Euklideszi terek ´ es izometri´ ak

4.2.1. Defin´ıci´o (Euklideszi affin t´er). Az (E, V,Φ) v´eges dimenzi´os va-l´os affin teret euklideszi affin t´ernek (vagy r¨ovidebben csak euklideszi t´ernek) nevezz¨uk, ha V euklideszi vektort´er, azaz ha V-n adott egy pozit´ıv definit szimmetrikus biline´aris f¨uggv´eny, amelyet V-beli skal´aris szorzatnak neve-z¨unk.

Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert a t´er jel¨ol´es´eben nem t¨untetj¨uk f¨ol a skal´aris szor-zatot, mint a strukt´ura alkot´oelem´et, hanem azt bele´ertj¨uk a V jel¨ol´esbe.

Gyakran mag´at az E alaphalmazt nevezz¨uk euklideszi t´ernek, ha egy´ ertel-m˝u, hogy mely strukt´ur´aval van ell´atva.

4.2.2. P´elda.Ha az axiomatikusan ´ertelmezett klasszikus euklideszi teret a geometriai ´uton defini´alt skal´aris szorz´assal l´atjuk el, akkor h´aromdimenzi´os p´eld´at kapunk euklideszi affin t´erre.

4.2.3. Defin´ıci´o (Ortonorm´alt koordin´atarendszer). Legyen x : E → R^d affin koordin´atarendszer E-ben. Tekints¨uk az e₁, e₂, . . ., e_d standard b´azisvektorokatR^d-ben ´es ´all´ıtsuk el˝o azA₀=x⁻¹(0) ´esA_i =x⁻¹(e_i) (i=

= 1, . . . , d) inverz k´epeket. Azt mondjuk, hogyxortonorm´alt (vagy Descartes-f´ele) koordin´atarendszerE-ben, ha az −−−→

A0A1, −−−→

A0A2, . . ., −−−→

A0Ad vektorok or-tonorm´alt b´azist alkotnak aV vektort´erben.

Tudjuk (l. 4.1.5), hogy k´et egyenl˝o dimenzi´oj´u euklideszi vektort´er k¨oz¨ott egy line´aris lek´epez´es pontosan akkor skal´arisszorzat-tart´o, ha b´armely (vagy egyen´ert´ek˝u m´odon legal´abb egy) ortonorm´alt b´azist ortonorm´alt b´azisba k´epez. Ennek alapj´an valamelyx:E→R^d affin koordin´atarendszer ponto-san akkor ortonorm´alt, ha az xaffin lek´epez´esL(x) :V →R^d lineariz´altja skal´arisszorzat-tart´o.

4.2.4. Defin´ıci´o (Izomorfizmus). K´et euklideszi teret izomorfnak neve-z¨unk, ha l´etezik k¨oz¨ott¨uk olyan affin izomorfizmus, amelynek a lineariz´altja skal´arisszorzat-tart´o.

B´armelyd-dimenzi´os euklideszi t´er izomorf a term´eszetes affin strukt´ur´aval ´es skal´aris szorzattal ell´atottR^d koordin´atat´errel (azaz a standardd-dimenzi´os euklideszi vektort´errel) ; az izomorfizmust egy ortonorm´alt koordin´ atarend-szer felv´etele szolg´altatja.

4.2.5. Defin´ıci´o (Az euklideszi t´er metrik´aja). Ertelmezz¨´ uk A, B ∈

∈E-re A ´es B t´avols´ag´at aρ(A, B) = k−−→

ABk = p−−→ AB·−−→

AB formul´aval. Az R^d standard euklideszi t´erben koordin´at´akkal kifejezve ezt a t´avols´agot a szok´asos

ρ(x,y) =p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)²+. . .+ (x_d−y_d)²

k´eplet adja meg.

Aρt´avols´agf¨uggv´eny azE euklideszi teret metrikus t´err´e teszi (´es ez a met-rika a t´er term´eszetes topol´ogi´aj´at sz´armaztatja, l. 1.8.15). A h´aromsz¨ og-egyenl˝otlens´eg ´es annak az al´abbi szigor´u v´altozata is a Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik Descartes-f´ele koordin´at´akat haszn´alva.

4.2.6. ´All´ıt´as. ρ(A, B) +ρ(B, C) ≥ ρ(A, C). Egyenl˝os´eg csak B ∈ [A, C]

eset´en ´all f¨onn.

