Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

3. hét

Egyváltozós regresszió 2.

Elek Péter, Bíró Anikó

Tartalom

Szórás becslése

Hipotézisvizsgálat, konfidenciaintervallum Előrejelzés

Kiugró értékek, alternatív függvényformák

Az eddigiek áttekintése 1.

y

= α + βx

+ u

Alapfeltevések:

1. E(u

) = 0

2. Var(u

) = σ

minden i-re

3. u

, u

függetlenek minden i≠j-re 4. x

, u

függetlenek minden i, j-re

5. u

normális eloszlású minden i-re: N(0, σ

)

Az eddigiek áttekintése 2.

y

= α + βx

+ u

Becslés:

Momentumok módszere OLS

Maximum likelihood

Becslőfüggvény torzítatlan – normalitás, homoszkedaszticitás nem kell!

xx xy

S

 S

 ^ˆ

Regressziós tévhit

„Átlag felé visszahúzás” normális együttes eloszlású, azonos szórású változóknál

E(Y|X = x) – m

= ρ(X – m

), ρ<1 Regressziós együttható:

Statisztikai következmény 1-nél kisebb együttható!

Példák: szülők, gyerekek magassága; első, második vizsga pontjai

xx xy

S

 S

 ^ˆ

Paraméterbecslések mintavételi eloszlása

  ^{   }

 

 

 

 ^{ } 









Var ˆ ,

ˆ ~

/ /

/ Var

) /

ˆ Var(

Var

2 2 2 2

N

S S

x x

S y

x x

S S

xx xx

i

xx i

i xx

xy















 

Szórásnégyzet becslése

       

   

 

   

 

 

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

E ˆ 2 ,

2 ~ ˆ

~

ˆ ˆ ˆ

nletekből normálegye

ˆ ˆ ˆ

0

ˆ ˆ ˆ



 













































 

 













































 





n n

RSS

Q RSS

Q

x u

u

x u

x u

x y

u

n n

n

i i

i

i i

i i

i i

i

normálegyenletekből

Chi-négyzet, t-eloszlás

n n

n n

i n

t N

x

x x x

x

~ y/n x/

Z

k függetlene

~ y ) 1 , 0 (

~

~ Z

változók eloszlású

norm.

standard független

,..., ,

2 n 1

i

2 2

1





 







Szórásnégyzet becslése – két normálegyenlet:

szabadságfok n – 2!

x

, x

,…,x

független standardnorm. eloszlású változók

függetlenek

Hipotézisvizsgálat, konfidenciaintervallum

Konfidenciaintervallum, hipotézisvizsgálat

 

 



 ^{ }





2

2 2 2

2 2 2

2

~ /

/ ˆ 1 ˆ

1 , 0

~ /

/ 1

ˆ

~ ˆ /

ˆ

1 , 0

~ /

ˆ

biz.) (nem

ˆ tól ˆ,

független 2

~ ˆ /



















 

n xx

xx

n xx

xx

n

t S

x n N

S x

n

t S

N S

n



























 









 

^

^





 _    ˆ  _ 1 /2 1 ˆ

2 /

1 ₂

2 n

n t

t SE P

független -tól (nem biz.)

Varianciaanalízis

Láttuk: RSS ~ 

χ

Ha β=0, azaz y

ftl. N(α, 

) változók, akkor

TSS ~ ²χ_n-1² (Fisher-Bartlett tétel) ESS ~ ²χ₁²

RSS és ESS függetlenek

ESS RSS

TSS

y y

y y

y

y

 









  

 ^{( )}

^{( ˆ )}

^{( ˆ )}

Varianciaanalízis (folyt.)

β=0 hipotézis esetén Szórás

forrása

Négyzet- összeg

Sz.

fok

Átl. négyzetö.

F Regr. ^{ESS = r2S}yy

= ^ˆSxy  ^ˆ2Sxx

1 MS₁ = ESS/1

~ χ₁²/1 Maradék RSS

= (1– r²)S_yy

= ⁽n²⁾^ˆ2

n – 2 MS₂ = RSS/(n –2)

~ χ_{n – 2}²/(n – 2)

F = MS₁/MS₂

=(n – 2)r²/(1– r²)

~ F_{1,n – 2}

= ˆ² /





~ t_{n – 2}² Teljes ^Syy n – 1

Előrejelzés

       

     

  ^{ }

 

 

minimális.

esetén Ez

/ /

1 1

ˆ Var ˆ ,

cov 2

Var ˆ Var ˆ

Var ˆ

an) (torzítatl

ˆ 0 ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

0

2 0

2

0 0

2 0 0

0

0 0

0

0 0

0 0

x x

S x

x n

u x

x y

y

x E

y y

E

x y

x y

xx



















































































(torzítatlan)

Ez esetén minimális.

