1. Affin terek
1.1. Affin terek ´ es affin lek´ epez´ esek
1.1.1. Defin´ıci´o (Affin t´er). Legyen F (kommutat´ıv) test, V vektort´er Ff¨ol¨ott, ´esX egy tetsz˝oleges halmaz. Affin strukt´ur´anak (pontosabban, F f¨ol¨otti affin strukt´ur´anak) nevezz¨uk a Φ : X ×X → V lek´epez´est, ´es (F f¨ol¨otti) affin t´ernek az (X, V,Φ) h´armast, ha teljes¨ul :
(1) mindenA∈X-re a ΦA:X →V, ΦA(B) = Φ(A, B) lek´epez´es bijekt´ıv,
´ es
(2) mindenA, B, C ∈X-re Φ(A, B) + Φ(B, C) = Φ(A, C).
Gyakran mag´at X-et nevezz¨uk affin t´ernek, ha egy´ertelm˝u, hogy mely affin strukt´ur´aval van ell´atva.Xelemeit pontoknak nevezz¨uk. Az alkalmaz´asokban
29
legt¨obbsz¨or F=RvagyC, ilyenkor val´os, illetve komplex affin t´err˝ol besz´ e-l¨unk. A v´eges testek f¨ol¨otti affin terek ´erdekes kombinatorikai strukt´ur´akhoz vezetnek. A tov´abbiakban, hacsak m´ask´ent nem hangs´ulyozzuk, minden vek-tort´er ´es affin t´er ugyanazonFtest f¨ol¨ott ´ertend˝o.
Jel¨ol´esek, meg´allapod´asok :
• A, B ∈X eset´en a Φ(A, B)∈V vektorra ink´abb az−−→
AB jel¨ol´est hasz-n´aljuk. Ezzel (2) az −−→
AB+−−→ BC =−→
AC alakban ´ırhat´o. R¨ogt¨on ad´odik
−→AA=0´es−−→
BA=−−−→
AB mindenA, B∈X-re.
• A ∈ X-re XA jel¨oli azt a vektorteret, amelynek az alaphalmaza X,
´
es amelyre ΦA : XA → V izomorfizmus. Azt mondjuk, hogy az XA
vektorteret azX affin t´er
”vektoriz´aci´oj´aval” nyerj¨uk az Apontban.
• X dimenzi´oj´anak defin´ıci´o szerint V dimenzi´oj´at tekintj¨uk (´es dim X-szel jel¨olj¨uk). Affin egyenesnek mondjuk az egydimenzi´os affin tereket, affin s´ıknak a k´etdimenzi´osakat.
1.1.2. P´eld´ak
• HaX az axiomatikusan ´ertelmezett klasszikus euklideszi t´er,V az X-beli szabad vektorok alkotta vektort´er R f¨ol¨ott, Φ pedig a rendezett pontp´arokhoz mint ir´any´ıtott szakaszokhoz az ekvivalenciaoszt´alyukat mint vektort rendeli, akkor (X, V,Φ) h´aromdimenzi´os val´os affin t´er.
B´armely r¨ogz´ıtettA∈X-re azXAvektort´er azAkezd˝opont´u helyvek-torok tere.
• Vektort´er term´eszetes affin strukt´ur´aja : HaV tetsz˝oleges vektort´er, ak-kor az X =V halmazon a Φ(x,y) = y−x (x,y ∈V) lek´epez´es affin strukt´ur´at ad meg.
• AzFtest, mint egydimenzi´os vektort´er, az affin egyenes standard p´ el-d´aja (
”sz´amegyenes”). B´armely affin egyenes vektoriz´aci´o, majd a kelet-kez˝o egydimenzi´os vektort´erben b´azis r¨ogz´ıt´ese ´altal azonos´ıthat´oF-fel.
Ez gyakorlatilag a 0 ´es az 1 testelemek kijel¨ol´es´evel egyen´ert´ek˝u.
