, ez´ert a 2.2.4. Lemm´at alkalmazva vannak olyan diszjunkt I ´esJ indexhalmazok, hogy a conv({Ai : i ∈ I}) ´es a conv({Aj : j ∈ J}) halmazoknak l´etezikP k¨oz¨os pontja. Ekkor az{Ai:i∈I} ⊆T

i /∈IKi ´es az{Aj :j∈J} ⊆T

j /∈JKj

tartalmaz´asok miattP ∈ T

i /∈IKi

∩ T

j /∈JKj

=Td+2 m=1Km.

Tegy¨uk fel most, hogy n > d+ 2 ´es az n−1 halmazb´ol ´all´o rendszerekre igaz az ´all´ıt´as. Legyen m = 1, . . . , n−1 -re Lm =Km∩Kn. Ekkor az Lm

halmazok is konvexek ´es k¨oz¨ul¨uk b´armely (d+1)-nek van k¨oz¨os pontja, hiszen ennek az ellen˝orz´es´ehez aK_mhalmazok k¨oz¨ul (d+ 2)-nek kell k¨oz¨os ponttal b´ırnia, ezt pedig m´ar bel´attuk. Nyilv´anTn

m=1Km=Tn−1

m=1Lm, ez´ert azL1, L2,. . .,L_n−1halmazok rendszer´ere az indukci´os feltev´est alkalmazva ad´odik az ´all´ıt´as.

A Helly-t´etelnek olyan v´altozata is haszn´alatos, amelyben a konvex halmazok sz´ama nem felt´etlen¨ul v´eges. V´egtelen sok halmaz k¨oz¨os pontj´anak l´etez´es´ e-hez nem kell er˝osebb geometriai feltev´est tenn¨unk, ez puszt´an topol´ogiai okok k¨ovetkezm´enye lesz. Az al´abbi lemma az R^d-beli kompakt (azaz korl´atos ´es z´art) halmazok egyik gyakran haszn´alt topol´ogiai tulajdons´aga, bizony´ıt´ a-s´at´ol itt eltekint¨unk. Az absztrakt topol´ogi´aban ´eppen ezt a tulajdons´agot haszn´alj´ak a kompakts´ag defin´ıci´ojak´ent.

2.2.6. Lemma.LegyenK⊆X kompakt halmaz. HaX-beli ny´ılt halmazok egy rendszere lefediK-t, akkor ezek k¨oz¨ul a halmazok k¨oz¨ul v´eges sok is lefedi K-t.

2.2.7. T´etel (Helly t´etele, v´egtelen v´altozat).Legyen adott a d-dimen-zi´os val´os affin t´erben tetsz˝olegesen sok konvex z´art halmaz, amelyek k¨oz¨ott legal´abb az egyik korl´atos. Ha a halmazok k¨oz¨ul b´armelyik legfeljebb(d+ 1)-nek van k¨oz¨os pontja, akkor az ¨osszesnek van k¨oz¨os pontja.

Bizony´ıt´as : LegyenK a halmazrendszer kompakt tagja. Indirekt m´odon te-gy¨uk fel, hogy a halmazoknak nincs k¨oz¨os pontja. Ekkor K-nak ny´ılt hal-mazokkal val´o lefed´es´et alkotja a t¨obbi halmaz komplementere. Hivatkozva a 2.2.6. Lemm´ara ´esK kompakts´ag´ara a halmazrendszer v´eges sok tagj´anak a komplementere is lefediK-t, azaz ennek a v´eges sok tagnakK-val egy¨utt nincs k¨oz¨os pontja. Ez pedig ellentmond a 2.2.5. T´etelnek.

A Helly-t´etel alkalmaz´asak´ent az al´abbi ´all´ıt´asban megmutatjuk, hogy egy kompakt konvex halmaz nem t´erhet el tetsz˝olegesen nagy m´ert´ekben att´ol, hogy k¨oz´eppontosan szimmetrikus legyen.

2.2.8. ´All´ıt´as.LegyenK kompakt konvex halmaz ad-dimenzi´os val´os affin t´erben, d ≥1. Ekkor l´etezik olyan P ∈K pont, hogy b´armely P-n ´atmen˝o E ⊆X egyenesre K∩E = [A, B], A 6= B 6= P eset´en az (ABP) oszt´ ovi-szonyra1/d≤(ABP)≤dteljes¨ul.

Bizony´ıt´as :MindenQ∈Kpontra k´esz´ıts¨uk el aKQ=HQ,d/(d+1)(K) konvex halmazt. ´All´ıtjuk, hogy ezek k¨oz¨ul a halmazok k¨oz¨ul b´armelyik (d+ 1)-nek van k¨oz¨os pontja. Legyen ugyanisQ1, Q2, . . ., Qd+1 ∈K tetsz˝oleges. Jel¨ ol-j¨uk S-sel ezek s´ulypontj´at ´es S_i-vel az i-edik elhagy´asa ut´an a t¨obbi pont s´ulypontj´at :

S= 1

d+ 1Q₁+. . .+ 1

d+ 1Q_d+1, S_i =1

dQ₁+. . .+1

dQ_i−1+1

dQ_i+1+. . .+1 dQ_d+1;

ekkor Si ∈ K ´es a s´ulyok csoportos´ıt´as´aval minden i = 1, . . . ,(d+ 1) -re S = _d+1¹ Qi+ _d+1^d Si = H_Qi,d/(d+1)(Si) ∈ KQ_i teljes¨ul. A 2.2.6. K¨ ovetkez-m´enyt alkalmazva v´alasszunk egy P ∈ T

{KQ : Q ∈ K} pontot. Ha [A, B]

a K halmaz P-n ´atmen˝o h´urja ´esA 6=B 6= P, akkor P ∈ KA miattP ∈

∈H_A,d/(d+1)([A, B]), ahonnan (ABP)≤d. A m´asik egyenl˝otlens´eg A´esB szerepcser´ej´evel ad´odik.

Megjegyz´es.Ad-dimenzi´os szimplex p´eld´aja mutatja, hogyda lehet˝o legki-sebb sz´am, amellyel a 2.2.8-beli egyenl˝otlens´egek fenn´allnak, tov´abb´a szimp-lex eset´en a cs´ucsok s´ulypontja az egyetlen alkalmas P pont.