A klasszikus euklideszi geometri´ar´ol sz´ol´o bevezet˝o fejezet lez´ar´asak´eppen p´eld´at mutatunk vektorok alkalmaz´as´ara a g¨ombh´aromsz¨ogek
trigonometri-´
aj´aban. A g¨ombi geometria a g¨ombfel¨ulet ´un. bels˝o geometri´aja. Ezen azt
´ertj¨uk, hogy a g¨ombi t´avols´agokat nem a befoglal´o t´erben, hanem a g¨ ombfe-l¨uleten elhelyezked˝o vonalak ment´en m´erj¨uk. Az egyenesek szerep´et a g¨ omb-fel¨uleten a g¨omb f˝ok¨orei veszik ´at. Ez´altal a pontok ´es egyenesek illeszked´esi strukt´ur´aja alapvet˝oen k¨ul¨onb¨ozik az euklideszi geometri´aban megszokott´ol : k´et k¨ul¨onb¨oz˝o g¨ombi egyenesnek nem csak egy k¨oz¨os pontja van, hiszen a g¨omb¨on k´et f˝ok¨or k´et ´atellenes pontban metszi egym´ast. Ha viszont a g¨ omb-fel¨uleten k´et k¨ul¨onb¨oz˝o pont nem ´atellenes, akkor egyetlen f˝ok¨or k¨oti ¨ossze
˝
oket, m´egpedig az, amelynek a s´ıkj´at a k´et pont ´es a g¨omb k¨oz´eppontja fesz´ıti ki. Ennyiben a g¨ombfel¨ulet eml´ekeztet a s´ıkgeometri´ara. Ezen k´ıv¨ul sok min-den m´asban is, p´eld´aul h´aromsz¨ogeket ´es azok trigonometriai ¨osszef¨ugg´eseit lehet a g¨ombfel¨uleten tanulm´anyozni.
0.3.1. Defin´ıci´o (Tri´eder).Induljon ki a t´er valamely O pontj´ab´ol h´arom olyan f´elegyenes, amelyek nem fekszenek egy s´ıkban. Ezek p´aronk´ent egy-egy konvex sz¨ogtartom´anyt fesz´ıtenek ki. A h´arom sz¨ogtartom´any egyes´ıt´ese kett´ev´agja a teret. A k´et t´err´esz k¨oz¨ul a kisebbiket (a hat´arol´o sz¨ ogtarto-m´anyokkal ´es a f´elegyenesekkel egy¨utt) a h´arom f´elegyenes ´altal kifesz´ıtett tri´edernek (vagy h´aromoldal´u t´ersz¨ogletnek) nevezz¨uk. A tri´eder sz´ armaztat-hat´o annak a h´arom f´elt´ernek a k¨oz¨os r´eszek´ent is, amelyek hat´arol´o s´ıkjait a f´elegyenesek k¨oz¨ul v´alaszthat´o p´arok fesz´ıtik ki, ´es amelyek tartalmazz´ak mindh´arom f´elegyenest. A f´elegyenesek k¨oz¨os kezd˝opontj´at a tri´eder cs´ucs´ a-nak, a h´arom f´elegyenest a tri´eder ´eleinek, a h´arom sz¨ogtartom´anyt a tri´eder lapjainak h´ıvjuk. A lapok sz¨ogm´ert´ek´et a tri´eder ´elsz¨ogeinek, az ´elek men-t´en a lapok ´altal bez´art h´arom sz¨oget pedig a tri´eder lapsz¨ogeinek nevezz¨uk.
(Az elnevez´eseket az magyar´azza, hogy az ´elsz¨ogeket k´et-k´et ´el, a lapsz¨ogeket k´et-k´et lap fogja k¨ozre.)
0.3.2. Defin´ıci´o (G¨ombh´aromsz¨og).Legyen Gg¨ombfel¨ulet a t´erben, A, B,C∈Gh´arom olyan pont, amelyek nem illeszkednek egy f˝ok¨orre. (Vegy¨uk
´eszre, hogy ilyenkorA,B,Ck¨oz¨ul semelyik kett˝o sem lehet ´atellenes.) HaO jel¨oliGk¨oz´eppontj´at, akkor azOA,OB,OC f´elegyenesek nem fekszenek egy s´ıkban, ez´ert tekinthetj¨uk az ´altaluk kifesz´ıtett T tri´edert. Az ABC g¨ omb-h´aromsz¨og¨on aT ∩G halmazt ´ertj¨uk. A g¨ombh´aromsz¨og cs´ucsai az A, B, C pontok, oldalai a cs´ucsokat p´aronk´ent ¨osszek¨ot˝o f˝ok¨or´ıvek, amelyeket T lapjai metszenek kiG-b˝ol.