4.2.7. Defin´ıci´o (Izometria, izometriacsoport). Legyenek (X, ρ) ´es (X⁰, ρ⁰) metrikus terek. Egy f :X →X⁰ lek´epez´est izometri´anak nevez¨unk X ´esX⁰ k¨oz¨ott, ha bijekt´ıv ´es minden x, y ∈X-re ρ⁰ f(x), f(y)

=ρ(x, y) teljes¨ul, azazf t´avols´agtart´o. K´et metrikus t´er izometrikus, ha l´etezik k¨oz¨ ot-t¨uk izometria. P´eld´aul a d-dimenzi´os euklideszi t´er izometrikus a standard metrik´aval ell´atott R^d t´errel (hiszen az ortonorm´alt koordin´atarendszerek izometri´ak). Ez´ertR^d metrikus tulajdons´agai ´at¨or¨okl˝odnek az euklideszi te-rekre ; ´ıgy p´eld´aul b´armely euklideszi t´er teljes metrikus t´er.

Ha X r¨ogz´ıtett metrikus t´er, akkor az X-et saj´at mag´aba k´epez˝o izomet-ri´ak csoportot alkotnak a kompoz´ıci´o m˝uvelet´ere n´ezve. Ezt a csoportot X izometriacsoportj´anak nevezz¨uk ´esI(X)-szel jel¨olj¨uk.

Az euklideszi terekkel kapcsolatos vizsg´alataink egy r´esze az I(E) csoport megismer´es´ere ir´anyul, aholEeuklideszi t´er. Az euklideszi terek k¨oz¨otti izo-metri´akat egybev´ag´os´agoknak vagy egybev´ag´os´agi transzform´aci´oknak is ne-vezz¨uk. AzI(E) csoport teh´at az E euklideszi t´er egybev´ag´os´againak a cso-portja. K´et euklideszi t´erben fekv˝o ponthalmazt egybev´ag´onak mondunk, ha l´etezik olyan egybev´ag´os´ag a befoglal´o terek k¨oz¨ott, amely az egyiket a m´ a-sikra k´epezi.

R´at´er¨unk az I(E) csoport r´eszletes vizsg´alat´ara. P´eldak´ent el˝osz¨or az eukli-deszi izometri´ak k´et konkr´et t´ıpus´at tekintj¨uk.

4.2.8. P´elda (Eltol´asok). Legyen t : E → E tetsz˝oleges eltol´as, azaz olyan t ∈ Aff (E), amelyre L(t) = idV. Ekkor A, B ∈ E-re ρ(t(A), t(B)) =

=k−−−−−−→

t(A)t(B)k =kL(t)(−−→

AB)k=k−−→

ABk=ρ(A, B) mutatja, hogy tizometria.

Tudjuk (m´ar az affin terek elm´elet´eb˝ol), hogy az eltol´asok egy aV vektort´er addit´ıv csoportj´aval izomorf r´eszcsoportot alkotnak Aff (E)-ben, ´ıgyI(E)-ben is.

4.2.9. P´elda (Ortogon´alis izometri´ak). V´alasszunk az E euklideszi af-fin t´erben egy tetsz˝oleges O ∈ E kezd˝opontot, ´es ez´altal (az affin geomet-ri´ab´ol megismert

”vektoriz´al´as” ´utj´an) azonos´ıtsuk E-t az E_O vektort´errel, illetve mag´aval V-vel. Ha f ∈ O(V) tetsz˝oleges ortogon´alis line´aris transz-form´aci´o, akkorA, B ∈E-re ρ(f(A), f(B)) =k−−−−−−→

f(A)f(B)k=kL(f)(−−→ AB)k=

=kf(−−→

AB)k=k−−→

ABk=ρ(A, B) mutatja, hogyf izometria.

Mind a 4.2.8-beli, mind a 4.2.9-beli p´eld´ak olyan izometri´ak, amelyek egy´uttal affin transzform´aci´ok azE euklideszi t´erben. Ezek felhaszn´al´as´aval k¨onnyen meggondolhat´o p´eld´aul, hogy E-ben b´armely k´et egyenl˝o dimenzi´oj´u affin alt´er egybev´ag´o.

Az al´abbi t´etel a line´aris algebra nyelv´en jellemziE izometri´ait, ´es a f˝o tar-talma az, hogyE b´armely izometri´aja affinit´as.

4.2.10. T´etel. Egy euklideszi t´er izometri´ai pontosan azok az affinit´asok, amelyeknek a lineariz´altja ortogon´alis.

Bizony´ıt´as : Tegy¨uk f¨ol el˝osz¨or, hogy f ∈ Aff (E) ´es L(f) ∈ O(V). Egy E-beli ortonorm´alt koordin´atarendszer kiv´alaszt´as´aval feltehet˝o, hogyE=R^d. Miut´anf affinit´as,f(x) =Ax+b (x∈R^d) alakban ´ırhat´o, aholA=L(f)∈

∈O(d) ´esb∈R^d. Ekkorf azA ´altal l´etes´ıtett ortogon´alis izometria ´es a b vektorral t¨ort´en˝o eltol´as kompoz´ıci´oja, teh´at f izometria.

