2. Konvex halmazok affin t´ erben
2.3. Konvex halmazok topol´ ogiai tulajdons´ agai
Az al´abbiakban (ahogyan m´ar 2.2.6–2.2.8-ban is) a ny´ılt, z´art, kompakt stb.
jelz˝ok azXaffin t´er term´eszetes topol´ogi´aj´ara vonatkoznak. Az intS,S, illetve
∂S jel¨ol´eseket is egy S⊆X ponthalmaznak azX t´er term´eszetes topol´ogi´ a-j´ara vonatkoz´o belsej´ere, lez´ar´as´ara ´es hat´ar´ara haszn´aljuk.
2.3.1. ´All´ıt´as.Konvex halmaz lez´ar´asa konvex.
Bizony´ıt´as :Tegy¨uk fel, hogyK⊆X konvex, legyenA, B∈K´esP ∈[A, B].
Ekkor valamilyen t ∈ [0,1]-re P az A ´es B konvex kombin´aci´oja t ´es 1−
−tegy¨utthat´okkal. L´eteznek olyanK-beliAn ´esBn sorozatok, hogy An → A ´es Bn → B. Ekkor az An ´es a Bn pont t ´es 1−t egy¨utthat´okkal vett Pn konvex kombin´aci´ojaK-hoz tartozik. Affin koordin´at´akat haszn´alva ´es a vektorm˝uveletek folytonoss´ag´ara hivatkozva r¨ogt¨on l´athat´o, hogy Pn → P, ahonnanP ∈K.
2.3.2. ´All´ıt´as.LegyenK konvex halmaz. Ekkor :
(1) HaA∈K´esB ∈intK, akkor [A, B]− {A} ⊆intK.
(2) intK konvex.
(3) intK pontosan akkor ¨ures, haK benne fekszik egy hipers´ıkban.
(4) intK= intK.
(5) HaintK6=∅, akkorK= intK.
Bizony´ıt´as :(1) : LegyenP ∈[A, B],P 6=A, B tetsz˝oleges pont ´es defini´aljuk a λ val´os sz´amot a −→
AP = λ·−−→
AB egyenl˝os´eggel, ekkor 0 < λ < 1. A P k¨oz´eppont´u,λ/(λ−1) ar´any´uHP,λ/(λ−1)homot´ecia aB pontotA-ba, ´ıgy az intK ny´ılt halmaztAegy ny´ılt k¨ornyezet´ebe viszi.
Emiatt v´alaszthatunk olyanC∈Kpontot, amelyA-nak ebbe a k¨ornyezet´ebe esik, azaz amelyn´el aQ=HP,(λ−1)/λ(C) pontraQ∈intK. Tekints¨uk most a HC,λ homot´eci´at. Egyr´esztHC,λ(Q) =P, m´asr´esztC∈KmiattHC,λ(K)⊆
⊆K ´es ann´al ink´abbHC,λ(intK)⊆K teljes¨ul. Teh´at P ∈HC,λ(intK)⊆K, aholHC,λ(intK) ny´ılt halmaz, ´es ´ıgyP ∈intK.
(2) : R¨ogt¨on k¨ovetkezik (1)-b˝ol.
(3) : HaKnem r´esze semmilyen hipers´ıknak, akkor dimhKi=d, ez´ertK-ban vand+ 1 f¨uggetlen pont :A0,A1,. . .,Ad. EkkorKlefedi az [A0, A1, . . . , Ad] d-dimenzi´os szimplexet. A baricentrikus koordin´at´akkal adott [1 : 1 : . . . : : 1] pont (azaz az A0, A1, . . ., Ad pontrendszer s´ulypontja) a szimplexet metszetk´ent el˝o´all´ıt´o f´elterek mindegyik´enek bels˝o pontja, ´ıgy a szimplexnek is bels˝o pontja, ann´al ink´abb bels˝o pontjaK-nak.
Megford´ıtva, haH hipers´ık ´esK⊆H, akkor intH =∅ miatt intK=∅.
(4) : K ⊆ K miatt nyilv´an intK ⊆ intK. Megford´ıtva, legyen P ∈ intK.