AzABC g¨ombh´aromsz¨og oldalait a T tri´eder megfelel˝o ´elsz¨ogeinek a sz¨ og-m´ert´ek´evel m´erj¨uk. Ez´altal ezek az adatok f¨uggetlenek aGg¨omb sugar´anak v´alaszt´as´at´ol. HaGegys´egnyi sugar´u, akkor ezek a sz¨ogm´ert´ekek t´enylegesen az oldalak mint f˝ok¨or´ıvek ´ıvhossz´aval egyenl˝ok. A g¨ombh´aromsz¨og sz¨ogeinek a tri´eder megfelel˝o lapsz¨ogeit tekintj¨uk. Ugyanezeket a sz¨ogeket kapn´ank, ha
´erint˝o f´elegyeneseket illeszten´enk a cs´ucsokban az oldalakhoz, ´es az ezek ´altal bez´art sz¨ogeket tekinten´enk. A jel¨ol´eseket ´ugy szok´as megv´alasztani, hogya, b, c jel¨olje rendre az A-val, B-vel, C-vel szemk¨ozti oldalt, valamint α, β, γ
jel¨olje rendre azA-n´al,B-n´el,C-n´el lev˝o sz¨oget. Mind a hat mennyis´eg 0-n´al nagyobb ´esπ-n´el kisebb sz¨og´ert´ek.
A k¨ovetkez˝o t´etelek bizony´ıt´as´aban fontos szerepet j´atszanak a g¨omb k¨oz´ ep-pontj´ab´ol a g¨ombh´aromsz¨og cs´ucsai ir´any´aba mutat´o egys´egvektorok. Ezeket a-val,b-vel ´esc-vel jel¨olj¨uk. Teh´at
L´assuk el a teret ir´any´ıt´assal oly m´odon, hogy az (a,b,c) rendezett b´azist pozit´ıvnak tekintj¨uk. Ezekkel a vektorokkal kifejezhetj¨uk a g¨ombh´aromsz¨og oldalait ´es sz¨ogeit. Az oldalakra a skal´aris szorzat defin´ıci´oja szerint cosa=
=bc, cosb =ca, cosc = ab ´all. A sz¨ogek meghat´aroz´asa c´elj´ab´ol vegy¨uk el˝osz¨or ´eszre, hogy aza×b,b×c,c×avektorok rendre aT tri´eder lapjaira mer˝oleges nemz´erus vektorok, amelyek a tri´ederbe
”befel´e” mutatnak, azaz p´eld´aula×bazOAB lap s´ıkj´anak abba a f´elter´ebe mutat, amely a tri´edert tartalmazza. Ez´ert e szorzatvektorok ´altal p´aronk´ent bez´art h´arom sz¨og a g¨ombh´aromsz¨og sz¨ogeinek a kieg´esz´ıt˝o sz¨oge, p´eld´aul a c×a vektor ´es az a×bvektor sz¨oge (π−α)-val egyenl˝o.
0.3.3. T´etel (G¨ombi szinuszt´etel).B´armely g¨ombh´aromsz¨ogben az olda-lak ´es sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett fenn´all a
sinα m´asr´eszt a kifejt´esi t´etel felhaszn´al´as´aval
(a×b)×(c×a) A bet˝uz´es ciklikus cser´ej´evel hasonl´o m´odon
cab= sinc sinasinβ ´es abc= sinasinb sinγ
ad´odik. A bal oldalak egyenl˝ok, ez´ert a jobb oldalon ´all´o szorzatok is egyenl˝ok : sinbsincsinα= sincsinasinβ= sinasinb sinγ ,
ahonnan ´atrendez´es ´es egyszer˝us´ıt´es ut´an a t´etel k¨ovetkezik.
0.3.4. T´etel (Az oldalakra vonatkoz´o g¨ombi koszinuszt´etel).B´armely g¨ombh´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett fenn´all a
cosa= cosb cosc+ sinbsinccosα egyenl˝os´eg.
