ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

2

ÖKONOMETRIA 9. hét

Egyváltozós idősorelemzés 1.

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

Idősormodellek

Autokovariancia, autokorreláció Véletlen bolyongás, fehér zaj

Stacionárius és nemstacionárius idősorok Trendstacionaritás és differencia-stacionaritás Olvasandó: M 13.1, 13.3, 13.4 eleje

Idősormodellek

Idősor: Xt véletlen változók sorozata, sztochasztikus folyamat Folytonos

pl. EKG-felvétel

Diszkrét: éves, havi, vagy akár percenként Pl. infláció, GDP, tőzsde

Szezonalitás, időbeli trend stb.

Regresszió idősorokkal

60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000

00 01 02 03 04 05 06 07

közszféra bérei (Ft/hó)

3

Idősormodellek jellemzői

Együttes eloszlás: (X(t₁), X(t₂),…,X(tn)) eloszlása Várható érték: t = E(Xt)

Variancia: t2

= Var(X_t)

Autokovariancia: t1,t2 = cov(Xt1, Xt2)

t,t = t2, t2,t1 = t1,t2

Autokorreláció: t1,t2 = corr(Xt1, Xt2) = t1,t2/(t1t2)

t,t = 1

Parciális autokovariancia (t1,t2): Xt1 és Xt2 közötti összefüggés, kontrollálva a köztük levő megfigyelésekre

Stacionárius idősorok

„Időbeli összefüggés állandó”

Szigorú stacionaritás: (Xt1, Xt2,…,Xtn) ~ (Xk+t1, Xk+t2,…,Xk+tn) minden (t1,t2,…,tn)-re és k-ra

Gyenge stacionaritás

 = t = E(X_t) várható érték nem függ t-től

k = t,t-k = cov(Xt, Xt-k) autokovariancia nem függ t-től

k = corr(X_t, X_t-k) = k/0 autokorreláció

-k = k, 0 = ²

-k = k, 0 =1

Szigorú stacionaritás → gyenge stacionaritás, normális eloszlású folyamat esetén fordítva is

4

Fehér zaj

(tisztán véletlen folyamat)

Xt = t ,

t ftl. azonos eloszlású

k = 0 minden k ≠ 0-ra

néha csak ezt teszik fel,

nem Gauss-folyamatra nem ekvivalens Ha Yt véletlen bolyongás, akkor

∆Yt = X_t – Xt-1 fehér zaj

Nemstacionárius idősorok

Véletlen bolyongás nem stacionárius (még  = 0 esetén sem) Nemstacionaritás két szokásos forrása

Trend Szezonalitás

Véletlen bolyongás

X₀ = 0

Xt = Xt-1++t ,

_t ~ IN(0,²)

(independent normal) X_t = t+₁+₂+…+_t

t = E(Xt) = t

t2

= Var(X_t) = t²

-3 -2 -1 0 1 2 3

25 50 75 100

-24 -20 -16 -12 -8 -4 0

50 100 150 200 250 300

5

Trendstacionárius vs. differenciastacionárius idősorok

Determinisztikus trend (trendstacionaritás) Xt = t + Yt, ahol Yt stacionárius, E(Yt) = 0 Az idősort érő sokkok hatása lecseng, a folyamat visszatér a hosszú távú trendhez

∆Xt =  + Yt – Yt-1 már stacionárius, E(∆Xt) =  Ezek trend + I(0) folyamatok

Sztochasztikus trend (differenciastacionaritás) Xt = Xt-1+  + Yt, ahol Yt stacionárius, E(Y_t) = 0

Az idősort érő sokkok hatása perzisztens, a folyamatnak nincs determinisztikus trendje

∆Xt =  + Yt már stacionárius, E(∆Xt) = 

Ezek az elsőrendűen integrált (I(1)) folyamatok.

Determinisztikus vs. sztochasztikus trend

-50 0 50 100 150 200 250

25 50 75 100 125 150 175 200

X(t) = t+IN(0,100) X(t) = 1+X(t-1)+IN(0,100)

6

Motiváció: miért fontos a stacionaritás vizsgálata? Hamis trend idősorokban 1.

Hamis trend idősorokban 2.

7

Hamis regresszió idősorokban

Két ftl. véletlen bolyongás Xt = Xt-1 + 1t

Y_t = Y_t-1 + 2t

Regresszió: Yt = c + βXt + ut

β = 0, mert függetlenek, de a t-teszt szignifikáns!

A t-statisztikának nincs is határeloszlása!

Ok: ut nemstacionárius

Szeminárium

Egyváltozós idősorelemzés 1.

Feladatok Egyszerű idősormodellek (fehér zaj, AR(1), véletlen bolyongás) szimulációja Trendstacionárius és differencia-stacionárius idősorok szimulációja, mintabeli ACF és PACF

Példa determinisztikus és sztochasztikus szezonalitásra komponens illusztrálációja példán

Példa autokorrelálatlan, de nem független idősorra