3. Konvex poli´ ederek ´ es polit´ opok
3.1. Konvex poli´ ederek ´ es lapjaik
3.1.1. Defin´ıci´o (Konvex poli´eder).AP ⊆Xhalmazt konvex poli´edernek nevezz¨uk, ha el˝o´all´ıthat´o v´eges sokX-beli z´art f´elt´er metszetek´ent.
Egy P ⊆ X r´eszhalmaz nyilv´an akkor ´es csak akkor konvex poli´eder, ha l´eteznek s1, s2, . . ., sn ∈ X• affin form´ak ´ugy, hogy P = Tn
i=1{A ∈ X : :si(A)≥0}.
3.1.2. P´eld´ak
• Nyilv´an∅, az eg´eszX (mint f´elterek ¨ures rendszer´enek a metszete), ´es b´armely X-beli affin alt´er konvex poli´eder.
• B´armely szimplex konvex poli´eder.
• Konvex poli´ederek tetsz˝oleges v´eges rendszer´enek a metszete konvex poli´eder.
• Azn×n-es dupl´an sztochasztikus m´atrixokBnhalmaza konvex poli´eder az Rn×n t´erben, hiszen v´eges sok line´aris egyenlet ´es egyenl˝otlens´eg defini´alja.
• Konvex poli´eder b´armely lapja szint´en konvex poli´eder, hiszen a nem val´odi lapokra ez nyilv´anval´o, egy val´odi lap pedig el˝o´all a poli´eder ´es egy affin alt´er (t´amaszhipers´ık) metszetek´ent.
3.1.3. ´All´ıt´as. Legyen d≥1 ´es P ⊆X konvex poli´eder, melyre intP 6=∅ (azazdimP=d). ´All´ıtsuk el˝o aP halmaztX-beli z´art f´elterek metszetek´ent P =Tn
i=1Fi alakban ´ugy, hogy na legkisebb sz´am, amelyre ilyen el˝o´all´ıt´as lehets´eges. LegyenHi=∂Fi. Ekkor :
(1) Li=Hi∩P aP hiperlapja(i= 1, . . . , n).
(2) ∂P =Sn i=1Li.
(3) HaH olyan t´amaszhipers´ıkja P-nek, amely a Hi-k mindegyik´et˝ol k¨ u-l¨onb¨ozik, akkordim(H∩P)< d−1.
(4) AP halmaz a sorrendt˝ol eltekintve egy´ertelm˝uen meghat´arozza az F1, . . ., Fn f´eltereket.
(5) HaP valahogyan el˝o´all v´eges sok z´art f´elt´er metszetek´ent, akkor ezek k¨oz¨ott a f´elterek k¨oz¨ott szerepelni¨uk kell azF1,. . .,Fn f´eltereknek.
Bizony´ıt´as :(1) : R¨ogz´ıtettimellett legyenQ=T
j6=iFj, ekkornminimalit´asa miattQszigor´uan b˝ovebbP-n´el ; v´alasszunk egyA∈Q−Fipontot. Legyen B ∈ intP tetsz˝oleges, ekkor az [A, B] szakasz belseje ´es ´ıgy az [A, B]∩Hi
metsz´espont is Q belsej´ehez tartozik. Emiatt a Hi affin t´erre vonatkoz´oan int (Hi∩Q)6=∅, azaz dimLi=d−1.
(2) : EgyApontraA∈∂P =∂ Tn i=1Fi
pontosan akkor teljes¨ul, ha A∈P
´es legal´abb egyi-reA∈∂Fi=Hi. Emiatt∂P =P∩ Sn i=1Hi
=Sn i=1(P∩
∩Hi) =Sn i=1Li.
(3) : AzL=H∩P =H∩∂P =Sn
i=1(H∩Li) el˝o´all´ıt´asban mindegyikH∩Li tag dimenzi´ojaH 6=Hi miatt (d−1)-n´el kisebb, ´ıgy dimL < d−1.
(4) : Az (1) ´es a (3) ´all´ıt´as miatt azLi halmazok ´eppenP hiperlapjai, ez´ert P ˝oket, ´es ´ıgy azFi f´eltereket is egy´ertelm˝uen meghat´arozza.
(5) : Legyen A ∈ relintLi. Ekkor A ∈ ∂P miatt A ∈ ∂F, ahol F a met-szetel˝o´all´ıt´asban szerepl˝o f´elterek egyike. Ez´ert Li ⊆ ∂F, ahonnan F = Fi k¨ovetkezik.
