ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

2

ÖKONOMETRIA 6. hét

Többváltozós regresszió III.

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

F-próba (folyt.), Stabilitási próbák

Korrigált R², modellszelekció, Dummy változók

F-próba általánosabban

Több (r számú) korlátozás együttes tesztelése k magyarázó változós regresszióban Egymásba ágyazott hipotézisek: a modell együtthatóinak halmaza az eredetinek részhalmaza

Példa

U: y = α + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃+ u H0: β2 = 0, β3 = 0

R: y = α + β1x1 + v

3

F-próba, tesztstatisztika

Négyzetösszeg – felbontás

TSS = RESS + RRSS = RESS + (RRSS – URSS) + URSS Szabadságfokok

n – 1 = (k – r) + (n – k + r – 1) = (k – r) + r + (n – k – 1)

(nagymintában kb. ~ χ_r²/ r, ez lényegében a Wald-teszt) RRSS = Syy (1 – RR2

) URSS = Syy (1 – RU2

)

Együtthatók lineáris függvényének tesztelése

Példa: Cobb-Douglas termelési fv.

logX= α + β1logL+ β2logK + u H0: β1 + β2 = 1

t-próba: θ = β1 + β₂ β2 = θ – β1

l ogX = α + β1(logL – logK)+ θlogK + u H₀: θ = 1

t-próba közvetlenül β1 + β2 -re, felhasználva, hogy az összeg varianciája kiszámolható Var(β1^ + β2^) = Var(β1^) + Var(β2^)+ 2cov(β1^,β2^)

F-próba: β2 = 1 – β1

R: logX – logK = α + β1 (logL – logK) + u F = (RRSS – URSS) / r

~ F r,(n – k –1)

URSS /(n – k – 1) F = (RRSS – URSS) / r

~ F r,(n – k –1)

URSS /(n – k – 1)

F = (R_U²– R_R²) / r

~ F r,(n – k –1)

(1 – R_U²) / (n – k – 1) F = (R_U²– R_R²) / r

~ F r,(n – k –1)

(1 – R_U²) / (n – k – 1)

4

Stabilitási próba – 2 független adathalmaz (gyakran Chow-próbaként hivatkozva)

1. yi = α1 + β11x1i + β21x2i +…+ βk1xki + ui, i = 1…n1

2. y_i = α2 + β₁₂x_1i + β22x_2i +…+ βk2x_ki + v_i, i = 1…n2

H0: α1 = α2, β11 = β12, …, βk1 = βk2

RRSS: összevont adatbázisból, RSS1, RSS2: külön regressziókból

Stabilitási próba

– Chow-próba (prediktív)

1. y_i = α1 + β₁₁x_1i + β21x_2i +…+ βk1x_ki + u_i, i = 1…n1

2. yi = α2 + β12x1i + β22x2i +…+ βk2xki + vi, i = 1…n n – n₁ < k + 1 lehetséges (ellentétben az előzővel)

RSS1: rez. négyzetösszeg az első n1 megfigyelés alapján

RRSS: rez. négyzetösszeg az összes (n=n1+n2) megfigyelésből becsült modell szerint

Korrigált R ²

Újabb változó bevonása: RSS és szabadságfok is csökken (normálegyenletek száma nő)

F = (RRSS – RSS₁– RSS₂)/ (k + 1)

~Fk + 1, n1 + n2 – 2k – 2

(RSS₁+ RSS₂)/ (n₁+ n₂– 2k – 2) F = (RRSS – RSS₁– RSS₂)/ (k + 1)

~Fk + 1, n1 + n2 – 2k – 2

(RSS₁+ RSS₂)/ (n₁+ n₂– 2k – 2)

F =

~ F

RSS₁/ (n₁– k – 1)

F =

~ F

RSS₁/ (n₁– k – 1)

ok szabadságf

 RSS ˆ2



5

Korrigált R² :

t < 1: változó kihagyása: nő F< 1: változók kihagyása: nő

Lehetséges: t, F alapján különböző következtetés (pl. multikollinearitás)

Modellszelekció

Egymásba ágyazott hipotézisek: t- és F-próba

Nem egymásba ágyazott hip., függő változó azonos, pl.:

R&D = α + β log(bevétel) + u

R&D = α + β1 bevétel + β2 bevétel² + u

korrigált R² vagy információs kritériumok (pl. AIC) alapján AIC (Akaike információs kritérium):

RSS∙exp(2(k +1)/n)

Korrigált R ² , példa

Bértarifa (2003): tapasztalat vagy életkor a jobb magyarázó változó béregyenletben?