Bizony´ıt´as :Most az (a×b)(c×a) skal´aris szorzatot sz´amoljuk ki k´etf´elek´ ep-pen. El˝osz¨or a defin´ıci´o alapj´an
(a×b)(c×a) =|a×b| · |c×a| ·cos(π−α) =−sincsinb cosα , majd a felcser´el´esi ´es a kifejt´esi t´etel alkalmaz´as´aval
(a×b)(c×a) = (a×b)×c
a= (ac)b−(bc)a a=
= (ac)(ab)−(bc) = cosbcosc−cosa . Ezekb˝ol k¨ozvetlen ´atrendez´essel ad´odik a t´etel.
0.3.5. K¨ovetkezm´enyek
(1) B´armely g¨ombh´aromsz¨ogben aza,b,coldalakra ´erv´enyesek aza+b > c, b+c > a,c+a > bh´aromsz¨og-egyenl˝otlens´egek.
(2) B´armely g¨ombh´aromsz¨og ker¨ulete2π-n´el kisebb.
Bizony´ıt´as :(1) : Nyilv´an elegend˝o aza+b > cegyenl˝otlens´eget bebizony´ıtani, a t¨obbi ebb˝ol ´atbet˝uz´essel k¨ovetkezik. Miut´an 0< α < π, a g¨ombi koszinusz-t´etelben szerepl˝o cosα t´enyez˝o (−1)-n´el nagyobb. A sinb ´es sinc t´enyez˝ok pozit´ıvak, ez´ert a jobb oldalt cs¨okkentve a
cosa >cosb cosc−sinbsinc= cos(b+c)
egyenl˝otlens´eget kapjuk. A koszinuszf¨uggv´eny szigor´uan cs¨okken a [0, π] in-tervallumon, ez´ert hab+c≤π, akkor ebb˝ola < b+c k¨ovetkezik. Ha pedig b+c > π, akkora < π miatt vagyunk k´eszen.
(2) : AzABC g¨ombh´aromsz¨ogAB´esAC oldalait hosszabb´ıtsuk meg az ˝oket tartalmaz´o f˝ok¨or¨ok ment´en a B, illetve C ponton t´ul azA-val ´atellenes A0 metsz´espontig. Az ´ıgy el˝o´all´oA0BCg¨ombh´aromsz¨og oldalai rendrea,π−b´es π−c, ahola,b,cazABCg¨ombh´aromsz¨og oldalai a szok´asos jel¨ol´esek szerint.
A h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eget azA0BC g¨ombh´aromsz¨ogre alkalmazva a (π−
−b)+(π−c)> aegyenl˝otlens´eget kapjuk, ahonnan ´atrendez´essela+b+c <2π ad´odik.
A g¨ombh´aromsz¨ogtan ´erdekes jelens´ege, hogy a 0.3.4. T´etelnek egy
”du´alis”
p´arja is ´erv´enyes. Ennek el˝ok´esz´ıt´ese c´elj´ab´ol ´ertelmezz¨uk a pol´aris g¨ombh´ a-romsz¨og fogalm´at, amely t¨obb olyan geometriai jelens´eggel kapcsolatban van, amellyel k´es˝obb m´eg tal´alkozunk (l. 3.4, 7.4, 9.2).
0.3.6. Defin´ıci´o (Pol´aris tri´eder, pol´aris g¨ombh´aromsz¨og). Legyen adott aT tri´ederrel sz´armaztatottABCg¨ombh´aromsz¨og azOk¨oz´eppont´uG g¨omb¨on. LegyenA∗∈Gaz a pont, amellyel azOA∗ f´elegyenes mer˝oleges az OBCs´ıkra ´es annak azA-t nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat. (Ezt az ut´obbi felt´etelt az−−→
OA∗·−→
OA <0 egyenl˝otlens´eggel is megfogalmazhatjuk.) Hasonl´ o-an defini´aljuk aB∗´es aC∗pontot is :OB∗´esOC∗mer˝olegesOCA-ra, illetve OAB-re,−−→
OB∗·−−→
OB <0 ´es−−→
OC∗·−−→
OC <0. AzOA∗, OB∗, OC∗ f´elegyenesek nem fekszenek egy s´ıkban, ellenkez˝o esetben ugyanis O-n ´at l´etezne mind-h´armukra mer˝oleges egyenes, amelynek ´ıgy benne kellene fek¨udnie azOBC, OCA,OAB s´ıkok mindegyik´eben, ilyen egyenes pedig nem l´etezik. A h´arom f´elegyenes teh´at egy T∗ tri´edert fesz´ıt ki, amelyet T pol´aris tri´eder´enek ne-vez¨unk. AT∗tri´eder azA∗B∗C∗ g¨ombh´aromsz¨oget metszi kiG-b˝ol, amelyet azABC pol´aris g¨ombh´aromsz¨og´enek nevez¨unk.
