Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

(1)

ÖKONOMETRIA

(2)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

(3)

(4)

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

(5)

ÖKONOMETRIA

10. hét

Egyváltozós idősorelemzés 2.

Elek Péter, Bíró Anikó

(6)

Tartalom

AR-, MA-, ARMA- és ARIMA-folyamatok Box-Jenkins módszer, ARMA-modellek becslése és illeszkedésvizsgálata

Előrejelzés ARMA-modellekből

Tananyag: M 13.4-13.6

(7)

AR(1)-folyamat

 



²



2 2

1 2

0

1

0 1 2

2 1

1 / )

Var(

) Var(

1 / )

(

felírás) -

) (M A(

1

/

: és stac., modell

a akkor ,

1

|

| Ha

1 1

...

) ,

0 (

~

,





















 

 













































 

 















 



 





t t

i

i t i t

n

i

i t i n

t n n

t t

X X

X X E

X

X X X

IN X

X

Ha akkor a modell stac., és:

(MA(∞) – felírás)

(8)

ACF, PACF AR(1)-modellben

 





 







_ _ _ _

1 k

ha , 0

1 k

ha , 1

) ,

cov(

) ,

cov(

2

1 1

k

k k

t t

t k

t t

k

X X X X





















ha ha

(9)

AR(p)-folyamat

 

    



_p



_t ^t

p t

p p

t p

p t

t k k

t

t p

t p t

t t

L L

L

L L

L X

x x

X L

L L

X L X

X X

X c

X

















1 2

1

1 1

2 2 1

t i

i

1 1

p

2 2 1

2 2

1 1

1 ...

1 1

...

1

és us, stacionári X

akkor 1,

|

| gyökére

minden egyenlet

0 ...

az Ha

. ...

1

operátort, lag

a használva és

0, c

hogy Feltéve,

...





















Feltéve, hogy c = 0, és használva a lag operátort,

Ha az egyenlet minden

gyökére akkor stacionárius, és

(10)

Stacionárius AR(p)-folyamat jellemzői

 

. ha

, 0 : PACF

rekurzió.

re -

), (

ndszer egyenletre

re -

...

, ...

cov ,

cov

egyenletek Walker

- Yule :

ACF

...

1 /

k - k

2 2

1 1

2 2 1

1

1 1

2 1

p k

X X

X c

X X

c X

E

k

p k p k

k k

p k p k

k

k t t p

t p t

k t t k

p t



































































ACF: Yule–Walker egyenletek

-re egyenletrendszer -re rekurzió

PACF

(11)

Példa: AR(1)-folyamat

X

_t

= 0,7X

_t–1

+ 

_t

(ACF egyszerű)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

25 50 75 100

(12)

Példa: AR(2)-folyamat

X

_t

= 0,4X

_t–1

+ 0,5X

_t–2

+ 

_t

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

25 50 75 100

(13)

MA(1) folyamat

 

   

 

stac.

ra - minden :

X

hoz -

0 a lecseng :

1

ha 0

1 /

1

ha 0

1 Var

t

2 1

2 2

0

1































k k k

t t

t

k k X

c X

E c X



















 _

lecseng a 0-hoz minden β-ra stac.

ha

(14)

MA(q)-folyamat

 

   

stac.

re - minden

: X

hoz -

0 a lecseng :

/

. ha

0,

0 ha ,

...

1 Var

...

i t

0 0 2

2 2

1 2

0

1 1











 



















k

k k

k q

i

k i i k

q t

t

q t q t

t t

q k

X

c X

E c X













 











^

 



ha ha

lecseng a 0-hoz minden β_i-ra stac.

(15)

Példa: MA(1)-folyamat

X

_t

=

_t

+0,7

_t-1

(ACF egyszerű)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

25 50 75 100

(16)

ARMA(p,q)-folyamat

X_t = c + α₁X_t-1+ …+ α_pX_t-p+



_t+ β₁



_t-1+ … + β_q



_t-q

Stacionárius, ha AR(p)-komponense stacionárius (karakterisztikus egyenlet gyökei…)

ACF és PACF sem 0, de mindkettő 0-hoz tart (exponenciális sebességgel).

Megjegyzés: ACF PACF

AR(p) lecseng 0-hoz k>p esetén 0 MA(q) k>q esetén 0 lecseng 0-hoz

(17)

ARIMA(p,d,q)-folyamat

X_t ARIMA(p,1,q)-folyamat, ha X_t stacionárius ARMA(p,q)-folyamat.

Hasonlóan, X_t ARIMA(p,d,q)-folyamat, ha X_t ARIMA(p,d–1,q)-folyamat.

ARIMA(p,d,q) integráltsága I(d).

Példák:

ARIMA(0,1,0): X_t– X_t-1 = _t a véletlen bolyongás.

ARIMA(1,1,0): X _t– X_t-1 = (X_t-1– X_t-2) + _t, ahol ||<1.

Azaz X_t= (1 + )X_t-1– X_t-2+ _t egy nemstacionárius AR(2)-folyamat.

