Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

9. hét

Egyváltozós idősorelemzés 1.

Elek Péter, Bíró Anikó

Tartalom

Idősormodellek

Autokovariancia, autokorreláció Véletlen bolyongás, fehér zaj

Stacionárius és nemstacionárius idősorok

Trendstacionaritás és differencia-stacionaritás

Olvasandó: M 13.1, 13.3, 13.4 eleje

Idősormodellek

Idősor: X

véletlen változók sorozata,

sztochasztikus folyamat

Folytonos

pl. EKG-felvétel

Diszkrét: éves, havi, vagy akár percenként

Pl. infláció, GDP, tőzsde

Szezonalitás, időbeli trend stb.

Regresszió idősorokkal

60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000

00 01 02 03 04 05 06 07

közszféra bérei (Ft/hó)

Idősormodellek jellemzői

Együttes eloszlás: (X(t₁), X(t₂),…,X(t_n)) eloszlása Várható érték: _t = E(X_t)

Variancia: _t² = Var(X_t)

Autokovariancia: _t1,t2 = cov(X_t1, X_t2)

_t,t = _t², _t2,t1 = _t1,t2

Autokorreláció: _t1,t2 = corr(X_t1, X_t2) = _t1,t2/(_t1_t2)

_t,t = 1

Parciális autokovariancia (_t1,t2): X_t1 és X_t2 közötti

összefüggés, kontrollálva a köztük levő megfigyelésekre

Stacionárius idősorok

„Időbeli összefüggés állandó”

Szigorú stacionaritás: (X

, X

,…,X

) ~

(X

, X

,…,X

) minden (t

,t

,…,t

)-re és k-ra Gyenge stacionaritás

 = _t = E(X_t) várható érték nem függ t-től

_k = _t,t-k = cov(X_t, X_t-k) autokovariancia nem függ t-től

_k = corr(X_t, X_t-k) = _k/₀ autokorreláció

_-k = _k, ₀ = ²

_-k = _k, ₀ =1

Szigorú stacionaritás → gyenge stacionaritás,

normális eloszlású folyamat esetén fordítva is

Fehér zaj

(tisztán véletlen folyamat)

X_t = _t ,

_t ftl. azonos eloszlású

_k = 0 minden k ≠ 0-ra

néha csak ezt teszik fel, nem Gauss-folyamatra nem ekvivalens

Ha Y_t véletlen bolyongás, akkor

∆Y_t = X_t – X_t-1 fehér zaj

-3 -2 -1 0 1 2 3

25 50 75 100

Nemstacionárius idősorok

Véletlen bolyongás nem stacionárius (még  = 0 esetén sem)

Nemstacionaritás két szokásos forrása

Trend

Szezonalitás

Véletlen bolyongás

X

= 0

X

= X

+  + 

,



~ IN(0, 

)

(independent normal)

X

= t+

+

+…+



= E(X

) = t 



= Var(X

) = t 

-24 -20 -16 -12 -8 -4 0

50 100 150 200 250 300

Trendstacionárius vs.

differenciastacionárius idősorok

Determinisztikus trend (trendstacionaritás) X_t = t + Y_t, ahol Y_t stacionárius, E(Y_t) = 0

Az idősort érő sokkok hatása lecseng, a folyamat visszatér a hosszú távú trendhez

∆X_t =  + Y_t – Y_t-1 már stacionárius, E(∆X_t) =  Ezek trend + I(0) folyamatok

Sztochasztikus trend (differenciastacionaritás) X_t = X_t-1+  + Y_t, ahol Y_t stacionárius, E(Y_t) = 0

Az idősort érő sokkok hatása perzisztens, a folyamatnak nincs determinisztikus trendje

∆X_t =  + Y_t már stacionárius, E(∆X_t) = 

Ezek az elsőrendűen integrált (I(1)) folyamatok.

Determinisztikus vs. sztochasztikus trend

-50 0 50 100 150 200 250

25 50 75 100 125 150 175 200

X(t) = t+IN(0,100) X(t) = 1+X(t-1)+IN(0,100)

Motiváció: miért fontos a stacionaritás vizsgálata?

Hamis trend idősorokban 1.

Hamis trend idősorokban 2.

Hamis regresszió idősorokban

Két ftl. véletlen bolyongás

X_t = X_t-1 + _1t Y_t = Y_t-1 + _2t

Regresszió: Y_t = c + βX_t + u_t β = 0, mert függetlenek, de a t-teszt szignifikáns!

A t-statisztikának nincs is határeloszlása!

Ok: u_t nemstacionárius

Szeminárium

Egyváltozós idősorelemzés 1.

Feladatok

Egyszerű idősormodellek (fehér zaj, AR(1), véletlen bolyongás) szimulációja

Trendstacionárius és differencia-stacionárius idősorok szimulációja, mintabeli ACF és PACF Példa determinisztikus és sztochasztikus

szezonalitásra komponens illusztrálációja példán

Példa autokorrelálatlan, de nem független

idősorra