1. Affin terek
1.4. Oszt´ oviszony, s´ ulypont, baricentrikus koordin´ at´ ak
1.4.1. Defin´ıci´o (Oszt´oviszony). LegyenA ´es B k´et k¨ul¨onb¨oz˝o r¨ogz´ıtett pont azE affin egyenesen. Tetsz˝olegesP ∈E,P 6=B ponthoz egy´ertelm˝uen l´etezik olyanλ∈F, hogy−→
AP =λ·−−→
P B. Ezt aλelemet (ABP)-vel jel¨olj¨uk
´es aP pontA-ra ´esB-re vonatkoz´o oszt´oviszony´anak nevezz¨uk.
P´eld´aul (ABA) = 0. HaF=R, ´es P az [A, B] szakasz bels˝o pontja, akkor (ABP) azt mondja meg, hogy a P pont milyen ar´anyban osztja az [A, B]
szakaszt. P´eld´aul a szakasz felez˝opontj´ara az oszt´oviszony ´ert´eke 1 : 1 = 1, azA-hoz k¨ozelebbi harmadol´opontra 1 : 2 = 1/2, a m´asik harmadol´opontra 2 : 1 = 2. Ha a P pont nem tartozik az [A, B] szakaszhoz, akkor (ABP) negat´ıv.
1.4.2. ´All´ıt´as.(ABP) =β/α, ahol aP pont azA´es aB affin kombin´aci´oja α, illetveβ egy¨utthat´okkal.
Bizony´ıt´as :0=α·−→
P A+β·−−→
P B, ahonnan−→
AP =β/α·−−→ P B.
1.4.3. K¨ovetkezm´eny.B´armely affin lek´epez´es oszt´oviszonytart´o. Azaz, ha f :X →Y affin lek´epez´es,A6=B 6=P kolline´aris pontokX-ben ´esf(A)6=
6=f(B)6=f(P), akkor f(A)f(B)f(P)
= (ABP).
Bizony´ıt´as :R¨ogt¨on ad´odik az 1.3.2. ´es az 1.4.2. ´All´ıt´as ¨osszevet´es´evel.
1.4.4. ´All´ıt´as (1) (ABP)6=−1 ;
(2) R¨ogz´ıtett A´esB mellett b´armely λ∈F, λ6=−1 skal´arhoz tal´alhat´o olyanP, hogy(ABP) =λ;
(3) (ABP) = (ABQ)eset´en sz¨uks´egk´eppenP =Q;
(4) (ABP)(BAP) = 1 ;
(5) HaA,B ´esCegy affin egyenes h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (ABC)(BCA)(CAB) = 1;
(6) HaP,Q,R´esS egy affin egyenes n´egy k¨ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (P QS)(QRS)(RP S) =−1.
Bizony´ıt´as : Az 1.4.3. K¨ovetkezm´enyre hivatkozva feltehet˝o, hogy az affin egyenes azFtesttel azonos, ekkor aza, b, p∈Felemek oszt´oviszonya (abp) =
= (p−a)/(b−p) alakban ´ırhat´o. Ezzel mind a hat ´all´ıt´as ´atfogalmazhat´o egy-egy F-beli elemekre vonatkoz´o formul´av´a, ´es ´ıgy k¨ozvetlen sz´amol´assal ellen˝orizhet˝o.
1.4.5. Defin´ıci´o (S´ulypont). S´ulyozott pontrendszert kapunk az X affin t´erben, ha v´eges sok A0, A1, . . ., Ak ∈ X ponthoz egy-egy mi ∈ F (i =
= 0,1, . . . , k) s´ulyt rendel¨unk. (Form´alis defin´ıci´oval ´elve X-beli s´ulyozott pontrendszerenXegy v´eges r´eszhalmaz´an ´ertelmezettF-be k´epez˝o f¨uggv´enyt
´erthet¨unk.) Azt mondjuk, hogy azS ∈X pont ennek a s´ulyozott pontrend-szernek s´ulypontja, haPk
i=0mi−−→
SAi=0.
