ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

(1)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

(2)

2

ÖKONOMETRIA 4. hét

Többváltozós regresszió:

becslés, tulajdonságok

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

Alapok Becslés

OLS aszimptotika

Együtthatók értelmezése Előrejelzés

t-próba, F-próba

Bevezetés

Több magyarázó változó

yi = α +β1x1i +β2x2i +…+ βkxki + ui, i = 1…n

Példa

log(Bér)i=α +β1Isk_i+β2Tapasztalat_i+u_i, i = 1…n

(3)

3

Feltevések

1. E(ui) = 0

2. V(ui) = σ² minden i-re

3. ui, uj függetlenek minden i≠j-re 4. xi, uj függetlenek minden i, j-re 5. ui normális eloszlású

6. Nincs tökéletes kollinearitás (egyik magyarázó változó sem fejezhető ki a többi lineáris függvényeként)

Endogenitás

A lényeg: exogén magyarázó változók, azaz E(u| x1, x2 ,…, xk) = 0

(1. és 4. feltevésből) Endogén magyarázó változó, ha

E(u| x_j) ≠ 0

Pl.: kihagyott magyarázó változó, ami korrelál xj -vel – torzítottság

Tökéletes kollinearitás

Lineáris függvénykapcsolat magyarázó változók között (6. feltevés nem teljesül) Példa: Jegy_i=α + β1Tanul_i+ β2Pihen_i+ β3Egyébi +u_i, i = 1…n

Tanul + Pihenés + Egyéb = 168 Egyéb = (168 – Tanul – Pihen)

(4)

4

Becslés, két változó

3 normálegyenlet (momentumok módszere) E(u) = 0

cov(u,x1) = 0 cov(u,x2) = 0

Vagy: legkisebb négyzetek módszere

Három normálegyenlet (ua. mint előbb)

Becslés, több változó

yi = α + β1x1i + β2x2i +…+ βkxki + ui, i = 1…n k + 1 ismeretlen, k + 1 normálegyenlet Reziduális négyzetösszeg: RSS = Syy(1 – R²)

R²: többszörös determinációs együttható



^u^ˆⁱ ^⁰

ˆ 0

1 



^xⁱ^uⁱ



^x²ⁱ^u^ˆⁱ ^⁰

i i

i

i y x x

uˆ  ˆˆ₁ ₁ ˆ₂ ₂

2 2 2 1 ˆ 1

ˆ,

ˆmin, ( ˆ ˆ ˆ )

2 1

i i

i x x

y

Q   



 ^



^ ^ ^

0 ) ( ˆ ) ˆ ˆ

( 2 ˆ 0

0 ) ( ˆ ) ˆ ˆ

( 2 ˆ 0

0 ) 1 ( ˆ ) ˆ ˆ

( 2 ˆ 0

2 2 2 1 1 2

1 2 2 1 1 1

2 2 1 1







 









 









 





i i

i

i i

i

x x x

Q y

x x x

Q y

x x

Q y



 



 



 

(5)

5

Becslés, mátrix

Modell: y = Xβ + u

y: n × 1, X: n × k, β: k × 1, u: n × 1

min Q = u’u = (y – Xβ)’ (y – Xβ) Q = y’y + β’X’Xβ – 2 β’X’y – 2X’y + 2X’Xβ = 0

Analógia egyváltozós regresszióval!

OLS aszimptotika, egyváltozós

Szokásos feltevések, de homoszkedaszticitás, normalitás nem kell

 





 







 





 





 





 







 





 





n k

kn n

n

k k

n u

u u

x x

x

x x

x

x x

x

y y y







2 1 2

1

2 1

2 22

12

1 21

11 2

1



y X X) β ˆ  (X '

^-¹

'



 









 

 



) (

) , (

) (

) ,

ˆ ( ˆ

x Var

u x Cov

x Var

u x x

Cov Var(x)

Cov(x,y) S

S

xx xy

plim

(6)