3.1.4. ´All´ıt´as.LegyenP konvex poli´eder ´esLaP val´odi lapja. Ekkor : (1) P-nek l´etezik olyan hiperlapja, amelynekLlapja.
(2) Ha dimL = dimP −2, akkor P-nek pontosan k´et L-et tartalmaz´o hiperlapja l´etezik, ´es ezeknekL a metszete.
Bizony´ıt´as :Feltehetj¨uk, hogy intP 6=∅. LegyenL=H∩P ⊆∂P val´odi lap, ahol H t´amaszhipers´ık. Haszn´aljuk a 3.1.3. ´All´ıt´as jel¨ol´eseit : Li, Hi ´es Fi
(i= 1, . . . , n) aP hiperlapjai ´es a hozz´ajuk tartoz´o t´amaszhipers´ıkok, illetve t´amaszf´elterek. EkkorL⊆∂P =Sn
i=1Li.
(1) : Bel´atjuk el˝osz¨or, hogy L r´eszhalmaza valamelyik Li-nek. Ha nem ´ıgy volna, akkor minden i-re v´alasszunk egy Ai ∈ L−Li = L−Hi pontot.
Legyen A ezek s´ulypontja, azaz A = n1A1 +. . .+ n1An. Ekkor b´armelyik i-re A /∈ Hi, hiszen az Aj pontok mindannyian ugyanabban a Hi szerinti z´art f´elt´erben vannak, ´es legal´abb egy k¨oz¨ul¨uk (m´egpedig Ai) nincs a Hi
hipers´ıkban. Ez´ertAaP konvex poli´eder bels˝o pontja, ami lehetetlen, hiszen A∈L⊆∂P.
V´eg¨ulL⊆Li eset´enLlapja isLi-nek, hiszen vagyH=Hi, amikorL=Li, vagy pedigH∩HiazLi t´amaszhipers´ıkja aHi affin t´erben, ´esL=H∩P =
= (H∩Hi)∩Li.
(2) : El˝osz¨or megmutatjuk, hogyLlegal´abb k´et k¨ul¨onb¨oz˝o hiperlapnak lapja.
Az (1) ´all´ıt´as alapj´an v´alaszthatunk olyanLi hiperlapot, amelynekLlapja.
Alkalmazzuk a 3.1.3. ´All´ıt´ast a Hi affin t´erbeli Li konvex poli´ederre ´ugy, hogy azLi =Hi∩P =Hi∩ T
j6=iFj
=T
j6=i(Hi∩Fj) metszetel˝o´all´ıt´asb´ol kiv´alasztjuk a minim´alis el˝o´all´ıt´ast. Az Li-beli L hiperlap teh´at azonos az Li∩Hj halmazzal valamilyeni-t˝ol k¨ul¨onb¨oz˝oj-re. ´IgyL⊆Hj∩P =Lj. Most bel´atjuk, hogyLnem lehet kett˝on´el t¨obb hiperlapnak is r´esze. Indirekt m´odon tegy¨uk fel, hogy Li, Lj ´es Lk h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o hiperlap, amelyek mindannyian tartalmazz´akL-et. Tekints¨uk azFi, Fj, Fk f´eltereket, ezek ha-t´arol´o hipers´ıkjai mindannyian tartalmazz´ak a (d−2)-dimenzi´os hLi affin alteret. Ekkor a h´arom f´elt´er k¨oz¨ul valamelyik kett˝onek a metszete r´esze a harmadiknak (ez r¨ogt¨on l´athat´o a −→
hLialt´errel val´o faktoriz´al´as ut´an ad´od´o s´ıkban a h´arom f´els´ıkr´ol), ami ellentmond annak, hogy az Fi f´elterek rend-szere minim´alis.
Tegy¨uk f¨ol v´eg¨ul, hogy azL lap azLi ´esLj k¨ul¨onb¨oz˝o hiperlapoknak r´ esz-halmaza. Ekkor hLi ⊆ Hi ∩Hj ´es dimhLi = d−2, ´ıgy Hi 6= Hj miatt hLi=Hi∩Hj. Ez´ertL=hLi ∩P = (Hi∩Hj)∩P = (Hi∩P)∩(Hj∩P) =
=Li∩Lj.