• Alterek eltoltjai : Ha V tetsz˝oleges alt´er egy W vektort´erben, tov´abb´a v ∈ W tetsz˝oleges r¨ogz´ıtett vektor, akkor az X = V +v halmazon ugyancsak affin strukt´ur´at defini´al a Φ :X×X →V, Φ(x,y) =y−x (x,y∈V +v) lek´epez´es.
• Direkt szorzat : Ha (X1, V1,Φ1) ´es (X2, V2,Φ2) affin terek, akkor (X1×
×X2, V1×V2,Φ1×Φ2) is az.
• Faktort´er : Ha adott az (X, V,Φ) affin t´er ´es aV vektort´er egyW altere, akkor vezess¨uk be azX halmazon azt a∼ekvivalenciarel´aci´ot, amelyn´el azX-beliA´esBpontokraA∼Bpontosan akkor teljes¨ul, ha−−→
Nyilv´anϕ-t azf affin lek´epez´es egy´ertelm˝uen meghat´arozza. Ezt aϕline´ a-ris lek´epez´est az f
”lineariz´altj´anak” (vagy f deriv´altj´anak) nevezhetj¨uk. A tov´abbiakban gyakran alkalmazzukf lineariz´altj´ara azL(f) jel¨ol´est.
Eszrevehetj¨´ uk, hogy ilyenkor b´armely A∈X pont kiv´alaszt´as´aval a XA affin lek´epez´esek al´abbi jellemz´ese.
1.1.4. ´All´ıt´as.Egyf :X →X0 lek´epez´es pontosan akkor affin, ha b´armely (vagy ak´ar csak egyetlen)A∈X-ref :XA→Xf(A)0 line´aris.
1.1.5. ´All´ıt´as.B´armely affin t´er identikus lek´epez´ese ´es b´armely konstans lek´epez´ese affin, affin lek´epez´esek kompoz´ıci´oja affin, bijekt´ıv affin lek´epez´es inverze affin.
1.1.6. Defin´ıci´o (Affin izomorfizmus, affinit´as). A bijekt´ıv affin lek´ e-pez´eseket affin izomorfizmusoknak nevezz¨uk. K´et affin t´er izomorf, ha van k¨oz¨ott¨uk affin izomorfizmus. Egy affin t´er saj´at mag´ara k´epez˝o affin izomor-fizmusait affin automorfizmusoknak, vagy r¨oviden affinit´asoknak nevezz¨uk.
AzX affin t´er affinit´asai a kompoz´ıci´o m˝uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportotX affin csoportj´anak nevezz¨uk ´es Aff (X)-szel jel¨olj¨uk.
Az affinit´as fogalm´anak seg´ıts´eg´evel ism´et k¨or¨ul´ırhatjuk, mi az affin geomet-ria t´argya : azokkal a geometriai fogalmakkal ´es mennyis´egekkel foglalkozik, amelyek affinit´asokkal szemben invari´ansak.
1.1.7. ´All´ıt´as. Tetsz˝oleges (X, V,Φ) affin t´er izomorf a term´eszetes affin strukt´ur´aval ell´atott V vektort´errel.
Bizony´ıt´as : Tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtett P ∈ X ponttal ΦP : X → V affin izo-morfizmus, melyre L(ΦP) = idV, ugyanis minden A, B ∈ X-re Φ(A, B) =
= Φ(A, P) + Φ(P, B) = ΦP(B)−ΦP(A).
L´atjuk teh´at, hogy az affin t´er ´es a vektort´er fogalma nem sokban k¨ul¨onb¨ o-zik ; az elt´er´es l´enyeg´eben csak annyi, hogy az affin t´er eset´eben
”elfelejtj¨uk”, hol van az orig´o. Az affin teret b´armely pontj´anak orig´ok´ent val´o kit¨ unte-t´ese vektort´err´e teszi. Ezt a t´enyt k´es˝obbi sz´amol´asainkban olyan form´aban t¨obbsz¨or is ki fogjuk haszn´alni, hogy b´armely affin t´err˝ol feltehetj¨uk, hogy valamely vektort´erb˝ol keletkezik a term´eszetes affin strukt´ura bevezet´es´evel.