Ekkor intK nem lehet ¨ures, mert akkor (3) alkalmaz´as´aval K ´es ´ıgy K is benne fek¨udne egy hipers´ıkban, ´es akkor intK is ¨ures lenne. V´alasszunk egy B ∈intK pontot. Az intK halmaz ny´ılt volta miatt v´alaszthatunk olyanA pontot ahP, Biegyenesen, amely intK-ba esik ´es amelyreP ∈[A, B],A6=P. Ekkor az (1) ´all´ıt´as alkalmaz´as´avalP ∈intK.
(5) : A K ⊇ intK tartalmaz´as K ⊇ intK miatt nyilv´anval´o. A ford´ıtott ir´any´u tartalmaz´as igazol´as´ahoz tekints¨unk egy tetsz˝oleges A ∈ K pontot.
V´alasszunk egyA-t´ol k¨ul¨onb¨oz˝o B∈intK pontot is, ekkor azApont benne van az [A, B]− {A}halmaz lez´ar´as´aban. Ekkor az (1) ´all´ıt´as felhaszn´al´as´aval azApont benne van az enn´el b˝ovebb intK halmaz lez´ar´as´aban is.
2.3.3. ´All´ıt´as
(1) Ny´ılt halmaz konvex burka ny´ılt.
(2) Kompakt halmaz konvex burka kompakt.
Bizony´ıt´as : (1) : Legyen S ⊂ X ny´ılt ´es P ∈ conv(S). Ekkor a 2.2.3. ´ All´ı-t´as szerint vannak olyan A0, A1, . . ., Ak ∈ S f¨uggetlen pontok, hogy P ∈
∈ [A0, A1, . . . , Ak], azaz P az A0, A1, . . ., Ak pontok konvex kombin´aci´oja valamilyenλ0,λ1, . . ., λk egy¨utthat´okkal. Feltehet˝o, hogy p´eld´aul 0< λ0 <
<1. Legyeni= 1, . . . , k-ra µi=λi/(1−λ0), ekkorQ=µ1A1+. . .+µkAk
is konvex kombin´aci´o, ´ıgy Q ∈ conv(S). A P pont A0-nak ´es Q-nak λ0 ´es 1−λ0 egy¨utthat´okkal vett konvex kombin´aci´ojak´ent ´all el˝o, ahonnan −−→
QP =
=λ0·−−→
QA0. Emiatt aQk¨oz´eppont´u,λ0ar´any´u homot´ecia azA0pontotP-be k´epezi, ´esQ∈conv(S) miatt azS ny´ılt halmazt conv(S) egy r´eszhalmaz´aba.
Ez a r´eszhalmaz aP pontnak olyan k¨ornyezete, amely conv(S)-ben fekszik.
(2) : Tekints¨uk azY =Rd+1×Xd+1affin t´eren azt a ∆ :Y →X lek´epez´est, amelyn´el ∆(λ0, . . . , λd, A0, . . . , Ad) =λ0A0+. . .+λdAd. Az X t´erben affin koordin´at´ak felhaszn´al´as´aval r¨ogt¨on l´athat´o, hogy ∆ affin lek´epez´es, ´es ´ıgy folytonos.
HaS⊂X nem¨ures kompakt halmaz, akkor a T =n
(λ0, . . . , λd, A0, . . . , Ad)∈Y :
d
X
i=0
λi= 1, λi≥0, Ai∈S(i= 0, . . . , d)o halmaz is kompakt, hiszen korl´atos ´es z´art azY t´erben. A 2.2.1. T´etel miatt conv(S) = ∆(T), ´ıgy a ∆ lek´epez´es folytonoss´aga miatt conv(S) kompakt.
Megjegyz´es.Z´art halmaz konvex burka nem felt´etlen¨ul z´art, amint azt a s´ı-kon egy egyenes ´es egy r´a nem illeszked˝o pont egyes´ıt´esek´ent el˝o´all´o halmaz p´eld´aja mutatja.