3.1.5. K¨ovetkezm´eny.B´armely konvex poli´edernek v´eges sok lapja van.
Bizony´ıt´as : Legyen P 6=∅ konvex poli´eder,d = dimP. Teljes indukci´ot al-kalmazunkdszerint. Had= 0, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨uk fel, hogy d >0 ´es mindend-n´el kisebb dimenzi´os konvex poli´edernek csak v´eges sok lapja van. A 3.1.3 ´All´ıt´as alapj´anP-nek v´eges sok hiperlapja van, ´ıgy az in-dukci´os feltev´es miatt ezeknek ¨osszesen v´eges sok lapja van. ´Igy a 3.1.4.(1) All´ıt´´ ast alkalmazva k¨ovetkezik, hogy P-nek is v´eges sok lapja van.
3.1.6. K¨ovetkezm´eny. Ha P konvex poli´eder, akkor P lapjai tetsz˝oleges rendszer´enek a metszete szint´en lapjaP-nek.
Bizony´ıt´as : El´eg v´eges sok lappal foglalkozni a 3.1.5. K¨ovetkezm´eny miatt.
Legyenek L1, L2, . . ., Lk ⊆P lapok, feltehetj¨uk, hogy mindannyian val´odi lapok ´esL=Tk
i=1Li6=∅. LegyenLi=Hi∩P,Hi=Z(si), aholsi∈X•´es si(P)≥0 (i= 1,2, . . . , k). Ekkors=s1+s2+. . .+sk,H =Z(s) v´alaszt´assal H t´amaszhipers´ık ´esL=H∩P.
3.1.7. ´All´ıt´as.LegyenP ⊆X konvex poli´eder.
(1) B´armely L ⊆ ∂P val´odi lap egyenl˝o az L-et tartalmaz´o hiperlapok metszet´evel, azhLiaffin alt´er pedig ezen hiperlapokat tart´o t´ amaszhi-pers´ıkok metszet´evel.
(2) B´armelyA ∈∂P eset´en azA-t tartalmaz´o t´amaszhipers´ıkok metszete azonos azA-t tartalmaz´o hiperlapokat tart´o hipers´ıkok metszet´evel.
Bizony´ıt´as :(1) : Nyilv´an el´eg azt bel´atni, hogyLel˝o´all bizonyosP-beli hiper-lapok metszetek´ent, ´es hogyhLiel˝o´all bizonyosP-beli hiperlapokhoz tartoz´o t´amaszhipers´ıkok metszetek´ent.
A 3.1.4.(1) ´All´ıt´as szerintL lapjaP valamelyM hiperlapj´anak. A dimM −
−dimL= (d−1)−k=t−1>0 egyenl˝otlens´eg miattLval´odi lapja azM konvex poli´edernek, valamintM-re ´esL-re alkalmazhat´o az indukci´os feltev´es.
EszerintL=Ts
i=1Ni, ahol azNi halmazokM hiperlapjai. AzM hiperlapjai viszont 3.1.4.(2) miatt el˝o´allnak P egy-egy hiperlapja ´es M metszetek´ent,
´ıgy Ni = M ∩Li, ahol Li ⊂ P hiperlap, Li 6= M (i = 1, . . . , s). Ez´ert
(2) : Jel¨olje Y az A-t tartalmaz´o ¨osszes t´amaszhipers´ık metszetek´ent el˝o´ al-l´o affin alteret, Z pedig jel¨olje az A-t tartalmaz´o hiperlapok hipers´ıkjainak metszet´et. Nyilv´an Y ⊆ Z. A ford´ıtott ir´any´u tartalmaz´ashoz tekints¨uk az L=Y ∩P halmazt, amely a 3.1.6. K¨ovetkezm´enyre hivatkozva lapjaP-nek, hiszen az ¨osszes olyanH∩Plap metszet´evel egyenl˝o, aholA∈H´esHt´ pontosan akkor lapjaM-nek, haP-nek lapja.
Bizony´ıt´as : Feltehet˝o, hogyL6=∅, M. HaL lapjaP-nek, akkorL=H∩P kodi-menzi´o szerinti teljes indukci´oval megmutatjuk, hogyLlapjaP-nek is.
Legyen el˝osz¨or t= 1, azazM hiperlap. A 3.1.7(1) ´All´ıt´as szerint Lel˝o´allM bizonyos hiperlapjai metszetek´ent, ezek a hiperlapok pedig a 3.1.4(2) ´All´ıt´as miattP k´et-k´et hiperlapja metszetek´ent ´allnak el˝o. ´Igy Lel˝o´allP bizonyos hiperlapjai metszetek´ent, a 3.1.6. K¨ovetkezm´eny szerint teh´at lapjaP-nek.