(18)

Példa: ARMA(1,1)-folyamat

-6 -4 -2 0 2 4 6

25 50 75 100

(19)

Korrelogram becslése

Korrelogram: a



_k autokorrelációk ábrázolása Becslés:

Csak stacionárius esetben van értelme, és akkor

konzisztens (azaz nagy T esetén jól becsüli



_k-t).

  

 







 



 _T

t

t k

T

t

k t t

k

X X

1

2

ˆ 1



(20)

Box-Jenkins-modellezés

Differencia-képzés

Addig differenciáljuk az idősort, amíg stacionárius nem lesz.

Identifikáció

ARMA-modell p, q rendjeinek „megsejtése”

korrelogram alapján

Becslés

Modellilleszkedés vizsgálata

(21)

ARMA-modellek becslése

AR-modell esetén egyszerű

legkisebb négyzetek módszere (becsült innovációk (_t) négyzetösszegének minimalizálása)

stacionárius esetben konzisztens és aszimptotikusan normális

MA vagy ARMA-modell esetén

teljes maximum likelihood módszer vagy keresési eljárások

kezdeti innovációkat 0-nak választva, a további innovációk a paraméterek függvényében kiszámolhatók, és

négyzetösszegük minimalizálható

(22)

Modellszelekciós kritériumok ARMA-modellekben

Kontrollálnak arra, hogy több paraméterrel „látszólag” jobb illeszkedést kapunk.

Minimalizálva őket kapjuk az „optimális” modellnagyságot.

Példák:

Akaike információs kritérium AIC = n·log(RSS/(n – s)) + 2s

Bayes-i (Schwartz-féle) információs kritérium BIC = n·log(RSS/(n – s)) + s · logn

ahol:

s: becsült paraméterek száma RSS: innovációk négyzetösszege n: mintanagyság

(23)

Reziduumok autokorrelálatlanságának vizsgálata

 

) nagymintás alatt,

(H

~

... ˆ ˆ

ˆ ˆ

on innovációk az

regresszió :

teszt -

Godfrey -

Breusch

) nagymintás alatt,

(H ˆ ~

2

: teszt -

Box -

Ljung

0

ációja autokorrel

k.

innovációk :

0 2

2

2 2 1

1

0 2

1 2 2

1 0

m

t m

t m t

t t

s m m

k

k LB

m k

NR

u b

b b

n-k n r

n Q

r ...

r : r

H r

















 



innovációk k. autokorrelációja

Ljung–Box-teszt

Breusch–Godfrey-teszt: regresszió az innovációkon H₀ alatt, nagymintás

H₀ alatt, nagymintás

(24)

Példa: fehér zaj teszt

S&P500 logaritmikus hozamokra

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

1000 2000 3000 4000 5000

-.25 -.20 -.15 -.10 -.05 .00 .05 .10

1000 2000 3000 4000 5000

(25)

Fehér zaj teszt (folyt.):

alacsony, talán szignifikáns autokorreláció de: eredmények értékelésével vigyázni kell

a változó volatilitás (szórás) miatt!

(26)

Előrejelzés ARIMA-modellekkel

   

t t

t

t t t

t t

t

t t t

t t

X X

I X

X E

I X

E X

X X

I X

X E

I X

E X

X X I

X X

X































































ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

| ˆ |

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

| ˆ |

,...) ,

( ben -

t halmaz inform.

s Előlőrejel

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ 0 , ˆ 0

innovációk Becsült

2 2

1 1

2 1

1 2

2 1

1 2

1

1 2 1

1 2

1

1 2 1

1 1

2 1

1 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1 1

0

































Becsült innovációk

Előrejelzés

inform. halmaz t-ben

(27)

Előrejelzések fajtái, értékelésük

Előrejelzések

mintán belüli („in sample”) mintán kívüli („out of sample”)

Mérőszámok: átlagos négyzetes előrejelzési hiba (RMSE), átlagos abszolút eltérés (MAE)

Modell becslése: [1,T] intervallumon, értékelése [T+1,T+m]

intervallumon

 

m X X

RMSE

m T

T t

t



^ t







 ¹

ˆ 2

m X X

MAE

m T

T t

t

^ t







 ¹

ˆ |

|

(28)

Szeminárium

Egyváltozós idősorelemzés 2.

(29)

Feladatok I.

AR(1), MA(1), AR(2) és MA(2) idősorok szimulálása

ACF és PACF függvényük ábrázolása, majd elméleti meghatározása a Yule–Walker

egyenletek alapján

AR(2) modell stacionaritásának vizsgálata a

karakterisztikus egyenlet gyökei alapján

(30)

Feladatok: vállalati

kötvényhozamok idősora I.

Stacionaritás vizsgálata a korrelogram szemrevételezésével

Különböző ARMA-modellek becslése Illeszkedésvizsgálat és modellválasztás

Paraméterek szignifikanciája

Reziduumok autokorrelálatlansága a Ljung-Box és a Breusch-Godfrey-teszt alapján