2.3.4. Defin´ıci´o (Konvex halmaz dimenzi´oja).AK⊆X nem¨ures kon-vex halmaz dimenzi´oj´an aKaffin burk´anak dimenzi´oj´at ´ertj¨uk, azaz dimK=
= dimhKi.
A 2.3.2.(3) ´All´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogy dimK= dimX pontosan akkor telje-s¨ul, haK-nak van bels˝o pontja.
2.3.5. P´eld´ak
• HaA0,. . .,Ak f¨uggetlen pontok, akkor dim[A0, . . . , Ak] = dimhA0, . . . , Aki=k, teh´at egyk-dimenzi´os szimplex dimenzi´oja a 2.3.4. Defin´ıci´o
´
ertelm´eben isk.
• Egyn-dimenzi´os vektort´eren a szimmetrikus biline´aris f¨uggv´enyek n+12 -dimenzi´os vektorteret alkotnak, amelyben a pozit´ıv definit f¨uggv´enyek alkotta konvex k´up ny´ılt, ´ıgy szint´en n+12
-dimenzi´os.
• A dupl´an sztochasztikusn×n-es m´atrixokBnhalmaz´at 2n−1 f¨uggetlen egyenlet (´es n2 tov´abbi egyenl˝otlens´eg) ´ırja le az Rn×n t´erben, ez´ert dimBn= (n−1)2.
2.3.6. Defin´ıci´o (Konvex halmaz relat´ıv belseje ´es relat´ıv hat´ara).
LegyenK ⊆X nem¨ures konvex halmaz. K relat´ıv belsej´enek (relat´ıv hat´ a-r´anak) nevezz¨uk ´es relintK-val (rel∂K-val) jel¨olj¨uk K bels˝o pontjainak (ha-t´arpontjainak) halmaz´at ahKiaffin t´erre vonatkoz´oan.
A 2.3.2.(3) ´All´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogy b´armely nem¨ures konvex halmaz re-lat´ıv belseje sem ¨ures. S˝ot, 2.3.2.(5) miattK= relintK´erv´enyes b´armelyK konvex halmazra.
2.3.7. ´All´ıt´as.LegyenK⊂X legal´abb egydimenzi´os kompakt konvex hal-maz. EkkorK= conv(rel∂K).
Bizony´ıt´as : Legyen P ∈ K tetsz˝oleges ´es v´alasszunk egy P-n ´athalad´o E egyenest az hKi affin alt´erben. Ekkor E∩K egy (esetleg elfajul´o) [A, B]
szakaszE-ben, aholA, B∈rel∂K. ´IgyP ∈conv(rel∂K).
2.3.8. ´All´ıt´as. Ha K, L ⊂ X nem¨ures diszjunkt konvex z´art halmazok ´es legal´abb az egyik¨uk kompakt, akkor l´eteznek diszjunkt konvex ny´ılt k¨ ornye-zeteik, azaz olyan M, N ⊂ X konvex ny´ılt halmazok, amelyekre K ⊂ M, L⊂N ´esM∩N=∅.
Bizony´ıt´as : Affin koordin´atarendszer bevezet´es´evel feltehet˝o, hogyX =Rd. Legyen p´eld´aul K kompakt. A ρ(x, L) = inf{ρ(x,y) : y ∈ L} (x ∈ Rd) f¨uggv´eny folytonos ´esLz´arts´aga miattL-en k´ıv¨ul pozit´ıv, ez´ert aKkompakt halmazon pozit´ıv minimumot vesz fel ; legyenδez a minimum´ert´ek. Ekkor az M =K+B(0, δ/2) ´es azN=L+B(0, δ/2) Minkowski-¨osszegek diszjunktak.
M ´es N konvexek a 2.1.5. ´All´ıt´as miatt, tov´abb´a ny´ılt halmazok, hiszen a B(0, δ/2) ny´ılt halmaz eltoltjainak uni´oi.
Megjegyz´es. A 2.3.8. ´All´ıt´asban a kompakts´agi feltev´es nem engedhet˝o el.
