1. Affin terek
1.6. Az affin geometria alapt´ etele
alis esete. Az ´altal´anos (projekt´ıv) Papposz-t´etelt ´es Desargues-t´etelt ezekb˝ol k¨onnyen tudjuk majd sz´armaztatni, l. 8.5.
1.6. Az affin geometria alapt´ etele
Amikor az affin geometria f˝o defin´ıci´oit, az affin terek ´es az affin lek´epez´esek fogalm´at kialak´ıtottuk, er˝osen t´amaszkodtunk a line´aris algebra fogalmaira
´es a vektorterek strukt´ur´aj´ara. Az, hogy egy affin t´ernek mely lek´epez´esek az affinit´asai, m´egis l´enyeg´eben eld˝ol egy enn´el sokkal elemibb strukt´ura, a pontok ´es egyenesek illeszked´esi strukt´ur´aja ismeret´eben. Nevezetesen, p´ el-d´aul a val´os affin terek eset´eben egy kolline´aris pontokat kolline´arisakba viv˝o bijekt´ıv lek´epez´es automatikusan affinit´as lesz. Ezt a t´enyt szok´as az affin geometria alapt´etelek´ent emlegetni.
1.6.1. Defin´ıci´o (Kolline´aci´o).Legyen f :X →X0 bijekt´ıv lek´epez´es az X´esX0 affin terek k¨oz¨ott. Azt mondjuk, hogyf kolline´aci´o, ha b´armely, egy egyenesre illeszked˝o A, B, C ∈ X-re az f(A), f(B) ´esf(C) pontok is egy egyenesre illeszkednekX0-ben.
1.6.2. P´eld´ak.
• B´armely affin izomorfizmus kolline´aci´o.
• Ha dimX = dimX0 = 1, akkor b´armely X → X0 bijekt´ıv lek´epez´es kolline´aci´o.
• HaX ´esX0 a k´etelem˝u test f¨ol¨otti (tetsz˝oleges dimenzi´oj´u) affin terek, akkor b´armely X →X0 bijekt´ıv lek´epez´es kolline´aci´o.
• Legyenek X = X0 = C2 mint C f¨ol¨otti affin terek ´es f : C2 → C2 a komplex konjug´al´as, azaz f : (z1, z2)7→(¯z1,z¯2). Ekkor f kolline´aci´o (l. az 1.6.6. ´All´ıt´ast al´abb), de nem affin lek´epez´es (hiszen a konjug´al´as nem line´aris lek´epez´esCf¨ol¨ott).
1.6.3. Defin´ıci´o (Testautomorfizmus).Aσ:F→Fbijekt´ıv lek´epez´est az Ftest automorfizmus´anak nevezz¨uk, haσ(0) = 0,σ(1) = 1, tov´abb´a minden x, y ∈ F-re σ(x+y) = σ(x) +σ(y) (azaz σ addit´ıv) ´es σ(xy) = σ(x)σ(y) (azazσmultiplikat´ıv).
P´eld´aul a konjug´al´as aCtest egy automorfizmusa. Nem neh´ez bel´atni, hogy Q-nak ´es R-nek az identit´as az egyetlen automorfizmusa. C-nek rengeteg nemtrivi´alis automorfizmusa van, k¨oz¨ott¨uk az identit´ason k´ıv¨ul egyed¨ul a konjug´al´as folytonos.
1.6.4. Defin´ıci´o (Szemiline´aris lek´epez´es). Legyen ϕ: V → V0 tetsz˝ o-leges lek´epez´es az F test f¨ol¨otti V ´esV0 vektorterek k¨oz¨ott. Azt mondjuk, hogyϕszemiline´aris, ha l´etezikF-nek olyanσautomorfizmusa, hogy
ϕ(λx+µy) =σ(λ)ϕ(x) +σ(µ)ϕ(y) teljes¨ul mindenx,y∈V,λ, µ∈Feset´en.
P´eld´aul az 1.6.2-beli negyedik p´eldaC f¨ol¨otti szemiline´aris lek´epez´esC2-r˝ol
¨onmag´ara.