A ford´ıtott ir´any bizony´ıt´as´ahoz legyen adott az f ∈ I(E) izometria. V´ a-lasszunk E-ben egy tetsz˝oleges A0 ∈ E kezd˝opontot ´es jel¨olj¨uk t-vel az

−−−−−→

f(A0)A0 vektorral t¨ort´en˝o eltol´ast. Ekkor ag =t◦f izometri´anak A0 fix-pontja. Azt akarjuk bel´atni, hogyg∈O(EA₀).

V´alasszunkE-ben egyA0kezd˝opont´u ortonorm´alt koordin´atarendszert, azaz az A1, A2, . . ., Ad pontokat ´ugy, hogy az −−−→

A0Bd vektorok is ortonorm´alt b´azist al-kotnakV-ben. Ehhez azt tudjuk kihaszn´alni, hogy k´et egys´egvektor pontosan akkor mer˝oleges, ha k¨oz¨os kezd˝opont´u reprezent´ansaik v´egpontjai egym´ as-t´ol √

2 t´avol vannak. Val´oban,g t´avols´agtart´o volta miatt egyr´eszt minden i-re ρ(A₀, B_i) = ρ(g(A₀), g(A_i)) = ρ(A₀, A_i) = 1, m´asr´eszt i 6= j eset´en ρ(B_i, B_j) =ρ(g(A_i), g(A_j)) =ρ(A_i, A_j) =√

2.

L´etezik teh´at olyanh∈O(E_A0) ortogon´alis line´aris transzform´aci´o, amely az ut´obbi ortonorm´alt b´azist az el˝obbibe viszi. Ekkorh∈I(E) olyan izometria, amelyre h(A0) = A0 ´es h(Bi) = Ai (i = 1, . . . , d). ´All´ıtjuk, hogy h◦g =

=idE. Innen m´ar val´oban k¨ovetkezik, hogygortogon´alis izometria (hiszen a hortogon´alis izometria inverze), tov´abb´a innen a t´etel ´all´ıt´asa is k¨ovetkezik, hiszen f = t⁻¹◦g affinit´as, amelynek (az EA0 = V azonos´ıt´as ut´an) g a lineariz´altja.

A j =h◦g ∈ I(E) izometri´araj(A_i) =A_i (i = 0,1, . . . , d) teljes¨ul, azaz j egyE-beli affin b´azis minden pontj´at helyben hagyja. Ekkor az al´abbi lemma szerint j csak az identikus lek´epez´es lehet. A lemm´at felhaszn´alva teh´at a t´etelt bebizony´ıtottuk.

4.2.11. Lemma. Tegy¨uk fel, hogy az E euklideszi t´er valamely j ∈ I(E) izometri´aja fixen hagy egyE-beli affin b´azist. Ekkorj=id_E.

Bizony´ıt´as : Miut´an valamely pontnak ´es e pont j-k´ep´enek a fixen marad´o pontokt´ol m´ert t´avols´agai rendre egyenl˝ok, tulajdonk´eppen azt kell bebizo-ny´ıtanunk, hogy a t´er b´armely pontj´at egy r¨ogz´ıtett affin b´azis elemeit˝ol m´ert t´avols´againak a rendszere egy´ertelm˝uen meghat´arozza.

A koordin´atarendszer alkalmas megv´alaszt´as´aval feltehetj¨uk, hogy E =R^d

´es a sz´oban forg´o affin b´azis az orig´ot tartalmazza ; ´alljon teh´at az affin b´azis aza0, a1, . . ., ad pontokb´ol, ahola0 =0. Tegy¨uk fel, hogy valamelyx,y∈

∈ R^d-re ρ(x,ai) = ρ(y,ai) (i = 0, . . . , d). Az i = 0 esetben ez azt jelenti, hogy kxk =kyk, i >0-ra pedig kx−aik =ky−aik. N´egyzetre emelve ´es

´

atrendezve

(x−ai)·(x−ai) = (y−ai)·(y−ai) kxk²−2x·ai+kaik² = kyk²−2y·ai+kaik²

x·a_i = y·a_i (x−y)·ai = 0

ad´odik mindeni= 1,2, . . . , d-re. Eszerint azx−yvektor mer˝oleges egy b´azis minden elem´ere aV euklideszi vektort´erben, ´ıgy csak0lehet.

4.2.12. K¨ovetkezm´eny.AzEeuklideszi t´er eltol´asai norm´aloszt´ot alkotnak az I(E) csoportban, amely szerint vett faktorcsoport az O(V) ortogon´alis csoporttal izomorf.