R¨ogt¨on l´atszik, hogy az OA f´elegyenes mer˝oleges az OB∗C∗ s´ıkra, ´es az
−→OA·−−→
OA∗ < 0 felt´etel miatt annak az A∗ pontot nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat. Hasonl´okatOB-r˝ol ´esOC-r˝ol is meg´allap´ıthatunk, teh´at azA∗B∗C∗ g¨ombh´aromsz¨ogh¨oz tartoz´o pol´aris g¨ombh´aromsz¨og maga az eredeti ABC g¨ombh´aromsz¨og.
0.3.7. ´All´ıt´as. Ha a szok´asos jel¨ol´esi meg´allapod´asokkal a, b, c,α, β, γ az ABCg¨ombh´aromsz¨og oldalai ´es sz¨ogei,a∗,b∗,c∗,α∗,β∗,γ∗pedig azA∗B∗C∗ oldalai ´es sz¨ogei, akkor
a∗=π−α , b∗=π−β , c∗=π−γ , α∗=π−a , β∗=π−b , γ∗=π−c .
Bizony´ıt´as : Az adatok k¨oz¨ott fenn´all´o logikai szimmetria miatt elegend˝o az a∗=π−αegyenl˝os´egr˝ol meggy˝oz˝odni. Itta∗ az a sz¨og, amelyet aT tri´eder OCA´es OAB lapjaira mer˝oleges, kifel´e mutat´o vektorok z´arnak be, amely val´oban egyenl˝o az e k´et lap k¨ozti lapsz¨ognek,α-nak a kieg´esz´ıt˝o sz¨og´evel.
Megjegyz´es.Az O-b´olA∗, B∗,C∗ ir´any´aba mutat´o a∗, b∗, c∗ egys´ egvekto-rokat k¨onnyen ellen˝orizhet˝o m´odon a
a∗ = c×b
|c×b|, b∗= a×c
|a×c|, c∗= b×a
|b×a|
k´epletek ´all´ıtj´ak el˝o. A pol´aris g¨ombh´aromsz¨oget ezek seg´ıts´eg´evel is
defini-´
alhattuk volna.
0.3.8. T´etel (A sz¨ogekre vonatkoz´o g¨ombi koszinuszt´etel).B´armely g¨ombh´aromsz¨ogre az oldalak ´es sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett fenn´all a
cosα=−cosβ cosγ+ sinβ sinγ cosa egyenl˝os´eg.
Bizony´ıt´as :Az oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etelt a szok´asos jel¨ol´esek mel-lett alkalmazzuk a pol´aris g¨ombh´aromsz¨ogre, ´es haszn´aljuk a 0.3.7-beli ¨ ossze-f¨ugg´eseket :
cosα=−cosa∗=−cosb∗cosc∗−sinb∗sinc∗cosα∗=
=−cosβcosγ + sinβsinγcosa . 0.3.9. K¨ovetkezm´enyek
(1) A g¨ombh´aromsz¨og sz¨ogei egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak az oldalait.
(2) B´armely g¨ombh´aromsz¨ogben a sz¨ogek ¨osszegeπ-n´el nagyobb.
Bizony´ıt´as : (1) : A sz¨ogekre vonatkoz´o koszinuszt´etelb˝ol egy oldal explicit m´odon kifejezhet˝o a sz¨ogek seg´ıts´eg´evel. A jel¨ol´esek cser´ej´evel a t¨obbi oldal is hasonl´oan el˝o´all´ıthat´o.
(2) : ´Irjuk f¨ol a 0.3.5.(2)-beli egyenl˝otlens´eget a pol´aris g¨ombh´aromsz¨og olda-laira :
a∗+b∗+c∗<2π ,
majd alkalmazzuk a 0.3.7-beli ¨osszef¨ugg´eseket. Ezzel (π−α) + (π−β) + (π−
−γ)<2π, ahonnan az ´all´ıt´as ´atrendez´essel k¨ovetkezik.
