Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

8. hét

Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás

Elek Péter, Bíró Anikó

Heteroszkedaszticitás fogalma Próbák

Következmények Megoldások

Multikollinearitás – definíció, következmények

Röviden az endogenitásról

Heteroszkedaszticitás fogalma

Alapmodell feltevése

Var(u_i) = σ² minden i-re – homoszkedaszticitás

Hibatagok varianciája nem állandó

Var(u_i) = σ_i² minden i-re – heteroszkedaszticitás

Példa heteroszkedaszticitásra

Fogyasztás modell (adatok: SHARE, 2004, Németország – élelmiszer kiadások)

Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

i i

i

i i

i i

Wealth Th

Inc C

u Wealth

Th Inc

C

_ 007

. 0 02

. 0 6 . ˆ 379

2 _

1 0













  

-1,000 -500 0 500 1,000 1,500 2,000

0 10,000 20,000 30,000 40,000

INC

RESID01

Példa, folyt.

Alternatív modell

Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

i i

i

i i

i i

Wealth Th

Inc C

u Wealth

Th Inc

C

_ 05

. 0 log

15 . 0 63 . ˆ 4

log

_ log

log

log _{0 1 2}













  

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

0 10,000 20,000 30,000 40,000

INC

RESID02

Próbák 1.

White-próba

Kérdés: Van-e szisztematikus tényező maradéktag varianciájában?

White-próba: regressziója magyarázó változókon, azok négyzetein és

keresztszorzatain

→ F- vagy khi-négyzet próba együtthatók szignifikanciájára

ˆ_i2

u

Próbák 2.

Breusch-Pagan próba

Segédregresszió: regressziója z₁,..., z_k magyarázó változókon (amikről azt gondoljuk, hogy a varianciát befolyásolják)

S₀ segédregresszió négyzetösszege (ESS) R² segédregresszió det. együtthatója

(eredeti!) hibatagok becsült varianciája

LM-teszt a segédregresszió használhatóságára, ami u normális eloszlása esetén kifejezhető másképpen is:

ˆ



ˆ_i2

u

normális) u

ˆ ha (és 2

~ ^{2 0}₄

2

 

  nR _k (és  ^S ha u normális)

Következmény 1.

Szokásos standard hiba becslés nem jó

Egyváltozós modell

y_i = α + βx_i + u_i, Var(u_i) = σ_i² →

Torzítatlan (E(u_i) = 0; x_i, u_i függetlenek)

Homoszkedaszticitás esetén:

Torzított varianciabecslést ad heteroszkedaszticitás esetén!

– Szokásos tesztek nem használhatók.

  

   

 

ˆ 2 2







 

 



 

x x

u x x x

x

y y x x

i

i i

i i

i 



 

   

 





2 2

) 2

( ˆ

 

 



 















 

x x

x x

x x

u x Var x

Var

i

i i

i

i

i 



 



 ₂

2

ˆ)

( x x

Var

i

 

Következmény 2.

OLS nem hatásos

Példa: σ_i² = σ²z_i²

Súlyozott (homoszkedasztikus) modell:

Cauchy–Schwarz:

i i

i i

i v

z x z

y   

   

 

) 1 / ( ˆ)

( ) (

ˆ) ( : OLS modell

Eredeti

) / ) (

( )

/ (

) / : (

(WLS) OLS

modell Új

2 2 2

2 2

*

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

* 2

*















  

 

    

i i i

i

i

i i i i

i i

i i i

i

i i i

z x z

x

x V

V

x z x x

V x

z V x

z x

v z x





 



 





  _ 





Új modell OLS (WLS):

Eredeti modell OLS:

Megoldás 1. – White SE

Heteroszkedaszticitás robusztus becslés becsült együttható varianciájára

Kétváltozós modell:

Többváltozós modell:

t-teszt:

Aszimptotikusan t-eloszlású: nagy mintára használható csak

2

2 2 1

) ˆ ) (

( ˆ

xx

i i

S

u x Var _{ }



ból regresszió a

ugyanebbőg zeg

négyzetöss reziduális

:

változón magyarázó

többi jából

regresszió reziduális

:

ˆ , ) ˆ

( ˆ

2 2

j

j ij

j ij ij j

RSS

x r

RSS u Var _{ }



SE robosztus

ˆ 0

 

 t

reziduális x_j regressziójából többi magyarázó változón reziduális négyzetösszeg ugyanebből a regresszióból

Megoldás 2 – WLS

Súlyozott legkisebb négyzetek (WLS)

Ez utóbbi egyenletet becsüljük OLS-sel, ami súlyozott összeg minimalizálásának felel meg

Ha a variancia jól specifikált, akkor

– hatásosabb, mint a sima OLS (sőt BLUE), – és kismintában is t- és F-eloszlású tesztek.

2 2 2

) ( 1 ,

) ( ,





























i i

i i i

i i

i i

i i

i

v V z v

x z

z y

z u

V u

x y

 





n 

i

i i

i

x z y

1

2

2 ˆ ˆ

min 1  

Példák: WLS

y_i = α + βx_i + u_i

1. gyakori eset: Var(u_i) = σ²x_i²

y_i/x_i = α/x_i + β + u_i/x_i OLS-sel becsülendő 2. gyakori eset: Var(u_i) = σ²x_i

y_i/(x_i^1/2) = α/(x_i^1/2) + βx_i^1/2 + u_i/(x_i^1/2) OLS-sel becsülendő

Sokszor a magyarázó változó transzformálása (pl. logaritmizálása) megoldja

a heteroszkedaszticitási problémát.