Bizony´ıt´as : Val´oban, az L : Aff (E) → GL(V) lineariz´al´o homomorfizmust azI(E) r´eszcsoportra megszor´ıtva sz¨urjekt´ıvI(E)→O(V) homomorfizmust kapunk, amelynek a magja az eltol´asokb´ol ´all.

4.2.13. Defin´ıci´o (Szemidirekt kieg´esz´ıt˝o, szemidirekt szorzat). Te-gy¨uk fel, hogyN norm´aloszt´o aGcsoportban. Azt mondjuk, hogy aH ≤G r´eszcsoport az N egy szemidirekt kieg´esz´ıt˝oje, ha N ∩H = {1} ´es N H =

=G. IlyenkorG-t azN ´es aH szemidirekt szorzat´anak nevezz¨uk ´es erre a G=N oH jel¨ol´est haszn´aljuk. (K¨onnyen l´athat´o, hogy a direkt kieg´esz´ıt˝o, illetve a direkt szorzat fogalm´at kapjuk abban a speci´alis esetben, amikorH is norm´aloszt´o.)

Megjegyezz¨uk, hogy – a direkt szorzat eset´et˝ol elt´er˝oen – a szemidirekt szorza-tot azN ´esH ¨onmagukban nem hat´arozz´ak meg egy´ertelm˝uen ; ugyanabb´ol az N-b˝ol ´es H-b´ol ´altal´aban t¨obbf´ele, egym´assal nem izomorf szemidirekt szorzatot lehet el˝o´all´ıtani. Ezek egyike a direkt szorzat.

4.2.14. K¨ovetkezm´eny. Az I(E) csoportban az eltol´asok norm´aloszt´oj´ a-nak l´etezik szemidirekt kieg´esz´ıt˝oje, amely az O(V) ortogon´alis csoporttal izomorf.

Bizony´ıt´as : Val´oban, tetsz˝oleges O ∈ E pont r¨ogz´ıt´es´evel kijel¨olhetj¨uk az O(EO)≤I(E) r´eszcsoportot, amelyetLizomorfan k´epezO(V)-re. AzO(EO) r´eszcsoport nyilv´an csak a trivi´alis eltol´ast tartalmazza, tov´abb´a a 4.2.10. T´ e-tel alapj´an b´armely izometria egyO(EO)-beli elem ´es egy eltol´as

kompoz´ıci-´ oja.

Megjegyz´esek. (1) L´athat´o, hogy b´armelyikO ∈E pont kiszemel´es´evel egy-ar´ant szemidirekt kieg´esz´ıt˝oh¨oz jutunk, azaz nincsen egy´ertelm˝u

”term´ esze-tes” v´alaszt´as a kieg´esz´ıt˝o r´eszcsoport konkr´et megad´asakor. Ez a jelens´eg szoros ¨osszhangban van azzal, hogy a kieg´esz´ıt˝o nem norm´aloszt´o, hanem csak r´eszcsoport. K¨onnyen meggondolhat´o ugyanis, hogy az O(EO) alak´u r´eszcsoportok mind egym´as konjug´altjai azI(E) csoportban.

(2) ´Erdemes felt´erk´epezni azI(E) csoport szerkezet´et egy ilyen szemidirekt felbont´as seg´ıts´eg´evel. Legyen E = R^d ´es O = 0az orig´o. Ekkor I(R^d) =

=R^doO(d) ´es b´armely f ∈ I(R^d) izometria egy´ertelm˝uen ´ırhat´o f(x) =

= Ax+b alakban, ahol A ∈ O(d) ´es b ∈ R^d. Feleltess¨uk meg f-nek az (A,b) p´art, ez´altal bijekt´ıv kapcsolatot l´etes´ıtett¨unk I(R^d) ´es az O(d)×

×R^d szorzat k¨oz¨ott. (Az ut´obbit nem csoportok direkt szorzatak´ent, hanem csak a k´et halmaz Descartes-szorzatak´ent fogjuk fel.) Ennek a bijekci´onak az ´utj´an az I(R^d)-beli csoportstrukt´ura az O(d)×R^d szorzatot csoportt´a teszi. Meghat´arozzuk a szorz´as m˝uvelet´et, azaz (A1,b1), (A2,b2)∈ O(d)×

×R^d eset´en az (A₁,b₁)·(A₂,b₂) szorzat komponenseit. Legyenekf₁´esf₂ a megfelel˝o izometri´ak, ekkor

(f₁◦f₂)(x) =A₁(A₂x+b₂) +b₁=A₁A₂x+A₁b₂+b₁,

vagyis (A₁,b₁)·(A₂,b₂) = (A₁A₂,b₁+A₁b₂). L´atszik, hogy a m´asodik komponensben megjelen˝oA₁szerepe miatt ez a csoportm˝uvelet elt´er a direkt szorzatban haszn´alatos m˝uvelett˝ol.