Megjegyz´es. A 0.3.9. K¨ovetkezm´eny jellegzetes p´eld´akat mutat arra, hogy egyes von´asaiban a g¨ombi geometria mennyire elt´er az euklideszi s´ık geo-metri´aj´at´ol. A hiperbolikus geometri´ar´ol sz´ol´o fejezetben l´atni fogjuk, hogy hasonl´o jelleg˝u ´all´ıt´asokkal lehet a hiperbolikus s´ıkgeometri´anak az euklide-szit˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o volt´at is szeml´eltetni.
A 0.3.9.(2)-beli egyenl˝otlens´eget pontos´ıtani tudjuk. Egy g¨ombh´aromsz¨og sz¨ogt¨obblet´enek azt a sz´amot tekintj¨uk, amennyivel a sz¨ogei ¨osszege π-n´el nagyobb. Ha a g¨ombh´aromsz¨og ter¨ulet´et az egys´egnyi sugar´u g¨omb¨on elfog-lalt felsz´ınnel m´erj¨uk, akkor az al´abbi t´etel szerint a sz¨ogt¨obblet ´eppen a ter¨ulettel egyenl˝o.
0.3.10. T´etel (Girard-formula).Azα,β,γsz¨og˝u g¨ombh´aromsz¨og ter¨ulete α+β+γ−π .
Bizony´ıt´as :A g¨ombfel¨uletet k´et k¨oz¨os v´egpont´u f´elf˝ok¨or egyes´ıt´ese k´et g¨ omb-k´etsz¨ogre osztja. A g¨ombk´etsz¨oget egybev´ag´os´ag erej´eig egy´ertelm˝uen jellem-zi a cs´ucsaiban m´ert sz¨oge, ´es a g¨ombk´etsz¨og felsz´ıne ar´anyos ezzel a sz¨oggel.
Aπsz¨og˝u g¨ombk´etsz¨ogek f´elg¨omb¨ok, amelyek felsz´ıne az egys´egg¨omb¨on 2π-vel egyenl˝o, ez´ert az ar´anyoss´agi t´enyez˝o 2. Teh´at az egys´egg¨omb¨on egy ϕ sz¨og˝u g¨ombk´etsz¨og felsz´ıne 2ϕ-vel egyenl˝o.
Legyen adott azOk¨oz´eppont´uGegys´egg¨ombfel¨uleten azABCg¨ombh´ arom-sz¨og, amelynek atter¨ulet´et keress¨uk. Tekints¨uk az oldalakat tartalmaz´o h´ a-rom f˝ok¨ort. Ezek k¨oz¨ul b´armelyik kett˝ot kiszemelve azok n´egy g¨ombk´etsz¨ogre v´agj´ak G-t. A n´egy g¨ombk´etsz¨og k¨oz¨ul az egyik tartalmazza a g¨ombh´ arom-sz¨oget ; v´alasszuk ki ezt ´es a vele egybev´ag´o ´atellenes´et. Ilyen m´odon ¨osszesen hat darab g¨ombk´etsz¨oget v´alasztottunk, k¨oz¨ul¨uk kett˝onek-kett˝onek a sz¨oge α,β, illetveγ.
A hat kiv´alasztott g¨ombk´etsz¨og egy¨utt lefedi a teljes g¨ombfel¨uletet, m´egpedig azABC g¨ombh´aromsz¨oget ´es annak az O-ra vonatkoz´o k¨oz´eppontos t¨uk¨ or-k´ep´et h´aromszorosan, a g¨ombfel¨ulet t¨obbi r´esz´et egyszeresen. A hat g¨ omb-k´etsz¨og felsz´ın´enek az ¨osszege teh´at a g¨omb teljes felsz´ın´en´el, 4π-n´el 4t-vel t¨obb, azaz
2·2α+ 2·2β+ 2·2γ= 4π+ 4t , amib˝ol ´atrendezve a Girard-formul´at kapjuk.
