Hat´ arpontok

2.5.1. Defin´ıci´o (Hat´arpont rendje, cs´ucs, lap, hiperlap).LegyenA∈

∈∂K, aholK ⊂X konvex halmaz ´es dimK =d. AzA hat´arpont rendj´en az r(A) = dimY sz´amot ´ertj¨uk, aholY a K halmaz A-t tartalmaz´o ¨osszes t´amaszhipers´ıkj´anak a metszetek´ent el˝o´all´o affin alt´er. B´armely A ∈∂K-ra 0≤r(A)≤d−1.

Jegyezz¨uk itt meg, hogy a hat´arpont rendj´enek fenti defin´ıci´oja a dimK < d esetben is ´ertelemmel b´ır, ´esKrelat´ıv hat´arpontjaira vonatkoztatva ugyanezt a sz´amot eredm´enyezi,K relat´ıv bels˝o pontjaira pedig dimK-t.

AzApontot aK konvex halmaz cs´ucs´anak nevezz¨uk, ha r(A) = 0. Az L⊆

⊆K halmaztKlapj´anak nevezz¨uk, haL=∅,L=K, vagyL=H∩K, ahol H a K egy t´amaszhipers´ıkja. Az∅-t´ol ´esK-t´ol k¨ul¨onb¨oz˝o lapokatK val´odi lapjainak h´ıvjuk, ezek dimenzi´oja d-n´el kisebb sz´am. A (d−1)-dimenzi´os lapokat hiperlapoknak nevezz¨uk.

Nyilv´an b´armelyL⊆K nem¨ures lapraL=hLi ∩K.

2.5.2. P´eld´ak

• Egy [A0, A1, . . . , Ad] d-dimenzi´os szimplex eset´eben valamely hat´arpont rendje akkor ´es csak akkorr, ha benne van azA0,A1,. . .,Adpontok k¨ o-z¨ul (r+1)-nek a konvex burk´aban ´es nincs benne (r+1)-n´el kevesebbnek a konvex burk´aban. A szimplexnek a 2.5.1. Defin´ıci´o ´ertelm´eben vett cs´ucsai teh´at ´eppen a 2.2.2. Defin´ıci´obeli sz´ohaszn´alat szerinti cs´ucsai.

• Az [A₀, A₁, . . . , A_d] szimplex val´odi lapjai az [A_i0, A_i1, . . . , A_ik] alak´u r´eszhalmazok (0≤k < d, 0≤i₀< i₁ < . . . < i_k ≤d), amelyek maguk is szimplexek.

• HaA ∈ ∂K a K konvex halmaz cs´ucsa, akkor {A} lapjaK-nak. (In-dokl´as : r(A) = 0 miatt l´eteznek olyan s₁, . . ., s_d line´arisan f¨uggetlen affin form´ak, melyekre s_i(A) = 0 ´es s_i(K) ≥ 0 minden i = 1, . . . d-re ; ekkor az s = s₁+. . .+s_d affin form´aval Z(s) t´amaszhipers´ık ´es Z(s)∩K = {A}. Ha ugyanis valamely B ∈ K-ra s(B) = 0 teljes¨ul, akkor sz¨uks´egk´eppen minden i-re s_i(B) = 0, viszont r(A) = 0 miatt Td

i=1Z(s_i) ={A}´es ´ıgyB =A.) Az egyelem˝u lapok viszont nem fel-t´etlen¨ul cs´ucsok : p´eld´aul egy ellipszoid minden val´odi lapja egypont´u.

2.5.3. ´All´ıt´as.HaK⊆X d-dimenzi´os konvex z´art halmaz, akkor∂K egyen-l˝o aKval´odi lapjainak egyes´ıt´es´evel.

Bizony´ıt´as :R¨ogt¨on ad´odik a 2.4.9. T´etelb˝ol.

2.5.4. ´All´ıt´as. HaL₁ ´esL₂ a K ⊆X konvex halmaz k´et k¨ul¨onb¨oz˝o lapja, akkorrelintL₁∩relintL₂=∅.

