ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

2

ÖKONOMETRIA 3. hét

Egyváltozós regresszió 2.

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

Szórás becslése

Hipotézisvizsgálat, konfidenciaintervallum Előrejelzés

Kiugró értékek, alternatív függvényformák

Az eddigiek áttekintése 1.

yi = α + βxi + ui

Alapfeltevések:

1. E(ui) = 0

2. Var(ui) = σ² minden i-re

3. ui, uj függetlenek minden i≠j-re 4. xi, uj függetlenek minden i, j-re

5. ui normális eloszlású minden i-re: N(0, σ²)

3

Az eddigiek áttekintése 2.

y_i = α + βx_i + u_i Becslés:

Momentumok módszere OLS

Maximum likelihood

Becslőfüggvény torzítatlan – normalitás, homoszkedaszticitás nem kell!

Regressziós tévhit

„Átlag felé visszahúzás” normális együttes eloszlású, azonos szórású változóknál E(Y|X = x) – my = ρ(X – mx), ρ<1

Regressziós együttható:

Statisztikai következmény 1-nél kisebb együttható!

Példák: szülők, gyerekek magassága; első, második vizsga pontjai

Paraméterbecslések mintavételi eloszlása

xx xy

S

 S

 ^ˆ

xx xy

S

 S

ˆ

     

 

 

 













Var ˆ , ˆ~

/ /

/ Var

) / ˆ Var(

Var

2 2 2 2

N

S S

x x

S y x x S

S

xx xx

i

xx i i xx

xy















 

4

Szórásnégyzet becslése

Chi-négyzet, t-eloszlás

n n

n n i

n

t N

x

x x x x

~ ) 1 , 0 (

~

~ ,..., ,

2 2 2

1

y/n x/

Z

k függetlene

~ y Z

változók eloszlású

norm.

standard független

n 1

i















 



  

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

ˆ E 2, 2 ~

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

nletekből normálegy e

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ



 













































 

 













































 





n n

RSS

Q RSS

Q

x u

u

x u

x u

x y

u

n n

n

i i

i

i i

i i

i i

i

~

normálegyenletekből

Szórásnégyzet becslése – két normálegyenlet: szabadságfok n – 2!

5

Hipotézisvizsgálat, konfidenciaintervallum

Konfidenciaintervallum, hipotézisvizsgálat

Varianciaanalízis

Láttuk: RSS ~ ²χ_n-2²

Ha β=0, azaz y_i ftl. N(α,²) változók, akkor TSS ~ ²χn-12 (Fisher-Bartlett tétel)

ESS ~ ²χ12

RSS és ESS függetlenek

 

 



 ^{ }





2

2 2 2

2 2 2 2

~ / /

ˆ 1 1 ˆ

, 0

~ / /

1 ˆ

~ ˆ /

1 ˆ , 0

~ / ˆ

biz.) (nem ˆ tól

ˆ, független

~ 2 ˆ /



















 

n xx xx

n xx xx

n

t S x n N

S x n

t S N

S n



























 





független -tól (nem biz.)





 

^

^

 



 _     _ 1 /2 1 ˆ

2 ˆ /

1 ₂

2 n

n t

t SE P

ESS RSS

TSS

y y y

y y

y_{i i i i}

 











 



6

β=0 hipotézis esetén

Előrejelzés

Előrejelzések konfidencia intervallumai

Szórás

forrása Négyzet- összeg

Sz.

fok

Átl. négyzetö.

F Regr. ESS = r²Syy

= ˆSxy ˆ²Sxx

1 MS1 = ESS/1

~ χ12

/1 Maradék RSS

= (1– r²)Syy

= ⁽n²⁾^ˆ2

n – 2 MS2 = RSS/(n –2)

~ χn – 22

/(n – 2)

F = MS1/MS2

=(n – 2)r²/(1– r²)

~ F1,n – 2

= ˆ²/





~ tn – 22

Teljes Syy n – 1

       

     

  ^{ }

 

 

minimális.

esetén Ez

an) (torzítatl

0

2 0 2

0 0

2 0 0

0

0 0

0

0 0

0 0

/ /

1 1

ˆ Var ˆ ,

cov 2

Var ˆ ˆ

ˆ Var Var

ˆ 0 ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

x x

S x x n

u x

x y

y

x E

y y E

x y

x y

xx



















































































-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

5 10 15 20 25 30

7

Várható érték előrejelzése

Kiugró értékek (outlierek)