A defin´ıci´ob´ol r¨ogt¨on l´atszik, hogy szemiline´aris lek´epez´esn´el alt´er k´epe alt´er,
´es az alt´er egy gener´atorrendszer´enek a k´epe gener´atorrendszer az alt´er k´ e-p´eben. ´Igy az alt´er k´ep´enek dimenzi´oja nem nagyobb az alt´er dimenzi´oj´an´al.
K¨onnyen l´athat´o az is, hogy szemiline´aris lek´epez´esek kompoz´ıci´oja szemili-ne´aris.
1.6.5. Defin´ıci´o (Szemiaffin lek´epez´es).Az (X, V,Φ) ´es (X0, V0,Φ0) affin terek k¨oz¨ottif :X →X0 lek´epez´est szemiaffin lek´epez´esnek nevezz¨uk, ha al-kalmasϕ:V →V0 szemiline´aris lek´epez´essel ϕ(Φ(A, B)) = Φ0(f(A), f(B)) teljes¨ul minden A, B ∈ X-re. Az 1.1.4. ´All´ıt´as mint´aj´ara meggondolhat´o, hogy ennek sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy valamely (illetve b´armely) A ∈ X pontra f : XA → Xf(A)0 szemiline´aris lek´epez´es legyen a megfelel˝o vektoriz´aci´ok k¨oz¨ott.
1.6.6. ´All´ıt´as.Szemiaffin lek´epez´es kolline´aris pontokat kolline´aris pontokba k´epez.
Bizony´ıt´as :Haszn´aljuk az 1.6.5. Defin´ıci´o jel¨ol´eseit. LegyenE ⊆X tetsz˝ ole-ges egyenes ´es v´alasszunk egyA∈Epontot. Ekkorf(E) = Φ0−f(A)1 (ϕ(−→
E)). Itt
−
→E 1-dimenzi´os alt´erV-ben, emiattϕ(−→
E) legfeljebb 1-dimenzi´os alt´erV0-ben,
´es ´ıgyf(E) is legfeljebb 1-dimenzi´os affin alt´er X0-ben.
1.6.7. T´etel (Alapt´etel). Tegy¨uk f¨ol, hogy charF 6= 2 ´es legyen d ≥ 2 v´eges. Ekkor k´et F f¨ol¨otti d-dimenzi´os affin t´er k¨oz¨ott b´armely kolline´aci´o szemiaffin lek´epez´es.
Bizony´ıt´as :Legyen dimX = dimX0=d´es legyenf :X →X0 kolline´aci´o.
1. l´ep´es. HaB azA0,A1,. . .,Ak∈X pontok egy affin kombin´aci´ojaX-ben, akkorf(B)azf(A0), f(A1),. . .,f(Ak)pontok (esetleg m´as egy¨utthat´okkal vett) affin kombin´aci´oja X0-ben.
Indukci´ot alkalmazunkkszerint. Az ´all´ıt´ask= 0-ra trivi´alis,k= 1-re pedig a kolline´aci´o defin´ıci´oj´ab´ol ad´odik. Tegy¨uk fel, hogyk≥2 ´esk+ 1-n´el kevesebb pontra az ´all´ıt´ast m´ar bebizony´ıtottuk. ´Alljon el˝o B affin kombin´aci´ok´ent a λ0, λ1, . . ., λk egy¨utthat´okkal. Feltehet˝o, hogy mindegyik λi k¨ul¨onb¨ozik 0-t´ol, hiszen ha szerepel k¨oz¨ott¨uk a 0 egy¨utthat´o, akkor az indukci´os feltev´est a t¨obbi pontra alkalmazva k´eszen vagyunk.
Azt ´all´ıtjuk, hogy ekkor a 0,1, . . . , k indexhalmaz felbonthat´o nem¨ures ´es diszjunkt I ´es J r´eszhalmazainak egyes´ıt´es´ere ´ugy, hogy P
i∈Iλi 6= 0 ´es P
j∈Jλj 6= 0 teljes¨ul. Ha ugyanis valamilyen i-re λi 6= 1, akkor I = {i}
v´alaszthat´o, ha pedig mindeni= 0,1, . . . , k-ra λi = 1, akkor csak arra kell
¨ugyelni, hogy charFne legyen oszt´oja semI, semJ elemsz´am´anak, ez pedig charF6= 2 miatt el´erhet˝o.