Bizony´ıt´as :Feltehet˝o, hogyL₁´esL₂val´odi lapok ; legyeni= 1,2 -reL_i=H_i∩

∩K, aholHit´amaszhipers´ık, legyen tov´abb´aFiaHi-hez tartoz´o t´amaszf´elt´er.

Tegy¨uk fel, hogy A ∈ relintL1 ∩relintL2. Ekkor L1 ⊂ K ⊆ F2 ´es A ∈

∈H2=∂F2. Ez´ert 2.4.10-re hivatkozvaA∈relintL1csak ´ugy lehets´eges, ha L1 ⊆H2. Hasonl´o m´odonL2 ⊆H1 is k¨ovetkezik. Ekkor viszontL1 =H1∩

∩H2∩K=L2.

2.5.5. T´etel.B´armely konvex halmaz cs´ucsainak a halmaza megsz´aml´alhat´o.

Bizony´ıt´as :LegyenA∈∂KaK⊂X d-dimenzi´os konvex halmaz egy cs´ucsa.

Tekints¨uk a C(A) = {s ∈ X^• : s(A) = 0, s(K) ≥ 0} halmazt a (d+ 1)-dimenzi´os X^• vektort´erben. Nyilv´anC(A) konvex k´up, ´es mivelA cs´ucs, a 2.5.2-beli harmadik p´elda szerinti okoskod´assal dimC(A) =d.

AzL:X^• →V^∗ lineariz´al´o lek´epez´es magja a konstans affin form´akb´ol ´all.

Emiatt (KerL)∩ hC(A)i = {0}, ´esL a C(A) halmazt injekt´ıven k´epezi a d-dimenzi´osV^∗ vektort´erbe. ´Igy azL(C(A)) k´ephalmaz szint´end-dimenzi´os konvex halmaz.

Elegend˝o megmutatni, hogy a K halmaz k´et k¨ul¨onb¨oz˝o A ´es A⁰ cs´ucs´ara az L(C(A)) ´es az L(C(A⁰)) halmaz belseje diszjunkt, ugyanis megsz´aml´ al-hat´on´al t¨obb p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmaz nem f´er el aV^∗ t´erben. (Ez ut´obbihoz annyit elegend˝o tudniV^∗-r´ol, hogy szepar´abilis, azaz l´etezik benne megsz´aml´alhat´o s˝ur˝u ponthalmaz. Ez val´oban ´ıgy van aV^∗∼=R^dt´erben.) Tegy¨uk fel, hogy s∈C(A),s⁰ ∈C(A⁰) ´esL(s) =L(s⁰), azaz s−s⁰ ∈KerL.

Ekkor 0 = s(A)≤ s(A⁰) ´es 0 = s⁰(A⁰)≤s⁰(A) miatt s−s⁰ csak ´ugy lehet konstans, hogy s(A⁰) = s⁰(A) = 0 is fenn´all. Ekkor viszont s ´es s⁰ nem relat´ıv bels˝o pontjaC(A)-nak, illetve C(A⁰)-nek, ´es ´ıgyL-k´epeik sem bels˝o pontok.

2.5.6. Defin´ıci´o (Extrem´alis pont). A P ∈ K pontot a K konvex hal-maz extrem´alis pontj´anak nevezz¨uk, ha aK− {P}halmaz konvex. (Ez azzal egyen´ert´ek˝u, hogy P nem ´all el˝o semmilyen K-ban fekv˝o v´egpont´u szakasz felez˝opontjak´ent, vagy ak´ar csak relat´ıv bels˝o pontjak´ent.) AK konvex hal-maz extrem´alis pontjainak halmaz´at E(K)-val jel¨olj¨uk. Nyilv´an dimK > 0 eset´enE(K)⊆rel∂K.

2.5.7. P´eld´ak

• Szakasz extrem´alis pontjai a v´egpontok.