Előrejelzések konfidencia intervallumai

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

5 10 15 20 25 30

Várható érték előrejelzése

 

 

   

  ^{ }  

 

 

 





2 0

2 0

2 0 0

0

0 0

0

0 0

Var ˆ

/ /

1

, ˆ cov ˆ

2

Var ˆ Var ˆ

Var ˆ

ˆ ) (

ˆ ˆ ˆ

y y

S x

x n

x

x y

E y

E

y x

y E

x y

E

xx































































Kiugró értékek (outlierek)

Outlier: távol esik a többi megfigyeléstől

Egymagában meg tudja változtatni a regressziós egyenest

Okok és kezelés

Adathiba (adat elhagyása)

Különleges eset (egyedi elemzés) Ugyanazok a mechanizmusok, csak kiugró adat (a többivel elemezzük)

-40 0 40 80 120 160 200 240 280 320

0 20 40 60 80 100 120

Z

y outlier nélkül outlierrel

Outlierek (folyt.): ugyanazok a regressziós egyenesek, de teljesen más kapcsolatok

4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16

3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 4 6 8 10 12 14 16

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 8 10 12 14 16 18 20

Outlierek (folyt.): a reziduálisok vizsgálata (főleg többváltozós esetben lesz értelme)

-2 -1 0 1 2

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U2

-2 -1 0 1 2 3 4

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U3

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

6 8 10 12 14 16 18 20

X4

U4

Alternatív függvényformák

y = Ae

log(y) = log(A) + βx

De nem mindegy, milyen a hibatag:

y = Ae

e

log(y) = log(A) + βx + u E(e

) ≠ e

= 1, tehát E(y) ≠ Ae

Más példák:

y = Ax

log(y) = log(A) + βlog(x)

y = A + B/x (itt csak a magyarázó változót kell

transzformálni)

Példa: keresetek és iskolai évek kapcsolata

log(Ker_i) = α + β₁Iskev_i + u_i, 2003-as bértarifa (F-teszt egyváltozós esetben a t-teszt négyzete)

Példa (folyt.): Előrejelzés

15 évnyi iskolával mennyi fizetésre számíthatunk?

Elég nagy az egyedi megfigyelések bizonytalansága.

        ^{ }

   

 

 





95 , 0

4937 ,

0 96 , 1 95 , ˆ 11

95 , 0

ve, feltételez eloszlását

normális hibatagok

A

4937 ,

0 ˆ Var

ˆ, cov 15

ˆ 2 Var ˆ 15

Var Var

an) torzítatl nem

ez de ban, -

(2003 Ft

154800 ker

95 , 11 122

, 0 15 12

, 10 log(ker)

0

2 0

0









































P

y E P

u y

y









y₀ = log(ker) = 10,12 + 15 . 0,122 = 11,95

ker = 154800 Ft (2003-ban, de ez nem torzítatlan)

A hibatagok normális eloszlását feltételezve,

Hibatagok normalitásvizsgálata:

enyhén nem normális eloszlásúak

Egyváltozós regresszió, összefoglalás

Feltevések

Becslés és tulajdonságai (torzítatlan), becsült együtthatók értelmezése

Hipotézisvizsgálat

Kiugró értékek problematikája

Gyakorlat

Egyváltozós regresszió 2.

Fogyasztási határhajlandóság becslése

FOGYJOV fájl

CONS = α + β∙INC + u 900 elemű minta

Együtthatók értelmezése, fogyasztási határhajlandóság és átlaghajlandóság számítása

t-statisztika, p-érték, R², RSS értelmezése β = 1 hipotézis tesztelése

95%-os és 99%-os konfidencia intervallum β-ra

Szignifikancia vizsgálata 30 elemű részminta esetén Előrejelzés évi 1,5 millió Ft jövedelem esetén