Az indukci´os feltev´est alkalmazzuk az Ai (i ∈ I) pontokb´ol a λi P
l∈Iλl egy¨utthat´okkal k´epzettB1, valamint azAj (j ∈J) pontokb´ol aλj/P
l∈Jλl egy¨utthat´okkal k´epzettB2 affin kombin´aci´ora. V´eg¨ul, mivelB aB1´es aB2 pontP
i∈Iλi´esP
j∈Jλjegy¨utthat´okkal vett affin kombin´aci´oja, ak= 1 eset alkalmaz´as´aval c´elhoz ´er¨unk.
2. l´ep´es. HaA0,A1,. . .,Ak f¨uggetlen pontokX-ben, akkorf(A0),f(A1),. . ., f(Ak)is f¨uggetlen pontokX0-ben.
Eg´esz´ıts¨uk ki a f¨uggetlen pontrendszert egy A0, A1, . . ., Ad affin b´aziss´a.
Haf(A0),f(A1), . . ., f(Ak) nem lenn´enek f¨uggetlen pontok X0-ben, akkor f(A0),f(A1),. . ., f(Ad) sem lehetn´enek azok, ´ıgy dimX0=dmiattX0-nek egy val´odi affin alter´et gener´aln´ak. Viszont az 1. l´ep´esben bizony´ıtottak miatt ez az affin alt´er tartalmazn´af k´ephalmaz´at, ami lehetetlen, hiszen defin´ıci´o szerint egy kolline´aci´o sz¨urjekt´ıv.
3. l´ep´es. Affin alt´er f-n´el sz´armaz´o k´epe ugyanakkora dimenzi´oj´u affin alt´er.
HaY ⊆X affin alt´er,k= dimY, v´alasszunk egyA0,A1,. . .,Ak affin b´azist Y-ban. LegyenY0 =hf(A0), . . . , f(Ak)i. A 2. l´ep´es szerintY0isk-dimenzi´os.
Az 1. l´ep´es szerint f(Y)⊆ Y0. Ha B0 tetsz˝oleges pont Y0-ben, legyen B =
=f−1(B0). Ekkor a 2. l´ep´es szerintA0,A1,. . .,Ak´esBegy¨utt nem lehetnek f¨uggetlen pontok, ´ıgyB∈Y. Ez´ertY0 =f(Y).
4. l´ep´es. P´arhuzamos X-beli affin alterek k´epe p´arhuzamos X0-ben.
HaY ´esZ p´arhuzamos affin alterek (´es Y 6= Z), akkor 1.2.9.(5) miatt egy n´aluk eggyel magasabb dimenzi´oj´u S affin alt´erben fekszenek. A 3. l´ep´est felhaszn´alva az f(Y) ´es f(Z) affin alterek benne fekszenek a n´aluk eggyel magasabb dimenzi´oj´uf(S)⊆X0affin alt´erben. Emellettfinjektivit´asa miatt diszjunktak, ´ıgy 1.2.9.(6) miatt p´arhuzamosak.
A tov´abbiakban r¨ogz´ıts¨unk egy A0, A1, . . ., Ad affin b´azist X-ben ´es az e pontok k´epeib˝ol ´all´o f(A0), f(A1), . . ., f(Ad) affin b´azist X0-ben. Legyen x:X →Fd´esx0:X0 →Fdaz 1.3.17. Defin´ıci´o szerint hozz´ajuk csatolt affin koordin´atarendszer X-ben, illetve X0-ben. Ezeket a koordin´atarendszereket haszn´alva f-et a ϕ = x0 ◦f ◦x−1 : Fd → Fd lek´epez´essel helyettes´ıtj¨uk.
