ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

(1)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

(2)

2

ÖKONOMETRIA 2. hét

Egyváltozós regresszió 1.

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

Alapok, példák

A regressziós modell alapfeltevései A paraméterek értelmezése

Becslési módszerek

Legkisebb négyzetek (OLS) Momentumok módszere

(Maximum likelihood módszer)

A becslés tulajdonságai, mintavételi eloszlása

Bevezetés

Egyváltozós regresszió:

y = árbevétel

x = reklámra fordított kiadások Többváltozós regresszió:

y = munkavállaló bére x1 = képzettség

x2 = munkatapasztalat x3 = lakóhely stb.

(3)

3

Célok:

olyan döntések y-ra való hatását vizsgálni, amelyek az x-eket megváltoztatják y változót előrejelezni x-ek segítségével

eldönteni, van-e bármelyik x-nek szignifikáns hatása y-ra

Egyváltozós (lineáris) regresszió: alapok 1.

y_i = α + βx_i+ u_i (sztochasztikus kapcsolat)

y x

előrejelzett változó előrejelző változó

magyarázott változó magyarázó változó

függő változó független változó

Eredményváltozó okváltozó

u hibatag:

véletlenszerű emberi reakciók előrejelezhetetlensége nagyszámú kihagyott véletlen változó hatása

az y mérési hibája

Egyváltozós regresszió: alapok 2.

Regressziós paraméterek:

tengelymetszet meredekség

A regresszió eredete: Francis Galton

gyermekek (y) és szüleik (x) testmagassága közötti összefüggés y = m + x

<1 adódott: „regression to the mean”

(átlaghoz való visszatérés)

(4)

4

Alapfeltevések

1. E(u_i) = 0

2. ui, uj függetlenek minden i≠j-re 3. x_i, uj függetlenek minden i, j-re

biztosan teljesül, ha xi-k nem véletlen változók 4. Var(u_i) = σ² minden i-re (homoszkedaszticitás) 5. ui normális eloszlású minden i-re: N(0, σ²)

Értelmezés

(1) és (3) következménye: exogenitás, azaz E(u_i| x_k) = 0 minden i,k-ra

Tehát E(yi|xi) = α + βxi

Ezért β értelmezése parciális hatásként:

α értelmezése: α = E(yi|xi = 0)

Becslés 1.

Legkisebb négyzetek (OLS)

Két normálegyenlet:

 

i i

x x y E



 |





^ ^



i

i x

y

Q ²

,ˆ

ˆ ( ˆ ˆ )

min  





0 ) ( ˆ ) ˆ ( 2 ˆ 0

0 ) 1 ( ˆ ) ˆ ( 2 ˆ 0







 









 





i i

i

i i

x x Q y

x Q y



 



 

(5)

5

Becslés 2.

Momentumok módszere (MM)

Momentumok módszere: elméleti momentumokat egyenlővé tesszük a tapasztalati momentumokkal

(pl. várható értéket mintaátlaggal, varianciát mintabeli varianciával) Normálegyenletek (ugyanaz, mint előbb):

E(u) = 0

cov(u,x) = 0

ahol

Egyenletrendszer:

Becslés 3.

Maximum likelihood (ML) módszer

Emlékeztető: adott mintaelemek (yi) alapján keressük azt a  paramétert, aminél a minta

„előfordulási valószínűsége” a lehető legnagyobb:



^u^ˆⁱ ^⁰

ˆ 0



^xⁱ^uⁱ

i i

i y x

uˆ  ˆˆ

0 ˆ )

ˆ (

0 ˆ ) ˆ (











i i

i

i i

x x y

x y









0

max )

( log )

( log ) (

max )

( )

(

1 1

 



















l

y f L

l

y f L

i n

i

(6)

6

Eredmény: OLS-nél már látott egyenletek (ha a hibák normális eloszlásúak)

Becslőfüggvény

 

2 0 2

log 2 )

, , ( log ) , , (

exp 2 2

) 1 , , (

2 1

2 2









 









 









 



  



















































 





n

i

i i i

n

i

i i

n

i

i i

n

i

i i

x x l y

x l y

x y

n C L

l

x L y



  











ˆ 2

ˆ ˆ ˆ

i i

x x

y x

x n

y











^ ^ ^ ^







ˆ 2

ˆ ) ( ˆ ˆ

i i

iy nx y x x

x

x y





 

  

 

² ² ²

2 2 2

y n y y

y S

y x n y x y

y x x S

x n x x

x S

i i

yy

i i i

i xy

i i

xx



























 



i i

i i i

i i

xx xy

x y

y y u

x y

x y S S





































ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(7)

7

„Merőlegességi” összefüggések

A normálegyenletek más formában:

Ezért:

Teljes négyzetösszeg felbontása

Total Explained Residual

Más könyvek fordítva használják („regression” ill. „error”)

Korreláció, determinációs együttható

r_xy: x_i és y_i tapasztalati korrelációs együtthatója r_xy²: determinációs együttható

 



i i i

u x u

ˆ 0

 



ˆ



⁰

ˆ

ˆ 0 ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 0











 

y y u

x u

y u

i i

i i i





ESS RSS

TSS

y y y

y y

y_i _i _i _i















 



⁽ ⁾² ⁽ ^ˆ ⁾² ⁽^ˆ ⁾²

 

       



i i



yy xy

xy xx

i i

yy i

S S

ESS TSS y

y RSS

S S

x x

y y ESS

S y y TSS











































 









 ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

2

2 2 2

2

TSS ESS S

S S S

S r S

yy xx xy yy

xx xy

xy   ² / 

(8)

8

A becslőfüggvény torzítatlansága

Itt úgy vezettük le, hogy xi-k rögzítettek, de akkor is érvényes, ha véletlen változók (könnyen belátható)

Nem kell hozzá a hibatagok normalitása, sőt a homoszkedaszticitása sem

A becslőfüggvény optimalitási tulajdonsága

BLUE (best linear unbiased estimator):

a homoszkedaszticitás feltételezése mellett a becslésünk a torzítatlan lineáris becslések között a legkisebb varianciájú

(részletesebben ld. a többváltozós esetben)

Ha ráadásul normális eloszlású is a hiba, akkor az összes torzítatlan becslés között a legjobb

Példa

2003-as bértarifa, egyváltozós regresszió:

log(Keri)=α +β1Iski +ui







 















 



 



 

 

x E y E x y E E

x x

x x x x x

x

y y E x E x

i i i

ˆ) ( ) ( ˆ )

( ˆ) (

) (

) ( ) ( )

(

) ( ) ) (

( ˆ ₂ ₂

(9)

9

Értelmezés

Eggyel több iskolai év 0,12 egységgel növeli log(bér) változót Azaz 12%-kal növeli a bért

Előrejelzésre jó lehet

De: ok-okozati összefüggés-e (exogenitás)?

Nem biztos, pl.

munkatapasztalat (mérhető) tehetség (nehezebben mérhető)

Paraméterbecslések mintavételi eloszlása (xi-k rögzített értéke esetén)

     

 

   

 

kell....

becsülni is

t - de : is normálisak hibák

a Ha

: mellett szticitás

Homoszkeda





















ˆ Var , ˆ ~

Var ˆ , ˆ~

ˆ / ˆ, cov

/ /

ˆ 1 Var

/ /

/ Var

) / ˆ Var(

Var

2

2 2

2 2 2

2

N N

S x

S x n

S S

x x

S y x x S

S

xx xx

i

xx i i xx

xy

















 

(10)

10

2. gyakorlat

EViews használata, egyváltozós regresszió Az EViews-ról

Statisztikai – ökonometriai szoftver

Felhasználóbarát, idősoros elemzésre nagyon jó Help fájlok (User’s guide)

Stata:

több beépített eljárása van, és jobban programozható keresztmetszeti és panel elemzésre jobban használható Gretl:

ingyenesen letölthető, BA szinten megfelelő panel- és többváltozós idősor-modellekre hiányos Statisztikai szoftverek: SPSS, R

Adatok betöltése 1.

File/new/workfile – undated Objects/new object/series – edit Copy – paste

Name

(11)

11

Adatok betöltése 2.

File/new/workfile – undated

Procs/Import/Read text-lotus-excel Forrásfájl legyen bezárva!

Excel sheet name…

Names for series: pl. hours tax – mindkét adatsort beolvassa

Változók kezelése

Megnyitás, deskriptív statisztikák, grafikonok View/Descriptive statistics

View/Graph

Több adatsor együttesen is kijelölhető (open as group) Változó generálás (genr)

Minta: smpl smpl 1 20 smpl @all

Vagy: quick/sample

Regresszió

Quick/estimate equation … Konstanst feltüntetni! (c) Method: OLS az alapbeállítás Vagy:

equation name.ls …

(12)

12

1. példa – állami kiadások, GDP

Eurostat adatok

Miért függhet össze? Okság iránya?

Grafikon (scatterplot) Regresszió becslése

Együttható értelmezése

Szignifikancia – t-teszt, F-teszt (Wald) Reziduumok: View/Resid.tests/histogram Problémák?

2. példa – ledolgozott munkaórák, határadókulcs

OECD adatok

Miért függhet össze? Okság iránya?

Együttható várható előjele?

Grafikon (scatterplot) Regresszió becslése

Együttható értelmezése Szignifikancia – t-teszt R-négyzet értelmezése Becsült érték: forecast