) 1 1(

1 ² 1 R²

k n

R n 





 



R2

R2

6

Logaritmikus formák

Log-log (loglineáris) – rugalmasság ln(y) = α + βln(x) + u

Félig logaritmikus alakok

Kvadratikus forma

Növekvő vagy csökkenő parciális hatás

Példa: Bértarifa (2003), tapasztalat négyzetes tag, becsült egyenletek log(Ker) = 9.83 + 0.135 ISKVEG9 + 0.0082 EXP

log(Ker) = 9.83 + 0.135 ISKVEG9 + 0.022 EXP – 0.00029 EXP²

0.022/(2*0.00029) = 39 évig pozitív parciális hatás (de végig csökkenő)

Interakciók

Parciális hatás függ más magyarázó változótól is

Példa: Bér és iskolázottsági prémium, függhet a cég nyereségességétől (nettó árbev. – anyagköltség)

Log(Ker) = 10.304 + 0.139 Iskveg9 + 0.092 Log(Cs_Arbev) Log(Ker) = 10.597 + 0.079 Iskveg9 + 0.043 Log(Cs_Arbev) + 0.010 (Iskveg9*Log(Cs_Arbev))





y      

ˆ ^ 1 % ^ˆ %

% ^ˆ

x y

u x y

x y

u x y

























%

%







 



100 ˆ ˆ )

ln(

100 ˆ ˆ )

ln(

1 2 1 1

2 1 2 1 1

2ˆ ˆ ˆ

x x y

u x x y













 











2 2 1 1

2 1 2 1 1

ˆ ˆ ˆ

x x y

u x x x y













 











7

Dummy változók a jobb oldalon

Eddig: főként folytonos változók

(kvantitatív információ) – pl. bér, fogyasztás, vagyon, végzettség (?) Kétértékű változók

= dummy / binary / 0 – 1 Kvalitatív információ

Példák: nem, foglalkoztatott, képzett, ország dummy…

Különböző tengelymetszet – 2 csoport

Példa:

Különböző tengelymetszet, példa

2003-as bértarifa alapján

különben budapesti,

ha ,

log(

különben ,

budapesti ha

,

1 0

, )

( )

) log(

1 2 1 2 1



























 

i i

i i i

i

i i

i i i

D D

u Isk D

Ker

u Isk

u Ker Isk

















8

Log függő változó

Becsült egyenlet

Vidéki: ceteris paribus kb. 16%-kal kisebb kereset

Pontos különbség (EViews „log” természetes logaritmus)

Több csoport

N csoport (pl. Budapest/vidék helyett kistérség)

N csoport esetén N-1 dummy a regresszióban, N. csoport: viszonyítási/benchmark csoport!

Interakciók kétértékű változók között

Példa: vidék/Bp és férfi/nő dummy + nemek közti kereseti különbség eltér vidéken és Bp-en

Négy kategória

i i

i Videk Isk

er

Kˆ ) 10.93 0.16 0.15

log(   





log 16 . 0 ) log(

) log(

16 . 0

0 1 0

1



















e

Ker Ker Ker

Ker

: külöbség kereset

os -

%

különben) (0

csoportra N.

az

..., különben), (0

csoportra 2.

a

csoportban N.

az

csoportban 2.

a

csoportban 1.

az

1 1

) (

...

) (

2

1 2

1 2 1 2 1















































N

i i N N

i

i i N

i i

i i

i

D D

u x D D

y

u x

u x

u x y



























Budapest vidék nő

férfi

Budapest vidék nő

férfi

9

Viszonyítási csoport: bp-i nők 2 ekvivalens modell

Interakciók, példa

Bértarifa becslések (benchmark: bp-i nők)

–0,1026 = –0.1726 + 0.0540 + 0.016

Nem állandó regressziós együtthatók

2 csoport esetén

→ Kétértékű változó és magyarázó változó interakciója

i i

i i i

i i

i i

i i

i i

u Isk

ffi Vidék Vidék

ffi Ker

u Isk

ffi Vidék ffi

Bp nő

Vidék Ker































































3 2

1 0

3 2

1 0

) log(

_ _

_ )

log(

csoportra 2.

a csoportra,

1.

az

csoportra 2.

csoportra 1.