4.2.15. P´eld´ak.T¨obb, az algebrai vagy geometriai tanulm´anyainkb´ol ismert csoport ad tov´abbi p´eld´akat szemidirekt szorzatra : a D_n =Z_noZ₂ di´ eder-csoport, azS_n=A_noZ₂ szimmetrikus csoport, b´armely (X, V,Φ) affin t´er eset´en az Aff (X) = V oGL(V) affin csoport, az O(d) = SO(d)oZ2 or-togon´alis csoport (l. 4.5.2). A 4.2.10. T´etel k¨ovetkezm´enyek´ent besz´elhet¨unk az E euklideszi t´er ir´any´ıt´astart´o izometri´ainak I⁺(E) = I(E)∩Aff⁺(E) csoportj´ar´ol ; nyilv´an b´armelyX v´eges dimenzi´os val´os affin t´erre Aff⁺(X) =

= V oGL⁺(V) ´es b´armely E euklideszi t´erre I⁺(E) = V oSO(V), ahol GL⁺(V) a pozit´ıv determin´ans´u V → V line´aris lek´epez´esek csoportja, az SO(V) =O(V)∩GL⁺(V) csoport pedig a V euklideszi vektort´er ir´any´ıt´ as-tart´o ortogon´alis transzform´aci´oib´ol ´all.

4.3. Alterek, mer˝ olegess´ eg, sz¨ og, t¨ ukr¨ oz´ esek

B´armely euklideszi affin t´erben b´armely affin alt´er maga is euklideszi t´err´e v´alik a skal´aris szorzat lesz˝uk´ıt´ese ´utj´an.

4.3.1. Defin´ıci´o (Ortogon´alis komplementer). Legyen S affin alt´er az E euklideszi t´erben, ´es legyen U = −→

S ≤ V. Az U line´aris alt´ernek a V euklideszi vektort´erben k´epezettU^⊥komplementer´et azS ortogon´alis komp-lementer´enek nevezz¨uk, ´es a tov´abbiakban erre is azS^⊥ jel¨ol´est haszn´aljuk.

Nyilv´anval´oan ´erv´enyes az (S^⊥)^⊥=U egyenl˝os´eg.

Vegy¨uk ´eszre, hogy euklideszi t´erben egy alt´er ortogon´alis komplementere nem valamely j´ol meghat´arozott alt´er ugyanabban a t´erben, hanem csak al-terek egy p´arhuzamoss´agi oszt´aly´anak felel meg. Ha az ortogon´alis komple-mentert mint egyetlen konkr´et alteret k´ıv´anjuk megadni, akkor az eddigieken t´ulmen˝oen m´eg legal´abb egy pontj´at is el˝o kell ´ırnunk.

HaE1´esE2 euklideszi terek, akkor aV1´esV2euklideszi vektorterekV orto-gon´alis direkt ¨osszege euklideszi t´err´e teszi azE=E1×E2 direkt szorzatot.

Ekkor tetsz˝oleges A₁ ∈ E₁ ´es A₂ ∈ E₂ pontokat kiszemelve E₁× {A2} ´es {A1} ×E₂ortogon´alis komplementer ir´any´u affin alterekE-ben.

4.3.2. Defin´ıci´o (Ir´anyvektor, norm´alvektor).HaL⊆Eegyenes, akkor az egydimenzi´os −→

L ⊂ V line´aris alt´er tetsz˝oleges gener´atorelem´et L ir´ any-vektor´anak nevezz¨uk. Ha pedigH ⊂E hipers´ık, akkorH norm´alvektor´an az egydimenzi´os H^⊥⊂V line´aris alt´er tetsz˝olegesugener´atorelem´et (azazH^⊥ ir´anyvektor´at) ´ertj¨uk. Hakuk= 1, akkor norm´alis egys´egvektorr´ol besz´el¨unk.

Tegy¨uk fel, hogy H valamely s ∈ E^• affin forma z´er´ohalmazak´ent ´all el˝o.

Vegy¨unk fel E-ben egy ortonorm´alt koordin´atarendszert, ekkors az s(x) =

=a₁x₁+. . .+a_dx_d+balakban ´ırhat´o (azaz aH hipers´ık egyenletea₁x₁+ +. . .+a_dx_d+b= 0). Ekkor azu= (a₁, . . . , a_d) vektorH-nak norm´alvektora.

