Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

(1)

ÖKONOMETRIA

(2)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

(3)

(4)

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

(5)

ÖKONOMETRIA

5. hét

Többváltozós regresszió 2

Elek Péter, Bíró Anikó

(6)

Előrejelzés

Előrejelzési hiba:

Előrejelzési hiba varianciája (k magyarázó változó)

20 2

10 1

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ x x

y      

0 20

2 2

10 1

1 0

0

ˆ ( ˆ ) ( ˆ )

ˆ y x x u

y              

ˆ ) ˆ ,

( )

( ) 1 (

1 ₀

1 1

0 2

m l

m m

k

l

k

m

l

l x x x Cov

n x

 



   



 

 



 

(7)

Előrejelzési hiba varianciájának becslése

Előrejelzett várható érték és standard hibája = segédregresszió becsült konstansa és annak standard hibája

u x

x x

x y

y

x x

y E y

x x

y

u x

x y

























) (

) ,

| (

ˆ ˆ ˆ

ˆ

20 2

2 10

1 1

0

20 2

10 1

20 2

10 1

0

20 2

10 1

0

2 2 1

1













(8)

Paraméterbecslés mintavételi eloszlása

A feltevések (normalitás, homoszkedaszticitás is) teljesülése esetén:

ahol RSS_i a reziduális és TSS_i a teljes négyzetösszeg az x_i regressziójából a többi magyarázó változóra, R_i² pedig ugyanennek a regressziónak

a determinációs együtthatója

(analógia egyváltozós regresszióval!)

 

^_^







 



 





2 2

2

, 1

~ ,

ˆ ~

i i

i

i N TSS R

N  RSS  



(9)

Lényeges változók kihagyása 1.

Kétváltozós regresszió

Tényleges modell: y = β₁x₁+ β₂x₂+ u Becsült modell: y = γ₁x₁+ u

Torzítás: Corr(x₁,x₂)>0 Corr(x₁,x₂)<0

β₂>0 + –

β₂<0 – +

2 12 1

1

2 1 1 2

1 2 1 2

2 1 1 1 1

ˆ ) ( ˆ









b E

x u x x

x x x

y x

i i

i i i

i i

i i i

i i

i i i









 

(10)

Lényeges változók kihagyása 2.

k magyarázó változó, k₁+1, …, k. kihagyása

u x

b x

k i

b E

k jk

j j

j k

k j

ji i

i







 





1 1

...

,..., 1

, ˆ )

(

1



(11)

Lényeges változó kihagyása, példa

Bértarifa (2003)

Iskolázottság és életkor között gyenge negatív korreláció

Életkor parciális hatása poz. – kihagyva isk.

becsült együtthatója enyhén lefelé torzított

Becsült egyenletek

LOG(KER) = 10.46 + 0.1547 ISKVEG9 + 0.0078 KOR LOG(KER) = 10.79 + 0.1544 ISKVEG9

(12)

Lényegtelen változók a regresszióban

Tényleges modell: y = β₁x₁+ β₂x₂+ u

Becsült modell: y = β₁x₁+ β₂x₂+ β₃x₃+ u, β₃= 0 Torzítatlanságot nem befolyásolja

Variancia nő:

RSS_i: x_i regressziójából többi magyarázó

változóra (plusz változó: RSS_i csökken, kivéve, ha korrelálatlan)

i

RSS

Var

2

)

(   

(13)

t-próba

„jó” becslés a hibatag varianciájára, ezért:

Kétoldali próba: H₀: β_i = 0, H₁: β_i ≠ 0 Egyoldali próba: pl. H₀: β_i = 0, H₁: β_i > 0 Konfidencia intervallum:

~

1

ˆ ) ( ˆ



k n i

i

t

SE 



ˆ ) ˆ (

i

c SE 

  

~ 1 ˆ 1

2 2 1

2



  ^ ^

k n

RSS

 

_n _k



i

i RSS

SE(ˆ ) ˆ ² /

(14)

t-próba, példa

Hitelbírálat, diszkrimináció tesztelése településenként

jóv_ráta

_i

= α + β

₁

kisebbs_ráta

_i

+ β

₂

jöv_átl

_i

+ + β

₃

vagyon_átl

_i

+ u

_i

, i = 1…n

Nincs különbség kisebbségi ráta szerint H

₀

: β

₁

= 0

Negatív diszkrimináció kisebbséghez tartozókkal szemben

H

₁

: β

₁

< 0

(15)

Példa egy változó

szignifikanciájának tesztelésére

Adott végzettség mellett tapasztaltabbak többet keresnek?

(Bértarifa, 2003)

log(Ker_i) = α + β₁Isk_i+ β₂Exp_i+ u_i H₀: β₂ = 0 H₁: β₂ > 0

Dependent Variable: LOG(KER)

Method: Least Squares

Included observations: 201971

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 10.556 0.004 2630.523 0.0000

ISKVEG9 0.164 0.001 320.482 0.0000

EXP 0.008 9.45E-05 79.859 0.0000

(16)

Példa a keresetek és iskolában töltött évek kapcsolata

log(Ker_i) = α + β₁Iskev_i+ u_i, 2003-as bértarifa (F-teszt egyváltozós esetben a t-teszt négyzete)

(17)

Varianciaanalízis

Használható-e a regressziós egyenlet?

Szórás forrása

Négyzet- összeg

Szabadság- fok

Átlagos négyzetö.

F

Regresszió (ESS)

R²S_yy k R²S_yy/k = MS₁ F =

MS₁/MS₂ Maradék

(RSS)

(1 – R²)S_yy n – k – 1 (1 – R²)S_yy/(n – k – 1)

= MS₂ Teljes

(TSS)

S_yy n – 1

(18)

F-próba a regresszió használhatóságához

H₀: β_i= 0 (i = 1,…,k)

H₀ teljesülése esetén

TSS ~ σ²Khi_n-1²

RSS ~ σ²Khi_n-k-1², ESS ~ σ²Khi_k² függetlenek

Ezért:

Tehát elutasítjuk H₀-t, ha F > Fk,n – k – 1 eloszlás kritikus értéke

1 2 ,

2

) ~ 1 /(

) 1

(

/ )

1 /(

/



 



 



  F_k _n _k

k n R

k R k

n RSS

k F ESS

(19)

Gyakorlat

Többváltozós regresszió 2.

(20)

Gyakorló feladatok

Maddala: 4/1, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/9, 4/10 Wooldridge: 4.12, 4.14, 4.17, 4.19, 6.15 Megbeszélendő

t- és F-próbák

Előrejelzés EViews programmal

Adatok

Bértarifa részminta (ld. 4. hét)

Wooldridge lakásár adatbázis (hprice.dta)