Azt kell igazolnunk, hogyϕszemiline´aris. Ekkor ugyanisf = (x0)−1◦ϕ◦x: :XA0 →Xf(A0
0)is szemiline´aris, ´es ´ıgyf :X →X0 szemiaffin.
5. l´ep´es. A ϕ lek´epez´es addit´ıv, azaz ϕ(x+y) = ϕ(x) +ϕ(y) minden x, y∈Fd-re.
Hax´esyline´arisan f¨uggetlen vektorokFd-ben, akkor azx+ypont annak a k´et egyenesnek a metsz´espontjak´ent ´all el˝o, amelyet azxponton ´at ah0,yi, illetve az y ponton ´at a h0,xi egyenessel p´arhuzamosan fektet¨unk. A 3. ´es a 4. l´ep´est felhaszn´alva emiatt ϕ(x+y) a ϕ(x)-en ´es ϕ(y)-on ´atfektetett,
h0, ϕ(y)i-nal, illetveh0, ϕ(x)i-szel p´arhuzamos egyenesek metsz´espontja, azaz ϕ(x) +ϕ(y).
Ak´ar x = 0, ak´ar y = 0, a ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y) egyenl˝os´eg ϕ(0) = 0 miatt nyilv´anval´o.
Ha v´eg¨ul x´esy line´arisan ¨osszef¨ugg˝ok ´es egyik¨uk sem a z´erusvektor, akkor d≥2 miatt v´alaszthatunk olyanz∈Fd vektort, amely line´arisan f¨uggetlen x-t˝ol (´es ´ıgy y-t´ol is). Ekkor a f¨uggetlen vektorp´arokra m´ar bebizony´ıtott additivit´ast felhaszn´alva
ϕ(x+y) = (ϕ(x+y) +ϕ(z))−ϕ(z) = ϕ(x+y+z)−ϕ(z) =
= ϕ(x+z) +ϕ(y)−ϕ(z) = ϕ(x) +ϕ(z) +ϕ(y)−ϕ(z) =
= ϕ(x) +ϕ(y).
6. l´ep´es. B´armelyik i= 1, . . . , dmellettx∈Fd-re aϕ(x)∈Fd vektori-edik koordin´at´aja x-nek csak azi-edik koordin´at´aj´at´ol f¨ugg.
Val´oban, az x vektor i-edik koordin´at´aj´aval megegyez˝o i-edik koordin´at´aj´u vektorok egy olyanH affin hipers´ıkot alkotnak Fd-ben, amely p´arhuzamos az i-edikt˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o koordin´atair´anyok kifesz´ıtette line´aris hipers´ıkkal. A ϕlek´epez´es defin´ıci´oja szerintϕ(0) =0´esϕ(ej) =ej (j= 1, . . . , d), ´ıgy ezt a line´aris hipers´ıkot az 1. ´es a 3. l´ep´es szerint ϕ¨onmag´aba k´epezi. Ez´ert a 4. l´ep´es alapj´anϕ(H) kH, ´es ´ıgy aϕ(H)-beli vektorok i-edik koordin´at´aja egyenl˝o.
7. l´ep´es. A 6. l´ep´es alapj´an l´eteznek olyanσi:F→Flek´epez´esek, hogy aϕ(x) vektorϕ(x) = (σ1(x1), . . . , σd(xd))alakban ´ırhat´o mindenx= (x1, . . . , xd)∈
∈ Fd-re. Itt mindegyik σi ugyanazzal a σ : F → F testautomorfizmussal egyenl˝o (i= 1, . . . , d).
Jel¨olje1∈Fdaz (1, . . . ,1) =e1+. . .+ed vektort. Aϕlek´epez´es additivit´asa
´esϕ(ei) = ei miatt ϕ(1) =ϕ(e1+. . .+ed) =ϕ(e1) +. . .+ϕ(ed) =e1+ +. . .+ed =1. Ezϕ(0) =0 miatt maga ut´an vonja, hogy aD =h0,1i =
={x∈Fd : x1 =. . .=xd} ´atl´oegyenest ϕ¨onmag´aba k´epezi. ´Igy x∈F-re ϕ(x, . . . , x) = (σ1(x), . . . , σd(x))∈D, ahonnanσ1(x) =. . .=σd(x).