Erdemes meg´´ allapodni abban, hogy k´et s´ulyozott pontrendszer k¨oz¨ott nem tesz¨unk k¨ul¨onbs´eget, ha az egyik a m´asikb´ol z´erus s´uly´u pontok hozz´aad´as´ a-val vagy elv´etel´evel sz´armazik. Vil´agos, hogy ez a meg´allapod´as a s´ulypont defin´ıci´oj´at nem befoly´asolja.
1.4.6. ´All´ıt´as.Ha a s´ulyok ¨osszege nem0, akkor a s´ulyozott pontrendszernek egy´ertelm˝uen l´etezik s´ulypontja, m´egpedig az azS pont, amelybe a t´er egy tetsz˝oleges Opontj´ab´ol az−→
OS= (Pk
i=0mi−−→
OAi)/Pk
i=0mi vektor mutat.
Bizony´ıt´as :Val´oban, az 1.3.1. Defin´ıci´ot k¨ovet˝o ´eszrev´etel szerint a s´ulypont azonos azA0,A1,. . .,Akpontoknak azmi/Pk
j=0mj (i= 0,1, . . . , k) egy¨ utt-hat´okkal vett affin kombin´aci´oj´aval.
1.4.7. P´eld´ak. HaF=R´es a pontokat egyenl˝o s´ulyokkal l´atjuk el, akkor az ´ıgy kapott s´ulyozott pontrendszer s´ulypontja a k¨oz¨ons´eges ´ertelemben vett s´ulypont. P´eld´aul k´et pont eset´eben a s´ulypont a szakasz felez˝opontja, h´ a-rom nem kolline´aris pont eset´eben a s´ulypont a h´aromsz¨og (elemi geometriai
´ertelemben vett) s´ulypontja.
1.4.8. ´All´ıt´as (A s´ulyok csoportos´ıthat´os´agi t´etele). Ha egy nem 0
¨
osszeg˝u s´ulyokkal s´ulyozott pontrendszer pontjait diszjunkt csoportokba oszt-juk ´ugy, hogy az egyes csoportokban a s´ulyok ¨osszege nem 0, majd mind-egyik csoport s´ulypontj´at ell´atjuk a csoportban szerepl˝o s´ulyok ¨osszeg´evel mint s´ullyal, akkor az ´ıgy nyert s´ulyozott pontrendszer s´ulypontja azonos az eredeti s´ulyozott pontrendszer s´ulypontj´aval.
Bizony´ıt´as :Alljon a pontrendszer az´ mij s´ulyokkal ell´atottAij pontokb´ol az {Ai1, . . ., Aiki} (i = 1, . . . , l) csoportokba osztva olyan m´odon, hogy mi =
=Pki
j=1mij 6= 0 (i= 1, . . . , l). Legyenek S1, . . . , Sl az egyes csoportokhoz tartoz´o s´ulypontok, azaz tegy¨uk fel, hogyPki
j=1mij
ami azt mutatja, hogyS az eredeti teljes pontrendszer s´ulypontja.
1.4.9. P´eld´ak, elemi geometriai k¨ovetkezm´enyek. Itt feltessz¨uk, hogy F=R. Az al´abbi p´eld´ak az elemi geometri´ab´ol j´ol ismert ´all´ıt´asok, amelyeket felfoghatunk a csoportos´ıthat´os´agi t´etel k¨ozvetlen alkalmaz´asaik´ent.
• A h´aromsz¨og s´ulypontja illeszkedik a s´ulyvonalakra ´es 1 : 2 ar´anyban osztja ˝oket.
• A tetra´eder s´ulypontja illeszkedik a s´ulyvonalakra (azaz a cs´ucsokat a szemk¨ozti lap s´ulypontj´aval ¨osszek¨ot˝o szakaszokra) ´es 1 : 3 ar´anyban osztja ˝oket, tov´abb´a felezi a szemk¨ozti ´elek felez˝opontjait ¨osszek¨ot˝o h´ a-rom szakaszt.
• B´armely s´ıkbeli n´egysz¨og eset´eben a szemk¨ozti oldalak felez˝opontjait
¨osszek¨ot˝o k´et szakasznak ´es az ´atl´ok felez˝opontj´at ¨osszek¨ot˝o szakasznak k¨oz¨os a felez˝opontja.