• HaAaK konvex halmaz cs´ucsa, akkorA∈ E(K).

• Egy ellipszoidtest b´armely relat´ıv hat´arpontja extrem´alis pont.

• Ha egy konvex z´art halmaz tartalmaz egyenest, akkor k¨onnyen l´athat´o m´odon nincs extrem´alis pontja. ( ´Erv´enyes a megford´ıt´as is, de nehezebb bizony´ıtani : ha a K nem¨ures konvex z´art halmazra E(K) = ∅, akkor vanK-ban fekv˝o egyenes.)

• Azn×n-es dupl´an sztochasztikus m´atrixokB_n halmaz´anak (l. 2.1.3.) extrem´alis pontjai azn×n-es permut´aci´om´atrixok.

2.5.8. Lemma.LegyenK⊆X konvex.

(1) HaY ⊆X affin alt´er, akkorY ∩ E(K)⊆ E(Y ∩K).

(2) HaH a Kkonvex halmaz t´amaszhipers´ıkja, akkorH∩ E(K) =E(H∩

∩K).

Bizony´ıt´as :(1) : HaP ∈Y ∩ E(K), akkor (Y ∩K)− {P}=Y ∩(K− {P}) konvex.

(2) : El´eg az (1)-hez k´epest ford´ıtott ir´any´u tartalmaz´ast bel´atni. LegyenP ∈

∈ E(H ∩K). Egyr´eszt ekkor P ∈ H ´es P ∈ K, m´asr´eszt ha P el˝o´allna valamely A, B ∈ K-val az [A, B] szakasz bels˝o pontjak´ent, akkor ez csak A, B ∈H mellett volna lehets´eges, hiszen A´es B ugyanabban a H szerinti z´art f´elt´erben vannak. Ekkor viszontP nem lenne aH∩Khalmaz extrem´alis pontja, mert [A, B]⊆H∩K.

2.5.9. T´etel (Krein–Milman-t´etel). B´armely kompakt konvex halmaz azonos az extrem´alis pontjai konvex burk´aval.

Bizony´ıt´as : A K ⊆ X kompakt konvex halmaz dimenzi´oja szerinti teljes indukci´oval megmutatjuk, hogyK= conv(E(K)). Legyenk= dimK.

Az ´all´ıt´as nyilv´anval´o k= 0 eset´en. Tegy¨uk fel, hogyk ≥1 ´esk-n´al kisebb dimenzi´oj´u kompakt konvex halmazokra az ´all´ıt´as igaz. A 2.3.7. ´All´ıt´asra hivatkozva el´eg bel´atni, hogy rel∂K ⊆ conv(E(K)). Legyen A ∈ rel∂K ´es a 2.4.9. T´etel alapj´an v´alasszunk olyan H t´amaszhipers´ıkot K sz´am´ara a hKiaffin t´erben, amelyreA∈H. Ekkor az indukci´os feltev´est ´es 2.5.8.(2)-t haszn´alva A∈H∩K= conv(E(H∩K)) = conv(H∩ E(K))⊆conv(E(K)).

2.5.10. ´All´ıt´as. Legyen αK+βL a K ´es L konvex halmazok tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja. EkkorE(αK+βL)⊆αE(K) +βE(L).

Bizony´ıt´as :LegyenC∈ E(αK+βL), ekkorC=αA+βBalkalmas A∈K, B∈L pontokkal. ´All´ıtjuk, hogyA∈ E(K) ´esB∈ E(L). Ha p´eld´aulA nem volnaK-nak extrem´alis pontja, akkor l´etezne olyanS⊆K szakasz, amelyre A∈relintS. Ekkor αS+β{B} ⊆ αK+βL olyan szakasz volna, amelynek C relat´ıv bels˝o pontja, ami ellentmond annak, hogy C extrem´alis pont az αK+βL halmazban. Ugyan´ıgy l´athat´o be, hogyB∈ E(L).