4.3.3. Defin´ıci´o (Ortogon´alis vet´ıt´es, ortogon´alis szimmetria). Le-gyenS⊆Eaffin alt´er, amelynek azU line´aris alt´er az ir´anya, azazU =−→

S ≤

≤V. AzSalt´erre t¨ort´en˝o ortogon´alis vet´ıt´esnek (vagy mer˝oleges vet´ıt´esnek) nevezz¨uk azU^⊥ ir´any´u p:E→S affin vet´ıt´est.

AzSalt´erre vonatkoz´o ortogon´alis szimmetri´anak nevezz¨uk azU^⊥ir´any´uσS : : E → E affin szimmetri´at. Egy S-ben felvett orig´oval t¨ort´en˝o vektoriz´al´as

´

utj´an r¨ogt¨on l´athat´o, hogyσS∈I(E). Nyilv´anσ_S² =idE.

Az al´abbi ´all´ıt´as az ortogon´alis vet´ıt´es fontos t´avols´aggeometriai jellemz´es´et mondja ki, bizony´ıt´as´ahoz csak annyit kell felid´ezni, hogy der´eksz¨og˝u h´ arom-sz¨ogben az ´atfog´o hosszabb a befog´okn´al.

4.3.4. ´All´ıt´as. Legyen S ⊆E affin alt´er ´es legyen B =p(A) ∈ S az A ∈

∈E pont ortogon´alis vet¨ulete S-en. Ekkor b´armely C ∈ S, C 6= B pontra ρ(A, B)< ρ(A, C). Teh´atBaz egyetlen olyanS-beli pont, amelyreρ(A, S) =

=ρ(A, B).

4.3.5. Defin´ıci´o (Egyenes ´es affin alt´er mer˝olegess´ege, sz¨oge).Legyen L ⊂ E egyenes, S ⊂ E affin alt´er, dimS ≥ 1. Azt mondjuk, hogy L ´es teljes¨ul. K´et egyenes nyilv´an akkor ´es csak akkor mer˝oleges, hav₁, illetvev₂ ir´anyvektoraikrav₁v₂= 0.

AzE-beliL1´esL2egyenesek^(L1, L2) sz¨og´en az ir´anyvektoraik ´altal bez´art k´et lehets´eges (egym´ast π-re kieg´esz´ıt˝o) sz¨og k¨oz¨ul a nem nagyobbat ´ertj¨uk.

K´et egyenes pontosan akkor p´arhuzamos, ha a sz¨og¨uk 0, ´es pontosan akkor mer˝oleges, ha a sz¨og¨ukπ/2.

LegyenL ⊂ E egyenes, S ⊂E affin alt´er, dimS ≥ 1. ´Ertelmezz¨uk L ´esS sz¨og´et a k¨ovetkez˝o m´odon. HaL⊥S, akkor ^(L, S) =π/2. Ha L´esS nem mer˝oleges, akkor azS-re t¨ort´en˝o ortogon´alis vet´ıt´esn´elLk´epe egyL⁰egyenes,

´ıgyL´esS sz¨og´et defini´alhatjuk az^(L, S) =^(L, L⁰) egyenl˝os´eggel.

Az al´abbi ´all´ıt´as tekinthet˝o a 4.3.4. ´All´ıt´as sz¨ogekre vonatkoz´o analogonj´anak.

4.3.6. ´All´ıt´as.LegyenL ⊂E egyenes, S ⊂E affin alt´er. HaL⊥S, akkor Lmer˝oleges az ¨osszesS-ben fekv˝o egyenesre, ha pedigLnem mer˝olegesS-re

´es M olyan S-ben fekv˝o egyenes, amely nem p´arhuzamos L-nek az S-beli vet¨ulet´evel, akkor ^(L, S)<^(L, M).

Bizony´ıt´as : A mer˝olegess´eg esete mag´at´ol ´ertet˝od˝o. Egy´ebk´ent pedig szor´ıt-kozhatunk V-nek arra a h´aromdimenzi´os alter´ere, amelyet az L-hez, az L vet¨ulet´ehez ´es az M-hez v´alasztott ir´anyvektorok fesz´ıtenek ki. Ezeket az ir´anyvektorokat v´alaszthatjuk olyan m´odon, hogy p´aronk´ent legfeljebb de-r´eksz¨oget z´arjanak be. A sz´oban forg´o h´aromdimenzi´os alt´ernek az egys´ eg-g¨ombj´en az ir´anyvektorok der´eksz¨og˝u g¨ombh´aromsz¨oget jel¨olnek ki. A g¨ombi szinuszt´etelb˝ol egyszer˝uen k¨ovetkezik, hogy b´armely olyan der´eksz¨og˝u g¨ omb-h´aromsz¨ogben, amelynek az oldalai legfeljebb π/2 hossz´us´ag´uak, az ´atfog´o hosszabb b´armelyik befog´oj´an´al. Ez ´eppen a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eget jelenti.