1 0

)

( _{12 11 1 2 2}

1 11

2 2 1 12

2 2 1 11

































 

i i

i i i

i i

i

i i i

i i i

i

D D

u x x

D x

y

u x x

u x y x























10

Példa

Végzettség hatása nemenként eltér, de feltesszük, hogy életkor hatása azonos

Együtthatók stabilitásának vizsgálata

Példa: férfiakra – nőkre azonos-e a kereseti modell?

Keresztmetszeti vizsgálat (idősor: együttható időbeli stabilitása)

F-próba (lehet nem mindhárom együtthatóra is)

Probléma: ha N2 < k → Chow-próba (prediktív) használható (ld. 5. hét) Becslési eredmények és tesztstatisztika

i i i

i i

i Isk Isk ffi Kor u

Ker) ₀ ₁  ₂   ₃ 

log(    

0 , 0 , 0 :

) log(

3 2

2

4 3

2 1

2 1









































 H₀

i i i i

i i i

i

i ffi Isk Isk ffi Kor Kor ffi u

Ker

11

Dummy függő változó

Példák

Munkapiac: foglalkoztatott-e Fogyasztás: ingatlan tulajdonos-e Pénzügy: hitelfelvevő csődje

Kétértékű függő változó ↔ lineáris modell?

Lineáris valószínűségi modell I.

y kétértékű változó

Nemlineáris modell

ha F a normális eloszlásfv, akkor a probit, ha F(z) = e^z/(1 + e^z), akkor a logit modellt kapjuk)

Lineáris valószínűségi modell II.

1. probléma: becsült valószínűség [0,1] intervallumon kívül eshet valósz.

becsült : modell Becsült

1 ˆ:

)

| 1 ( )

| (

















y y

u x y

x x

y P x y E

i i

i  





) ( )

| 1

(y x F x

P   

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

12

Lineáris valószínűségi modell III.

2. probléma: heteroszkedaszticitás:

Megoldás

Robosztus SE használata Súlyozott LS:

Lineáris val. modell, példa

Függő változó: magán egészségbiztosítással rendelkezik-e (SHARE adatbázis) Magyarázó változók: vagyon, jöv., életkor, végzettség, ország dummyk

ˆ ) 1 ˆ ( ) )

( )

)(

) Var(

1

) 0 ) ( ,

2 2

i i i i i

i i

i i

i i

i i

i

i i i i

y y x x x

x x

x u

x x

x u x

u E u x y





















 





























(1- 1-

(1-

valósz.

valósz.

(1-

ˆ ) 1 ˆi( i

i y y

w  

0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Frequency

INSF

Előrejelzett val. hisztogramja

0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Frequency

INSF

Előrejelzett val. hisztogramja

13

Szeminárium

Többváltozós regresszió III.

Feladat: béregyenlet becslése kis bértarifa részminta alapján

Változók

Iskev (iskolai évek száma) Exp (tapasztalat)

Ker (kereset)

Teltip (településtípus – kvalitatív változó) Bp (Budapest dummy)

Ffi (férfi dummy)

Béregyenlet becslése 1.

1. modell: log(ker) modellezése a versenyszférában iskev, exp, exp², bp, ffi változókkal, továbbá az iskev, exp változók ffi változóval való interakciójával Különbözik-e szignifikánsan a férfiakra vonatkozó egyenlet a nőkétől?

Ffi, iskev*ffi és exp*ffi együtthatók együttes tesztelése Tapasztalat-profil a bp-i, 12 iskolai évvel rendelkező férfiakra

Hol a maximum?

Tapasztalat-profil ábrázolása konfidencia-intervallummal

Béregyenlet becslése 2.

2. modell: előző modell kiegészítése a megyeszékhely és egyéb város dummy változókkal

A megyeszékhely és egyéb város hatása egyenlőségének tesztelése három módszerrel

14

Közvetlenül

Átalakítás után t-teszttel

A korlátozott és korlátozatlan modell R²-ének összehasonlításával Heteroszkedaszticitás tesztelése White- és Breusch-Pagan próbákkal

Robusztus standard hibák számítása és összehasonlítása a nem robusztus hibákkal Feladat: munkapiaci részvétel becslése lineáris valószínűségi modellel