Megjegyz´es. A g¨ombh´aromsz¨og oldalainak m´er´es´eben 0.3.2 szerint ´ugy ´ al-lapodtunk meg, hogy trigonometriai formul´aink egys´egnyi sugar´u g¨ ombfe-l¨uleten m´ert ´ıvhosszra vonatkoz´oan legyenek helyesek. Ugyanez mondhat´o 0.3.10-r˝ol, amely az egys´egnyi sugar´u g¨omb¨on m´ert felsz´ınr˝ol sz´ol. T´ eteleink-b˝ol nem neh´ez olyan formul´akat sz´armaztatni, amelyek 1 helyett tetsz˝oleges rsugar´u g¨omb¨on ´erv´enyesek.
Legyen adott egyABCg¨ombh´aromsz¨og azOk¨oz´eppont´u,rsugar´uGg¨ ombfe-l¨uleten. Oldalhosszain most a f˝ok¨or´ıvekG-n m´ert ´ıvhossz´at ´erts¨uk, ´es jel¨olj¨uk
˝
oket rendrea-val,b-vel ´esc-vel ; sz¨ogei legyenek rendreα,β ´esγ.
AzOk¨oz´eppont´u, 1/rar´any´u k¨oz´eppontos hasonl´os´agG-t a vele koncentrikus egys´egnyi sugar´uG0 g¨ombbe viszi, azABC h´aromsz¨oget pedig olyanA0B0C0 g¨ombh´aromsz¨ogbe a G0 g¨omb¨on, amelynek a sz¨ogei v´altozatlanulα, β ´esγ, az oldalhosszai rendrea/r,b/r´esc/r, felsz´ıne pedig az eredeti felsz´ın (1/r2 )-szerese.
Alkalmazhatjuk t´eteleinket az A0B0C0 g¨ombh´aromsz¨ogre, ´es az ´ıgy kapott formul´ak most m´ar ´altal´anosan (tetsz˝oleges sugar´u g¨omb¨on) ´erv´enyesek :
g¨ombi szinuszt´etel: sinα
sinar =sinβ
sinbr = sinγ sincr g¨ombi koszinuszt´etelek: cosa
r = cosb r cosc
r + sinb r sinc
r cosα cosα=−cosβ cosγ+ sinβ sinγ cosa
r a g¨ombh´aromsz¨og felsz´ıne: r2(α+β+γ−π)
A formul´ak r-t˝ol val´o f¨ugg´es´e´ert a k¨ul¨onb¨oz˝o sugar´u g¨ombfel¨uletek k¨ul¨onb¨ o-z˝o m´ert´ek˝u g¨orb¨ulete a felel˝os. Az 1/r2 sz´am az r sugar´u g¨ombfel¨ulet ´un.
Gauss-f´ele g¨orb¨ulete. A trigonometriai formul´akban ennek a n´egyzetgy¨oke jelenik meg a t´avols´agadatok egy¨utthat´ojak´ent. ´Erdekes anal´ogi´ara fogunk ezzel kapcsolatban r´aismerni majd a hiperbolikus geometria hasonl´o formu-l´aiban, l. 11.3, 11.5.
Az affin geometria l´enyeg´eben a vektorterek geometri´aja. Azt vizsg´alja, mi-lyen geometriai fogalmak ´ertelmezhet˝ok ´es milyen geometriai ¨osszef¨ugg´esek t´arhat´ok fel kiz´ar´olag a vektort´er-tulajdons´agok felhaszn´al´as´aval. Teh´at p´ el-d´aul m´ert´ekviszonyokr´ol (t´avols´agr´ol, sz¨ogr˝ol, t´erfogatr´ol) nincsen sz´o az af-fin geometri´aban. Vannak viszont olyan geometriai fogalmak, mint p´eld´aul a p´arhuzamoss´ag vagy az oszt´oviszony, amelyek sz´armaztathat´ok puszt´an a t´er line´aris strukt´ur´aj´ab´ol, ez´ert ezek az affin geometri´ahoz tartoznak. Ilyen fo-galmakr´ol lesz sz´o ebben a fejezetben. T´eteleink egy r´esz´en´el nincs is sz¨uks´eg bizony´ıt´asra, mert csup´an ´atfogalmaz´asai vagy k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enyei a line´aris algebr´ab´ol ismert ¨osszef¨ugg´eseknek. Fogalmainkat tetsz˝oleges test fe-letti, tetsz˝oleges dimenzi´oj´u vektorterek felhaszn´al´as´aval vezetj¨uk be. Ehhez term´eszetesen motiv´aci´o gyan´ant a val´os, legfeljebb 3-dimenzi´os eset, azaz a klasszikus geometria eszk¨ozei szolg´alnak.