6

Gauss–Markov-tétel

OLS minimális varianciájú torzítatlan lineáris becslőfüggvény (BLUE)

Gauss–Markov, minimális variancia

Alternatív torzítatlan lin. becslőfüggvény

Együtthatók értelmezése

Parciális hatás (ceteris paribus)

Változó kiszűrése (x2 hatásának kiszűrése)

2 1 - 1

- 1

-

1 - 1 -

-1

) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ) ' (

ˆ )' ˆ )(

( ˆ )

Var(

an torzítatl ]

) ' ( ) ' ( [

))]

( ' ( ) ' E[(

ˆ ) E(

lineáris )

' ( ) ' ˆ (

 X X X

X X uu X

X X

β β - β β - β

u β X X β X

u Xβ X X β X

y X X β X

u Xβ y















E E

E

lineáris

torzítatlan

2 1 - 1

- 1

-

1 - 1 -

-1

) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ) ' (

ˆ )' ˆ )(

( ˆ )

Var(

an torzítatl ]

) ' ( ) ' ( [

))]

( ' ( ) ' E[(

ˆ ) E(

lineáris )

' ( ) ' ˆ (

 X X X

X X uu X

X X

β β - β β - β

u β X X β X

u Xβ X X β X

y X X β X

u Xβ y















E E

E

lineáris

torzítatlan

ˆ) Var(

) ' ( )

' (

]' ' ) ' )[(

' E(

] ' ) ' [(

)' )(

E(

) Var(

) E(

] ' ) ' ˆ [(

2 1 - 2

1 -

1 - 1

-

-1

C β C X

X

C X X X uu C X X X

-β β* -β β* β*

0 CX : n torzítatla ,

β CXβ β*

u C X X X β CXβ

β Cy β*

























torzítatlan:

ˆ) Var(

) ' ( )

' (

]' ' ) ' )[(

' E(

] ' ) ' [(

)' )(

E(

) Var(

) E(

] ' ) ' ˆ [(

2 1 - 2

1 -

1 - 1

-

-1

C β C X

X

C X X X uu C X X X

-β β* -β β* β*

0 CX : n torzítatla ,

β CXβ β*

u C X X X β CXβ

β Cy β*

























torzítatlan:

i i

i

i i

i

x x

y

x x

y

2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ



















1 2

1

2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ





























i i i

i

w v y

v x x

u x x

y

(7)

7

Példa, becslés (1)

2003-as bértarifa, egyváltozós regresszió log(Keri) = α + β1Iski + ui

Dependent Variable: LOG(KER) Method: Least Squares

Sample: 1 201971

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 10.788 0.0028 3837.18 0.000

ISKVEG9 0.155 0.0005 305.66 0.000

R-squared 0.316

Adjusted R-squared 0.316

Példa, becslés (2)

2003-as bértarifa, kétváltozós regresszió log(Keri) = α + β1Iski + β2 Expi + ui

Sample: 1 201971

C 10.556 0.004 2630.523 0.0000

ISKVEG9 0.164 0.001 320.482 0.0000

EXP 0.008 9.45E-05 79.859 0.0000

R-squared 0.337215

(8)

8

Példa, változó kiszűrése

Sample: 1 201971

C 11.580 0.00107 10791.97 0.0000

RESID 0.164 0.00051 320.4442 0.0000

R-squared 0.337053

Gyakorlat

Többváltozós regresszió:

becslés, tulajdonságok

Gyakorló feladatok: Wooldridge: 3.3, 3.7, 3.9, 3.11, 3.13, 3.14, 3.17 Megbeszélendő:

Több magyarázó változó bevonásának jelentősége (exogenitás) Feltevések OLS torzítatlanságához és hatásosságához

Együtthatók értelmezése Adatok:

Kereseti modell Bértarifa részminta alapján

Eurostat adatok: szabadalmi kérelmek száma, R&D kiadások, kutatók számának összefüggései

Resid 0.042

- 6.158

: egyenletek Becsült

 i















i i

i

Exp Isk

Ker) 10.556 0.164 0.008 log(