1.4.10. Defin´ıci´o (Baricentrikus koordin´at´ak).R¨ogz´ıts¨unk egyA0,A1, . . ., Ad affin b´azist azX affin t´erben. Ha egy P ∈ X pontot azx0, x1, . . ., xd s´ulyok seg´ıts´eg´evel lehet s´ulypontk´ent el˝o´all´ıtani azA0,A1,. . .,Ad pont-rendszerb˝ol, akkor azt mondjuk, hogy ezek a s´ulyok a P pont baricentrikus koordin´at´ai az adott affin b´azisra n´ezve.
Az 1.3.18. ´es 1.4.6. ´All´ıt´asok k¨ovetkezt´eben b´armely P ∈X-nek vannak ba-ricentrikus koordin´at´ai, ´es azokat aP pont ar´anyoss´ag erej´eig egy´ertelm˝uen hat´arozza meg, tov´abb´a b´armely nem 0 ¨osszeg˝ux0,x1,. . .,xd testelem-(d+ + 1)-es el˝o´all mint valamilyenX-beli pont baricentrikus koordin´at´ai.
R¨ogz´ıtettA0, A1, . . .,Ad affin b´azis mellett azt a t´enyt, hogy azx0,x1, . . ., xd elemek a P ∈X pont baricentrikus koordin´at´ai, aP = [x0 :x1:. . .:xd] jel¨ol´essel fejezz¨uk ki. Nyilv´an [x0:x1:. . .:xd] = [x00:x01:. . .:x0d] pontosan akkor teljes¨ul, ha l´etezik olyan λ ∈ F, hogy x0i = λxi (i = 0,1, . . . , d). A baricentrikus koordin´at´ak haszn´alata teh´at azonos´ıt´ast teremt azX t´er ´es az
n
x= (x0, x1, . . . , xd)∈Fd+1
d
X
i=0
xi6= 0o.
∼
faktorhalmaz k¨oz¨ott, ahol a ∼ ekvivalenciarel´aci´o az ar´anyoss´agot jelenti, azazx∼yakkor ´es csak akkor ´all fenn, hay=λxalkalmasλ∈F-fel.
1.4.11. P´eld´ak.LegyenA0,A1,. . ., Ad affin b´azis azX affin t´erben.
• A0 = [1 : 0 :. . . : 0],A1 = [0 : 1 :. . . : 0],. . ., Ad = [0 : 0 :. . . : 1].
Ha F=R, akkor ezeknek a pontoknak a k¨oz¨ons´eges ´ertelemben vett s´ulypontja [1 : 1 :. . .: 1].
• P = [x0:x1:. . .:xd] akkor ´es csak akkor tartozik azhAi0, Ai1, . . . , Aiki affin alt´erhez, ha mindeni6=ij (j= 0,1, . . . , k) eset´enxi= 0.
• i = 0,1, . . . , d-re jel¨olje Hi azt azX-beli hipers´ıkot, amelyre Ai ∈ Hi
´
es amely p´arhuzamos az hAj : j 6= ii hipers´ıkkal. Az si du´alis affin form´akat alkalmazva Hi=Z(1−si). Emiatt aP = [x0 :x1 :. . . :xd] pont akkor ´es csak akkor tartozikHi-hez, haP
j6=ixj= 0.
Megjegyz´es. A k´et utols´o p´eld´aban bizonyos affin altereket a baricentrikus koordin´at´akban fel´ırt homog´en line´aris egyenletrendszerekkel tudtunk meg-adni. A 7. szakasz v´eg´en l´atni fogjuk, hogy ez minden affin alt´erre ´ıgy van.
A k´es˝obbiekben kider¨ul majd, hogy a baricentrikus koordin´at´ak a projekt´ıv geometri´aban haszn´alatos ´un.
”homog´en koordin´at´ak” egy speci´alis v´ altoza-ta. A homog´en koordin´at´ak elnevez´ese onnan sz´armazik, hogy seg´ıts´eg¨ukkel az alakzatokat homog´en egyenletekkel lehet le´ırni.