Tegy¨uk fel most, hogy t > 1 ´es hogy az ´all´ıt´as t-n´el kisebb kodimenzi´o ese-t´eben igaz, azaz b´armely Q konvex poli´eder b´armely t-n´el kisebb kodimen-zi´os lapj´anak b´armely lapja egy´uttalQ-nak is lapja. V´alasszunk a 3.1.4(1) All´ıt´´ as alapj´an olyanN hiperlapotP-ben, melynekM lapja. Ekkor dimN−
−dimM =t−1, ´ıgy az indukci´os feltev´es alkalmazhat´oQ=N v´alaszt´assal, ahonnan k¨ovetkezik, hogy L lapja N-nek. Ekkor viszont ´ujra a t = 1 eset alkalmaz´as´avalLa P-nek is lapja.
3.1.9. ´All´ıt´as.LegyenP ⊂Xkonvex poli´eder,dimP=d´esA∈∂P. Ekkor : (1) r(A) =keset´en l´etezik olyanL⊂P lap, melyreA∈relintL´esdimL=
=k.
(2) Apontosan akkor extrem´alis pontP-ben, ha cs´ucs.
Bizony´ıt´as :(1) : LegyenLa legsz˝ukebb olyan lapjaP-nek, amely tartalmazza A-t, azaz L az A pontot tartalmaz´o ¨osszes P-beli lap metszete. 3.1.7.(1) miattL egyenl˝o az A-t tartalmaz´o P-beli hiperlapok metszet´evel, 3.1.7.(1)
´es 3.1.7.(2) miatt pedigk= dimL. ´All´ıtjuk, hogyA∈relintL. HaA∈rel∂L volna, akkorLegy val´odi lapj´ahoz tartozna, amely 3.1.8 miattP-nek is lapja.
Ez´ert 3.1.7.(1) miattA-tP-nek olyan hiperlapja is tartalmazn´a, amelynekL nem r´esze ; ez ellentmondLminimalit´as´anak.
(2) : B´armely konvex halmazban a cs´ucsok extrem´alis pontok, ´ıgy csak a meg-ford´ıt´ast kell bel´atnunk. HaAnem cs´ucs, akkor (1) miatt valamely legal´abb egydimenzi´os lap relat´ıv bels˝o pontja. EkkorAnyilv´anval´oan nem lehet ext-rem´alis pont.
3.1.10. K¨ovetkezm´eny. B´armely konvex poli´ederben a nem¨ures lapok re-lat´ıv belsejei part´ıci´ot alkotnak.
Bizony´ıt´as : B´armely konvex halmazban a lapok relat´ıv belsejei p´aronk´ent diszjunktak, konvex poli´eder eset´eben pedig 3.1.9.(1) k¨ovetkezt´eben lefedik az eg´esz poli´edert.
3.1.11. K¨ovetkezm´eny.B´armely korl´atos konvex poli´eder a cs´ucsai halma-z´anak a konvex burk´aval egyenl˝o.
Bizony´ıt´as :HaP korl´atos konvex poli´eder, akkorP kompakt, ez´ert a Krein–
Milman-t´etel miatt az extrem´alis pontjai konvex burka. ´Igy 3.1.9.(2)-b˝ol ad´ o-dik az ´all´ıt´as.
3.1.12. Defin´ıci´o (Laph´al´o).Tetsz˝olegesP konvex poli´ederre jel¨oljeL(P) a P lapjai halmaz´at. Jel¨olje tov´abb´a L, M ∈ L(P)-re L ≤ M (illetve L <
< M), haLlapja azM konvex poli´edernek (illetve, ha emellett m´egL6=M is fenn´all). A 3.1.8. ´All´ıt´as k¨ovetkezt´eben ez a≤rel´aci´o tranzit´ıv, ezen k´ıv¨ul nyilv´an reflex´ıv ´es antiszimmetrikus, ´ıgy r´eszben rendez´est l´etes´ıt a L(P) halmazon. A≤rel´aci´o szerint r´eszben rendezettL(P) halmaztPlaph´al´oj´anak nevezz¨uk. (K¨onny˝u meggondolni, hogy nem¨ures P eset´eben L(P) val´oban h´al´o a sz´o algebrai ´ertelm´eben.)