ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

2

ÖKONOMETRIA 5. hét

Többváltozós regresszió 2

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Előrejelzés

Előrejelzési hiba:

Előrejelzési hiba varianciája (k magyarázó változó)

Előrejelzési hiba varianciájának becslése

Előrejelzett várható érték és standard hibája = segédregresszió becsült konstansa és annak standard hibája

20 2 10 1

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ x x

y      

0 20 2 2 10 1 1 0

0 ˆ ( ˆ ) ( ˆ )

ˆ y x x u

y  













ˆ ) ˆ , ( ) (

) 1 (

1 ₀

1 1

0 2

m l m

m k

l k

m

l

l x x x Cov

n x

 





 

 



 

u x

x x

x y

y

x x

x x x x y E y

x x

y

u x x

y









































) (

) (

) ,

| (

ˆ ˆ ˆ

ˆ

20 2 2 10 1 1 0

20 2 10 1

20 2 10 1 0

20 2 10 1 0

2 2 1 1























3

Paraméterbecslés mintavételi eloszlása

A feltevések (normalitás, homoszkedaszticitás is) teljesülése esetén:

ahol RSSi a reziduális és TSS_i a teljes négyzetösszeg az xi regressziójából a többi magyarázó változóra, R_i² pedig ugyanennek a regressziónak

a determinációs együtthatója

(analógia egyváltozós regresszióval!)

Lényeges változók kihagyása 1.

Kétváltozós regresszió

Tényleges modell: y = β1x1 + β2x2 + u Becsült modell: y = γ₁x₁ + u

Torzítás: Corr(x₁,x₂)>0 Corr(x₁,x₂)<0

β2 >0 + –

β₂ <0 – +

Lényeges változók kihagyása 2.

k magyarázó változó, k₁+1, …, k. kihagyása

 







 



 





2 2 2

, 1

~ ,

ˆ ~

i i

i

i N TSS R

N  RSS  



2 12 1 1

2 1 1 2

1 2 1 2 2 1

1 1 1

ˆ) ( ˆ













b E

x u x x

x x x

y x

i i

i i i

i i

i i i

i i

i i i













 

 

 

u x b x

b x

k i

b E

k jk j

j

j k

k j

ji i

i





















1 1 1

1

1 1

...

,..., 1 , ˆ)

(

1







4

Lényeges változó kihagyása, példa

Bértarifa (2003)

Iskolázottság és életkor között gyenge negatív korreláció

Életkor parciális hatása poz. – kihagyva isk. becsült együtthatója enyhén lefelé torzított

Becsült egyenletek

LOG(KER) = 10.46 + 0.1547 ISKVEG9 + 0.0078 KOR LOG(KER) = 10.79 + 0.1544 ISKVEG9

Lényegtelen változók a regresszióban

Tényleges modell: y = β1x₁ + β2x₂ + u

Becsült modell: y = β1x1 + β2x2 + β3x3 + u, β3= 0 Torzítatlanságot nem befolyásolja

Variancia nő:

RSS_i: x_i regressziójából többi magyarázó változóra (plusz változó: RSS_i csökken, kivéve, ha korrelálatlan)

t-próba

„jó” becslés a hibatag varianciájára, ezért:

Kétoldali próba: H0: βi = 0, H1: βi ≠ 0 Egyoldali próba: pl. H₀: β_i = 0, H₁: β_i > 0 Konfidencia intervallum:

i

i RSS

Var

2

) (  

~ 1 ˆ 1

2 2 1 2







  ^{ }

k n k

n

RSS  _{n k}



i

i RSS

SE(ˆ)ˆ²/ ~ ₁

ˆ) ( ˆ







k n i

i

i t

SE 





ˆ) ˆ_i c SE(_i

  

5

t-próba, példa

Hitelbírálat, diszkrimináció tesztelése településenként

jóv_rátai = α + β1kisebbs_rátai + β2jöv_átli + β3vagyon_átli + ui, i = 1…n Nincs különbség kisebbségi ráta szerint

H0: β1 = 0

Negatív diszkrimináció kisebbséghez tartozókkal szemben H1: β1 < 0

Példa egy változó szignifikanciájának tesztelésére

Adott végzettség mellett tapasztaltabbak többet keresnek? (Bértarifa, 2003) log(Keri) = α + β1Iski + β2 Expi + ui

H₀: β2 = 0 H₁: β2 > 0 Dependent Variable: LOG(KER) Method: Least Squares

Included observations: 201971

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 10.556 0.004 2630.523 0.0000

ISKVEG9 0.164 0.001 320.482 0.0000

EXP 0.008 9.45E-05 79.859 0.0000

6

Példa a keresetek és iskolában töltött évek kapcsolata

log(Keri) = α + β1Iskevi + ui, 2003-as bértarifa (F-teszt egyváltozós esetben a t-teszt négyzete)

Varianciaanalízis

Használható-e a regressziós egyenlet?

Szórás forrása

Négyzet- összeg

Szabadság- fok

Átlagos négyzetö.

F

Regresszió (ESS)

R²Syy k R²Syy/k = MS1 F = MS1/MS2

Maradék (RSS)

(1 – R²)Syy n – k – 1 (1 – R²)Syy/(n – k – 1)

= MS2

Teljes (TSS)

S_yy n – 1

7

F-próba a regresszió használhatóságához

H₀: βi = 0 (i = 1,…,k) H0 teljesülése esetén

TSS ~ σ² Khi_n-1² RSS ~ σ² Khin-k-12

, ESS ~ σ² Khik2 függetlenek Ezért:

Tehát elutasítjuk H0-t, ha F > Fk,n – k – 1 eloszlás kritikus értéke

Gyakorlat

Többváltozós regresszió 2.

Gyakorló feladatok

Maddala: 4/1, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/9, 4/10 Wooldridge: 4.12, 4.14, 4.17, 4.19, 6.15 Megbeszélendő

t- és F-próbák

Előrejelzés EViews programmal Adatok

Bértarifa részminta (ld. 4. hét)

Wooldridge lakásár adatbázis (hprice.dta)

1 2 ,

2

) ~ 1 /(

) 1 (

/ )

1 /(

/



 



 



  F_{kn k}

k n R

k R k

n RSS

k F ESS