Ebb˝ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik p´eld´aul, hogy k´et (ugyanazon test feletti) affin t´er pontosan akkor izomorf, ha a dimenzi´ojuk egyenl˝o.
Az az elj´ar´as, amelynek sor´an valamely X affin teret egy P ∈X orig´o kiv´ a-laszt´as´aval azXP vektort´errel, majd azon kereszt¨ulV-vel azonos´ıtunk, nem
”term´eszetes”. B´ar ez az elj´ar´as v´egrehajthat´o minden X affin t´erre, a P pont ¨onk´enyes megv´alaszt´as´aval j´ar, amire nincs
”egys´eges”, X-t˝ol f¨uggetlen m´odszer. Ezzel szemben l´atni fogjuk majd a 7. szakaszban, hogy b´armely X affin t´er felfoghat´o ´ugy, mint egy azX-hez term´eszetes m´odon rendelt Xb vektort´erben egy line´aris alt´er eltoltja. Az itt hangs´ulyozott
”term´eszetess´eg”
pontos matematikai jelent´es´et az absztrakt algebra tiszt´azza a kateg´ori´ak ´es a funktorok fogalm´anak seg´ıts´eg´evel.
1.1.8. ´All´ıt´as.L´assuk el aV ´esW vektortereket term´eszetes affin strukt´ u-r´ajukkal. Egyf :V →W lek´epez´es pontosan akkor affin, haf(x) =ϕ(x) +b alak´u, aholϕ:V →W line´aris ´esb∈W.
Bizony´ıt´as : Haf affin, akkor alkalmasϕ(=L(f)) :V →W line´aris lek´ epe-z´essel ϕ(v−u) =f(v)−f(u) mindenu,v ∈V-re ; ekkor u=0, x=v´es b=f(0) v´alaszt´assal ad´odik, hogyf(x) =ϕ(x) +bmindenx∈V-re.
Megford´ıtva, haf a fenti alak´u, akkor aϕ(v−u) = (ϕ(v) +b)−(ϕ(u) + +b) =f(v)−f(u) egyenl˝os´eg mutatja, hogyf affin.
1.1.9. Defin´ıci´o (Affin koordin´atarendszer). Ha X d-dimenzi´os affin t´er az Ftest f¨ol¨ott, akkor X-beli affin koordin´atarendszernek nevez¨unk egy tetsz˝oleges x : X → Fd affin izomorfizmust. Egy affin koordin´atarendszer megad´asa egyen´ert´ek˝u az orig´o kijel¨ol´es´evelX-ben ´es egy b´azis r¨ogz´ıt´es´evel V-ben. Ha r¨ogz´ıtj¨uk az x affin koordin´atarendszert, akkor egy P ∈X pont affin koordin´at´ain azx(P)∈Fd vektor koordin´at´ait ´ertj¨uk.
Ha x´esy k´et affin koordin´atarendszer X-ben, akkor az y◦x−1Fd → Fd lek´epez´es affin izomorfizmus, azaz az 1.1.8. ´All´ıt´as szerint y=Ax+b, ahol
A∈GL(d,F) ´esb∈Fn. (IttGL(d,F) azFf¨ol¨ottid×dm´eret˝u invert´alhat´o m´atrixok csoportj´at jel¨oli.)
1.1.10. P´eld´ak, defin´ıci´ok (Eltol´as, homot´ecia, dilat´aci´o)
• Ha X0 az X affin t´ernek egy W ≤ V alt´er szerinti faktortere, akkor az X → X0 faktoriz´al´o lek´epez´es affin lek´epez´es. Megford´ıtva, ha f : : X → X0 tetsz˝oleges sz¨urjekt´ıv affin lek´epez´es, akkor X0 izomorf X faktor´aval a KerL(f)≤V alt´er szerint.
• f ∈ Aff (X) eltol´as, ha L(f) identikus. Az eltol´asok r´eszcsoportot al-kotnak Aff (X)-ben. Az L : Aff (X) → GL(V) hozz´arendel´es csoport-homomorfizmus (aholGL(V) aV →V invert´alhat´o line´aris lek´epez´esek csoportja) ; az X affin t´er eltol´asainak a csoportja ennek az L homo-morfizmusnak a magja.