Tekints¨uk p´eld´aul ugyanis az R2 s´ıkban a K = {(x, y) : x > 0, y ≥ 1/x}
´es az L = {(x, y) : y ≤ 0} halmazt, ezeknek nincsenek diszjunkt konvex k¨ornyezeteik.
2.3.9. T´etel
(1) HaM ⊆X nem¨ures konvex ny´ılt halmaz, akkorM homeomorfX-szel (azaz azRd t´errel).
(2) Ha K ⊆ X kompakt konvex halmaz ´es intK 6= ∅, akkor K homeo-morf a Bd =B(0,1) ⊆Rd z´art egys´egg¨ombtesttel,∂K pedig azSd−1 egys´egg¨ombfel¨ulettel.
Bizony´ıt´as : (1) : Alkalmas affin koordin´atarendszer v´alaszt´as´aval feltehet˝o, hogyX=Rd ´es0∈M. Defini´aljuk aλ:Rd→Rf¨uggv´enyt a
λ(x) = infn1
λ:λ >0, λ·x∈Mo
(x∈Rd)
formul´aval. Nyilv´anλpozit´ıv-homog´en, azaz b´armelyc >0-ra ´esx-reλ(c·x) =
=c·λ(x). ´All´ıtjuk, hogy aλf¨uggv´eny folytonos.
R¨ogt¨on k¨ovetkezik a defin´ıci´ob´ol, hogy x ∈ M-re λ(x) < 1, x ∈ ∂M-re λ(x) = 1 ´esx∈/ M-raλ(x)>1 teljes¨ul. Ez´ertλ(x)6= 0 eset´enλ(x) azzal az ar´annyal egyenl˝o, amilyen ar´any´u orig´o k¨oz´eppont´u homot´eci´at M-re alkal-mazva az x pont azM k´ep´enek hat´arpontja. (Tov´abb´a λ(x) = 0 pontosan azokra azx-ekre ´all, amelyekhez nem tal´alhat´o ilyen homot´ecia.) Emiatt b´ ar-melya >0 val´os sz´amra λ−1(0, a) =H0,a(M) ´esλ−1(a,+∞) =H0,a(Rd−
−M) ny´ılt halmazok, ´ıgyλfolytonos.
Defini´aljuk az f :M →Rd ´es ag:Rd→M lek´epez´est az f(x) = x
1−λ(x), g(y) = y 1 +λ(y)
formul´akkal. A λ f¨uggv´eny folytonoss´aga miatt f ´es g folytonos, tov´abb´a λ(g(y)) =λ(y)/(1 +λ(y))<1 miattg val´obanM-be k´epez. A λf¨uggv´eny pozit´ıv-homogenit´as´anak felhaszn´al´as´aval k¨ozvetlen sz´amol´as mutatja, hogy f ´esg egym´as inverzei.
(2) : LegyenM = intK, a fentiekhez hasonl´oan tegy¨uk f¨ol, hogyX =Rd,0∈
∈M, ´es defini´aljuk aλ:Rd→Rf¨uggv´enyt. Most a∂Khalmaz kompakts´aga
´es0∈/ ∂K miatt alkalmas c, C >0 konstansokkalc < λ(x)/kxk< C fenn´all minden x ∈ ∂K-ra, ´ıgy λ pozit´ıv-homogenit´asa miatt minden x 6= 0-ra is.
Ez´ert az F, G:Rd→Rd,
2.3.10. K¨ovetkezm´eny.B´armelyk-dimenzi´os konvex halmaz relat´ıv belseje homeomorf Rk-val. B´armely k-dimenzi´os korl´atos konvex halmaz lez´ar´asa homeomorfBk-val, hat´ara homeomorfSk−1-gyel.
Bizony´ıt´as : HaL konvex ´es dimL=k, akkor relintLnem¨ures ´es ny´ılt a k-dimenzi´oshLiaffin alt´erben. ´IgyM = relintL-re ´esX =hLi-re alkalmazhat´o a 2.3.9.(1) T´etel. HaLm´eg korl´atos is, akkor a 2.3.9.(2) T´etelt alkalmazzuk K=L-ra.