Megoldás 3.: TWLS, FGLS

TWLS: two-step weighted least squares

FGLS: feasible generalalised least squares Lépések:

súlyokkal a ˆ

sel, -

WLS becslése

egyenlet Eredeti

. 6

ˆ ) ˆ exp(

értékek, illesztett

ˆ az 5.

n változóko ...,

, konstans,

ása regresszál ˆ

log . 4

...) exp(

pl.

iója, specifikác

variancia 3.

képzése hibatagok

becsült ˆ

2.

sel - OLS becslése

...

. 1

1 2

1 1 0

2

1 1

h g

h g

x x

) u ( σ x

u

u x

x y

i i

i i

ki i

i

i i

i

i ki

k i

i



























FGLS tulajdonságai

Mivel a súlyokat becsültük, a

becslőfüggvény nem torzítatlan.

De konzisztens és aszimptotikusan hatásosabb, mint az OLS.

Ha úgy gondoljuk, hogy nem specifikáltuk tökéletesen a varianciát, akkor

használhatjuk itt is a White-féle standard

hibákat.

Példa: dohányzást meghatározó tényezők vizsgálata

Adatok (forrás: Wooldridge)

CIGS: naponta elszívott cigaretták száma INCOME: éves jövedelem

CIGPRIC: egy doboz cigaretta ára (cent) EDUC: iskolai évek száma

AGE: életkor

RESTAURN: vannak-e az adott tagállamban éttermi dohányzást korlátozó rendelkezések

OLS szokásos és robusztus standard

hibákkal

Próbák

FGLS becslés

Eviews program

equation eq_ols equation eq_olsrob

eq_ols.ls cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn delete white

delete breuschpagan

freeze(white) eq_ols.hettest(type=white)

freeze(breuschpagan) eq_ols.hettest(BPG) @regs

eq_olsrob.ls(h) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast olsf

genr olsres=cigs-olsf equation eq_logu2

genr logu2=log(olsres^2)

eq_logu2.ls logu2 c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast logu2f

genr h=exp(logu2f) genr sqrth=h^(1/2) equation eq_fgls equation eq_fgls2

eq_fgls.ls(w=1/(h)^(1/2)) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn

eq_fgls2.ls cigs/sqrth 1/sqrth lincome/sqrth lcigpric/sqrth educ/sqrth age/sqrth age^2/sqrth restaurn/sqrth

Multikollinearitás

Magas korreláció magyarázó változók között:

Egyedi hatás nehezen kiszűrhető

Alapmodell feltevéseinek nem mond ellent

Tökéletes kollinearitás: függvényszerű kapcsolat

Pl.: y = β₁x₁ + β₂x₂ + u, x₂ = ax₁

y = (β₁ + aβ₂) x₁ + u

Következmények, megoldások

Becsült együttható érzékeny változók hozzáadására, kihagyására

Becsült együttható varianciája nőhet

Magas, ha hibatag varianciája nagy vagy S_ii alacsony vagy R_i² magas (multikoll.: sem szükséges, sem

elégséges)

Lehetséges megoldások

Változó kihagyása: variancia csökken, de torzítás!

Adatgyűjtés (nagyobb variancia x-ben) Változók „összevonása” (pl. hányados)

) 1

) (

( ˆ ₂

2 2

i ii

i

i RSS S R

Var     

Endogenitás

Endogenitás: az eltérésváltozó korrelált a magyarázó változóval

Y

= α + βX

+ u

E(u

|x

) ≠ 0

Következmény: β OLS becslése torz és

inkonzisztens

Endogenitás néhány lehetséges oka

Kihagyott változó (u tartalmaz valamit, ami korrelált X-szel)

Szimultaneitás (nemcsak X hat Y-ra, hanem Y is X-re: u miatt változik Y, és ez hat X-re)

Pl. kereslet–kínálati modellek

Önszelekció hatásvizsgálatokban: „kezelés”

(pl. programba való beválogatás) nem független a hibatagtól

Vállalatoknak nyújtott támogatás hatása az eredményességre

Stb.

Összefoglalás

Házi feladatok

Példatípusok a zárthelyin

Regressziós outputok értelmezése Elméleti, kifejtősebb kérdések

Hogyan ismerhetők fel a kiugró értékek, milyen teendők vannak outlierek esetén?

Gauss-Markov tétel kimondása

Előrejelzés standard hibája mitől függ az egyváltozós esetben

Rövid válaszos feladatok Igaz / hamis állítások

Gyakorlat

Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás

Maddala: 5/7, 5/8, 7/1, 7/3

Wooldridge: 8.1, 8.2, 8.3, 8.7, 8.9, (3.7, 3.11)

Megbeszélendő

Heteroszkedaszticitás tesztelése, kezelése Multikollinearitás – valóban „probléma”?

Adatok

Egészségügyi kiadások modellje

(HRS vagy SHARE rész-adatbázis)

Heteroszkedaszticitás tesztelése

Multikollinearitás: különböző jövedelem vagy vagyon indikátorok együttes bevonása