Megjegyz´esek. (1) Az alterek (vagy vektorok) viszony´ara vonatkoztatva az

”ortogon´alis” ´es a

”mer˝oleges” jelz˝oket egym´as szinonim´aik´ent haszn´alhatjuk.

(2) A mer˝olegess´eg ´es a sz¨og fenti defin´ıci´oj´aban k¨oz¨omb¨os, hogy a sz´oban forg´o k´et alt´er metszi-e egym´ast. A sz¨og nyilv´an v´altozatlan marad, ha a k´et alteret (nem felt´etlen¨ul egyenl˝o vektorokkal vett) eltoltjaikkal helyettes´ıtj¨uk.

(3) Ugyanezzel a m´odszerrel egyenes ´es affin alt´er helyett k´et tetsz˝oleges affin alt´er eset´ere is ´ertelmezhetn´enk a mer˝olegess´eg fogalm´at. Ezzel az ´un. tot´ ali-san mer˝oleges alterek defin´ıci´oj´at kapn´ank, ami nem egyezik meg mindenben a mer˝olegess´egr˝ol alkotott intuit´ıv k´ep¨unkkel (p´eld´aul h´aromdimenzi´os t´ er-ben k´et s´ık nem lehetne mer˝oleges).

(4) K´et tetsz˝oleges affin alt´er eset´eben a k¨ozt¨uk fell´ep˝o sz¨og fogalm´an nem puszt´an egyetlen sz´amszer˝u mennyis´eget szok´as ´erteni ; a pontos defin´ıci´ot´ol itt eltekint¨unk. C´eljainknak megfelel a sz¨og fogalm´anak bevezet´ese azokban a speci´alis esetekben, amikor a k´et affin alt´er egyike egyenes, vagy pedig mindkett˝o hipers´ık.

4.3.7. Defin´ıci´o (Affin alt´er ´es hipers´ık mer˝olegess´ege, k´et hipers´ık sz¨oge).Legyend≥2 ´es legyenekH₁´esH₂hipers´ıkokE-ben. Azt mondjuk, hogy H₁ ´es H₂ mer˝oleges hipers´ıkok (jelben H₁ ⊥ H₂), ha a V euklideszi vektort´erben −→

H₁^⊥ ≤ −→

H₂ (illetve ezzel egyen´ert´ek˝u m´odon, ha −→

H₂^⊥ ≤ −→ H₁) teljes¨ul.

Ezt a defin´ıci´ot k´ezenfekv˝o m´odon ki lehet terjeszteni tetsz˝oleges affin alt´er

´es hipers´ık eset´ere : azSaffin alt´er mer˝oleges aH hipers´ıkra (jelbenS⊥H), ha−→

H^⊥ ≤−→ S.

Ha H1, H2 ⊂ E tetsz˝oleges hipers´ıkok, v´alasszunk tetsz˝oleges L1, L2 ⊂ E ortogon´alis komplementer egyeneseket H1-hez, illetve H2-h¨oz. Ezekre L1 ⊥

⊥L2pontosan akkor ´all f¨onn, haH1⊥H2. ´Altal´aban pedig ´ertelmezz¨ukH1

´esH2 sz¨og´et a ^(H1, H2) = ^(L1, L2) egyenl˝os´eggel. K´et hipers´ık nyilv´an akkor ´es csak akkor mer˝oleges, hau₁´esu₂norm´alvektoraikrau₁u₂= 0.

Ugyanezt a^(H1, H2) sz¨oget a k¨ovetkez˝ok´eppen is lehet ´ertelmezni. HaH1k kH2, akkor^(H1, H2) = 0. Egy´ebk´ent v´alasszunkM1, illetveM2ortogon´alis komplementer altereket aH1∩H2alt´er sz´am´ara aH1, illetve aH2alt´erben.

Ekkor dimM1 = dimM2 = 1 ´es ^(H1, H2) az M1 ´es M2 egyenesek sz¨ o-g´evel egyenl˝o. (Ez r¨ogt¨on l´atszik p´eld´aul a H1∩H2 alt´er E-re vonatkoz´o (2-dimenzi´os) ortogon´alis komplementer´ere t¨ort´en˝o ortogon´alis vet´ıt´es seg´ıt-s´eg´evel.)

4.3.8. ´All´ıt´as.Az euklideszi t´er b´armely izometri´aja meg˝orzi a 4.3.5-ben ´es 4.3.7-ben defini´alt sz¨ogeket.