Aϕ(0) =0,ϕ(1) =1egyenl˝os´egeket ´esϕadditivit´as´at felhaszn´alva kapjuk, hogyσ(0) = 0,σ(1) = 1, ´esσ addit´ıv. A multiplikativit´ast annak az eukli-deszi geometri´ab´ol ismert szerkeszt´esi elj´ar´asnak az adapt´al´as´aval mutatjuk meg, amely az 1,x´esy hossz´us´ag´u szakaszokb´ol el˝o´all´ıtja azxy hossz´us´ag´u szakaszt.
Be akarjuk l´atni, hogyx, y∈F-reσ(xy) =σ(x)σ(y). Feltehetj¨uk, hogyx6= 0
´esx6= 1. Szemelj¨uk kiFd valamelyik 2-dimenzi´os koordin´atas´ıkj´at, p´eld´aul az e1 ´es e2 ´altal kifesz´ıtett line´aris alteret. Ezt az S s´ıkot ϕ¨onmag´aba k´ e-pezi, ahogyan ¨onmagukba k´epezi azS-ben fekv˝o E1=F·e1 ´esE2=F·e2 egyeneseket is. Ugyanez ´erv´enyes b´armely 0 k¨oz´eppont´u homot´eci´ara is. A 0 k¨oz´eppont´u, x ar´any´u homot´ecia az (1,0) = e1 pontot (x,0)-ba, a (0, y) pontot pedig (0, xy)-ba viszi. Az 1.2.11. K¨ovetkezm´enyt haszn´alva emiatt a (0, xy) pont el˝o´all mint az (x,0) ponton ´atfektetett,h(1,0),(0, y)iegyenessel p´arhuzamos egyenesnek a metsz´espontjaE2-vel. Ez´ert a 3. ´es a 4. l´ep´esben bi-zony´ıtottakra hivatkozva aϕ(0, xy) = (0, σ(xy)) pont el˝o´all mint a ϕ(x,0) =
= (σ(x),0) ponton ´atfektetett, hϕ(1,0), ϕ(0, y)i=h(1,0),(0, σ(y))i egyenessel p´arhuzamos egyenesnek a metsz´espontjaE2-vel. Ez a metsz´espont pedig is-m´et az 1.2.11. K¨ovetkezm´enyre hivatkozva ´eppen a (0, σ(y)) pontnak a k´epe a0k¨oz´eppont´u, σ(x) ar´any´u homot´eci´an´al. ´Igyσ(xy) =σ(x)σ(y).
8. l´ep´es. Aϕlek´epez´es szemiline´aris.
Legyenx,y∈Fd´esλ, µ∈Ftetsz˝oleges. Ekkor
ϕ(λx+µy) = ϕ(λx) +ϕ(µy) = ϕ(. . . , λxi, . . .) +ϕ(. . . , µyi, . . .) =
= (. . . , σ(λxi), . . .) + (. . . , σ(µyi), . . .) =
= (. . . , σ(λ)σ(xi), . . .) + (. . . , σ(µ)σ(yi), . . .) =
= σ(λ)(. . . , σ(xi), . . .) +σ(µ)(. . . , σ(yi), . . .) =
= σ(λ)ϕ(x) +σ(µ)ϕ(y).
A val´os test feletti,
”klasszikus” affin geometria eset´eben az alapt´etel az al´ ab-bi, j´oval egyszer˝ubben megfogalmazhat´o alakot ¨olti. A t´etelnek ezt a v´ alto-zat´at is szok´as az affin geometria alapt´etel´enek tekinteni.
1.6.8. K¨ovetkezm´eny.Az1-n´el nagyobb v´eges dimenzi´oj´u val´os affin terek k¨oz¨ott b´armely kolline´aci´o affin izomorfizmus.
Bizony´ıt´as : Val´oban, mivel az Rtestnek az identikus lek´epez´es az egyetlen automorfizmusa, b´armely val´os szemiaffin lek´epez´es affin.