Outlier: távol esik a többi megfigyeléstől

Egymagában meg tudja változtatni a regressziós egyenest

Okok és kezelés

Adathiba (adat elhagyása)

Különleges eset (egyedi elemzés)

Ugyanazok a mechanizmusok, csak kiugró adat (a többivel elemezzük)

 

 

   

     

 

 

 





2 0 2

0

2 0 0

0

0 0

0

0 0

ˆ Var

/ /

1

, ˆ ˆ cov 2

Var ˆ ˆ

ˆ Var Var

ˆ ) ˆ (

ˆ ˆ

y y

S x x n x

x y

E y E

y x

y E

x y

E

xx































































-40 0 40 80 120 160 200 240 280 320

0 20 40 60 80 100 120

Z

y outlier nélkül outlierrel

8

Outlierek (folyt.): ugyanazok a regressziós egyenesek, de teljesen más kapcsolatok

Outlierek (folyt.): a reziduálisok vizsgálata (főleg többváltozós esetben lesz értelme)

4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16

3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 4 6 8 10 12 14 16

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 8 10 12 14 16 18 20

-2 -1 0 1 2

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U1

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U2

-2 -1 0 1 2 3 4

2 4 6 8 10 12 14 16

X1

U3

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

6 8 10 12 14 16 18 20

X4

U4

9

Alternatív függvényformák

y = Ae^βx log(y) = log(A) + βx De nem mindegy, milyen a hibatag:

y = Ae^βxe^u log(y) = log(A) + βx + u E(e^u) ≠ e^E(u) = 1, tehát E(y) ≠ Ae^βx

Más példák:

y = Ax^β log(y) = log(A) + βlog(x)

y = A + B/x (itt csak a magyarázó változót kell transzformálni)

Példa: keresetek és iskolai évek kapcsolata

log(Ker_i) = α + β1Iskev_i + u_i, 2003-as bértarifa (F-teszt egyváltozós esetben a t-teszt négyzete)

10

Példa (folyt.): Előrejelzés

15 évnyi iskolával mennyi fizetésre számíthatunk?

Elég nagy az egyedi megfigyelések bizonytalansága.

Hibatagok normalitásvizsgálata:

enyhén nem normális eloszlásúak

        ^{ }

   

 

 





95 , 0

4937 , 0 96 , 1 95 , ˆ 11

95 , 0

ve, feltételez eloszlását

normális hibatagok

A

4937 , 0 ˆ Var

ˆ, cov 15 ˆ 2

Var ˆ 15

Var Var

an) torzítatl nem

ez de ban, - (2003 Ft 154800 ker

95 , 11 122 , 0 15 12 , 10 log(ker)

0

2 0

0









































P y E P

u y

y









y₀= log(ker) = 10,12 + 15.0,122 = 11,95

ker = 154800 Ft(2003-ban, de ez nem torzítatlan)

A hibatagok normális eloszlását feltételezve,

        ^{ }

   

 

 





95 , 0

4937 , 0 96 , 1 95 , ˆ 11

95 , 0

ve, feltételez eloszlását

normális hibatagok

A

4937 , 0 ˆ Var

ˆ, cov 15 ˆ 2

Var ˆ 15

Var Var

an) torzítatl nem

ez de ban, - (2003 Ft 154800 ker

95 , 11 122 , 0 15 12 , 10 log(ker)

0

2 0

0









































P y E P

u y

y









y₀= log(ker) = 10,12 + 15.0,122 = 11,95

ker = 154800 Ft(2003-ban, de ez nem torzítatlan)

A hibatagok normális eloszlását feltételezve,

11

Egyváltozós regresszió, összefoglalás

Feltevések

Becslés és tulajdonságai (torzítatlan), becsült együtthatók értelmezése Hipotézisvizsgálat

Kiugró értékek problematikája

Gyakorlat

Egyváltozós regresszió 2.

Fogyasztási határhajlandóság becslése

FOGYJOV fájl

CONS = α + β∙INC + u 900 elemű minta

Együtthatók értelmezése, fogyasztási határhajlandóság és átlaghajlandóság számítása t-statisztika, p-érték, R², RSS értelmezése

β = 1 hipotézis tesztelése

95%-os és 99%-os konfidencia intervallum β-ra Szignifikancia vizsgálata 30 elemű részminta esetén Előrejelzés évi 1,5 millió Ft jövedelem esetén