Bizony´ıt´as : Az izometri´ak lineariz´altja ortogon´alis, teh´at vektorok sz¨og´et megtartja. Ez´ert az ´all´ıt´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy a sz´oban forg´o sz¨ o-geket vektorok sz¨og´en kereszt¨ul defini´altuk.

4.3.9. Defin´ıci´o (T¨ukr¨oz´es, line´aris t¨ukr¨oz´es).HaH ⊆E affin hipers´ık E-ben, akkor aσ_H ortogon´alis szimmetri´at (l. 4.3.3) H-ra vonatkoz´o t¨ukr¨ o-z´esnek nevezz¨uk. Aσ_H t¨ukr¨oz´est line´aris t¨ukr¨oz´esnek mondjuk, haE=V ´es 0∈H.

R¨ogz´ıtett H mellett σH az egyetlen olyan nem-identikus izometria E-ben, amely a H hipers´ıkot pontonk´ent fixen hagyja. Ez abb´ol l´athat´o, hogy egy ilyen izometria lineariz´altj´anak aH^⊥egydimenzi´os alteret kell ortogon´alisan

¨onmag´ara k´epeznie.

Megjegyz´es.A szakirodalomban el˝ofordul, hogy t¨ukr¨oz´esnek nevezik aσS or-togon´alis szimmetri´at tetsz˝oleges S affin alt´er (nem csak hipers´ık) eset´eben.

Mi a t¨ukr¨oz´es sz´ot fenntartjuk a hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ukr¨oz´es megnevez´ e-s´ere. Ez al´ol kiv´etelt csak a k´et- ´es h´aromdimenzi´os geometri´aban tesz¨unk, ahol hagyom´anyosan k¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´esnek nevezik az egypont´u alt´erre vonatkoz´o affin szimmetri´at.

4.3.10. P´elda. HaH line´aris hipers´ık aV euklideszi vektort´erben ´esu nor-m´alis egys´egvektor H sz´am´ara (azaz H = u^⊥ ´es kuk = 1), akkor a σ_H lek´epez´est a

σH(x) =x−2(ux)u (x∈V)

formula adja meg. Ez r¨ogt¨on l´athat´o abb´ol, hogy az (ux)uvektor azx vektor-nak aH hipers´ıkra mer˝oleges komponense. A formula seg´ıts´eg´evel k¨ozvetlen sz´amol´assal is k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogyσ_Hmeg˝orzi a vektorok skal´arn´ egy-zet´et, ahonnan 4.1.6 alapj´anσH∈O(V) k¨ovetkezik.

4.3.11. ´All´ıt´as.AzI(E)csoportban

(1) b´armely t¨ukr¨oz´esnek b´armely csoportelemmel vett konjug´altja szint´en t¨ukr¨oz´es, tov´abb´a

(2) b´armely k´et t¨ukr¨oz´es konjug´alt ; pontosabban, haH₁, H₂⊂E hipers´ı-kok ´es azf ∈I(E)izometri´an´alf(H₁) =H₂, akkorσ_H2 =f◦σ_H1◦f⁻¹. Bizony´ıt´as : (1) : Legyen H tetsz˝oleges hipers´ık E-ben, ´es tekints¨uk az f ◦

◦σH◦f⁻¹izometri´at, aholf ∈I(E) tetsz˝oleges. Ez az izometria pontonk´ent fixen hagyja azf(H) hipers´ıkot, ´es nyilv´an k¨ul¨onb¨ozik az identit´ast´ol, ez´ert a 4.3.9. Defin´ıci´ot k¨ovet˝o ´eszrev´etel szerint aσf(H) t¨ukr¨oz´essel azonos.

(2) : Az (1) ´all´ıt´as bizony´ıt´asa egy´uttal (2)-t is adja.

Ennek a szakasznak a h´atralev˝o r´esz´eben megmutatjuk, hogy a t¨ukr¨oz´esek gener´atorrendszert alkotnak azI(E) csoportban (l. 4.3.15). Ehhez el˝osz¨or egy elemi geometri´ab´ol ismer˝os konstrukci´ot ´altal´anos´ıtunk, ami maga ut´an vonja elegend˝oen sok t¨ukr¨oz´es l´etez´es´et.

Ennek a szakasznak a h´atralev˝o r´esz´eben megmutatjuk, hogy a t¨ukr¨oz´esek gener´atorrendszert alkotnak azI(E) csoportban (l. 4.3.15). Ehhez el˝osz¨or egy elemi geometri´ab´ol ismer˝os konstrukci´ot ´altal´anos´ıtunk, ami maga ut´an vonja elegend˝oen sok t¨ukr¨oz´es l´etez´es´et.

In document Geometria (Pldal 116-126)