A term´eszetes affin strukt´ur´aval ell´atott vektorterek eset´eben az elto-l´asok valamely r¨ogz´ıtett vektor hozz´aad´as´at jelentik. Ebb˝ol r¨ogt¨on l´ at-hat´o, hogy tetsz˝olegesX affin t´er eltol´asainak a csoportja izomorf aV vektort´errel mint addit´ıv csoporttal.
• Adott P ∈ X ´es λ ∈ F∗ (= F− {0}) eset´en P k¨oz´eppont´u, λ ar´ a-ny´u X-beli homot´eci´anak nevezz¨uk azt a HP,λ : X → X lek´epez´est, amelyn´el mindenA ∈ X pontra −−−−−−−→
P HP,λ(A) = λ−→
P A azaz HP,λ(A) =
= Φ−1P (λΦP(A))
. EkkorHP,λ∈Aff (X) ´esL(HP,λ) =λ·idV. Nyilv´an HP,λ◦HP,µ=HP,λµ, azaz a r¨ogz´ıtett k¨oz´eppont´u homot´eci´ak egyF∗ -gal (azFtest multiplikat´ıv csoportj´aval) izomorf r´eszcsoportot alkotnak Aff (X)-ben.
• Dilat´aci´onak nevezz¨uk azokat azf affinit´asokat, amelyekre az L(f) li-ne´aris lek´epez´es egy nemz´erus skal´arral val´o szorz´as. Az X affin t´er dilat´aci´oi r´eszcsoportot alkotnak Aff (X)-ben, hiszen defin´ıci´o szerint a dilat´aci´ok az L−1(F∗idV) halmazt alkotj´ak. Ez r´eszcsoport, mert egy GL(V)-beli r´eszcsoport inverz k´epe azL homomorfizmusn´al.
Mind az eltol´asok, mind a homot´eci´ak egyben dilat´aci´ok is.
Az identikus lek´epez´es egyszerre eltol´as is ´es homot´ecia is (tetsz˝oleges k¨oz´epponttal), ´es csak az identit´as ilyen.
1.1.11. ´All´ıt´as. Ha egy dilat´aci´o k¨ul¨onb¨ozik az identit´ast´ol, akkor vagy el-tol´as, vagy homot´ecia.
Bizony´ıt´as : Legyen f ∈ Aff (X), melyre L(f) = λ·idV, λ 6= 0,1. Azt kell bel´atni, hogy l´etezik olyanP ∈X, hogyf =HP,λ.
Fixpontot keres¨unk f sz´am´ara. Feltehet˝o, hogy X =V a term´eszetes affin strukt´ur´aval, ekkor az 1.1.8. ´All´ıt´as szerint f(x) = ϕ(x) +b alak´u, ahol
mostϕ(x) =L(f)x=λx. Az x=λx+b egyenletnekλ 6= 1 miatt l´etezik megold´asa, m´egpedig ap=b/(1−λ) vektor, amely azf(egyetlen) fixpontja.
Ezzelf(x) =λx+b=p+λ(x−p), azazf =Hp,λ.
1.1.12. K¨ovetkezm´eny.A kompoz´ıci´o m˝uvelete nem vezet ki a homot´eci´ak
´es eltol´asok alkotta halmazb´ol.
Megjegyz´es. Az elemi geometri´ab´ol ismert euklideszi s´ıkot k´etf´elek´eppen is lehet az affin geometria keretei k¨oz´e illeszteni : tekinthetj¨uk val´os affin s´ıknak is ´es komplex affin egyenesnek is. A k¨ul¨onbs´eg j´ol l´atszik p´eld´aul abban, hogy a homot´eci´ak m´ast jelentenek a k´etf´ele felfog´asban : a val´os esetben k¨oz´eppontos nagy´ıt´ast, a komplex esetben pedig forgatva ny´ujt´ast.