Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

7. hét

Becslések összefoglalása és nagymintás elmélet

Elek Péter, Bíró Anikó

Regressziós modell

y_i= α + β₁x_1i + β₂x_2i +…+ β_kx_ki + u_i, i=1…n Feltevések:

1. E(u_i) = 0

2. u_i, u_j függetlenek minden i≠j-re

3. x_i, u_j függetlenek minden i, j-re (exogenitás) 4. nincs tökéletes kollinearitás

5. Var(u_i) = ² minden i-re 6. u_i normális eloszlású

1–5.: Gauss–Markov-feltételek

1–6.: klasszikus lineáris modell feltételei

Feltételek máshogyan (nagymintás elmélethez – sztochasztikus magyarázó változók)

1. A populációs modell: y = α + β₁x₁ + β₂x₂ +…+ β_kx_k + u.

2. {(x_1i,x_2i,…,x_ki,y_i), i = 1,…,n} független véletlen minta a modellből

3. Egyik magyarázó változó sem konstans, és a magyarázó változók között nincs tökéletes multikollinearitás

4. Exogenitás: E(u|x₁,…,x_k) = 0

5. Homoszkedaszticitás: Var(u|x₁,…,x_k) = σ²

6. u független a magyarázó változóktól, és eloszlása normális

1–5.: Gauss–Markov feltételek

1–6.: klasszikus lineáris modell feltételei

Többváltozós regresszió becslés

Becslés: momentumok módszere vagy

legkisebb négyzetösszeg alapján (de normális hibatag esetén ML-becslés is)

Mátrix

2 2

2 1

ˆ 1

ˆ, ( ˆ ˆ ˆ ... ˆ )

min Q _i y_i x _i x _{i k} x_ki

k











 ^



) ' ( ) '

ˆ ( X X

X y β

u

Xβ

y   

Egyváltozós eset

i i

i i

i

i i

xx xy

x y

y y

u

x y

x y

S S









































ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

 

  

 

2 2 2

y n y

y y

S

y x n y

x y

y x x

S

x n x

x x

S

i i

yy

i i i

i xy

i i

xx

































 



Többváltozós regresszió értelmezés

Együtthatók értelmezése

Parciális hatás („ceteris paribus”): adott

magyarázó változó hatása függő változóra, többi magyarázó változó fixen tartása mellett

Többszörös determinációs együttható: R

RSS = S

(1 – R

)

Becslés kismintás tulajdonságai

Az 1–4. feltételek teljesülése esetén az OLS-becslés torzítatlan.

Az 1–5. (Gauss–Markov) feltételek teljesülése esetén a becslés BLUE, és a paraméterbecslések szokásos varianciája helyes

Az 1–6. (klasszikus lineáris modell) feltételek esetén a t-, F-statisztika t-, ill. F-eloszlású (minden

mintaelemszám esetén).

i

i RSS

Var

2

ˆ )

(  

Többváltozós regresszió, t-próba

Kétoldali próba: pl. H₀: β_i = 0, H₁: β_i ≠ 0 Egyoldali próba: pl. H₀: β_i = 0, H₁: β_i > 0

Normális hibatagok esetén:

~ 1

ˆ ) ( ˆ







k n i

i

i t

SE 





i

i RSS

Var

2

ˆ )

(  

ˆ

1



 

k n

 RSS

Egyváltozós eset





2

2 2

~ /

/ ˆ 1

ˆ

~ ˆ /

ˆ











n xx

n xx

t S

x n

t S













Többváltozós regresszió, F-próba

Egymásba ágyazott hipotézisek tesztelése Több korlátozás együttes tesztelése

) 1 ( 2 ,

2 2

2 1

0

2 2

) 1 ( 2 ,

2 2

) ~ 1 /(

) 1

( /

0

0 ...

: H

: atlansága használhat

Regresszió

) 1

(

) 1

(

) ~ 1 /(

) 1

(

/ ) (

) 1 /(

/ ) (













 























 





 

k n k U

U R

k

U yy

R yy

k n r U

R U

k F n R

k F R

R

R S

URSS R

S RRSS

k F n R

r R

R k

n URSS

r URSS F RRSS







Regresszió használhatatlansága

Varianciaanalízis

Szórás forrása

Négyzet- összeg

Szabads.- fok

Átl.

négyzetö. F

Regr. R²S_yy k R²S_yy/k = MS₁ ^{F =}

= MS₁/MS₂ Maradék (1 – R²)S_yy n – k – 1 (1 – R²)S_yy/(n – k – 1) =

= MS₂ Teljes S_yy n – 1

Nagymintás eredmények 1.

Konzisztencia

Az 1–4. feltételek teljesülésekor az OLS becslés konzisztens. Egyváltozós esetre a bizonyítás







 









 

 





) (

) , (

) (

) ,

ˆ ( plim

ˆ

x Var

u x Cov

x Var

u x

x Cov Var(x)

Cov(x,y) S

S

xx xy

Nagymintás eredmények 2.

Aszimptotikus normalitás

Az 1–5. (Gauss–Markov) feltételek teljesülése esetén az OLS becslés aszimptotikusan normális

Tehát a szórás n^1/2 nagyságrendben tart nullához.

A σ² szokásos becslése konzisztens, így a szokásos t-teszt aszimptotikusan érvényes (még a 6. – normalitási – feltétel nélkül is)!

  ^{ }

) 1

( )

1 ) (

( ˆ

, 0 ˆ ~

2 2

2 2

2

i x

i i

i

aszimpt i

i

R R

n TSS Var

n c

c N

n

i 

 















 





Nagymintás eredmények 3.

F-teszt és hasonlók

Az 1–5. feltételek esetén (tehát nem kell a 6. (normalitási) feltétel) az F-teszt aszimptotikusan érvényes.

További nagymintás tesztek (csak aszimptotikusan érvényesek):

Wald-teszt: n(RRSS – URSS)/URSS ~ χ_r²

a regresszió használhatatlanságára: nR²/(1 – R²) ~ χ_k² Lagrange-multiplikátor (LM) teszt: n(RRSS – URSS)/RRSS ~ χ_r²

a regresszió használhatatlanságára: nR² ~ χ_k²

Modellszelekció

Korrigált R²

Egymásba ágyazott hipotézisek: t- és F-próba Nem egymásba ágyazott hipotézis, függő

változó azonos: korrigált R², információs

kritériumok (AIC, BIC – log-likelihood alapján) )

1 1(

1 ² 1 R²

k n

R n 





 



Lényeges változók kihagyása

Kihagyott változó korrelál bennhagyott

változókkal: torzított becslés (endogenitás) Kétváltozós regresszió

Torzítás: Corr(x

,x

)>0 Corr(x

,x

)<0

β

>0 + –

β

<0 – +

Lényegtelen változó bevonása

Tényleges modell: y = β₁x₁ + β₂x₂ + u

Becsült modell: y = β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + u, β₃ = 0

Torzítatlanságot nem befolyásolja (nincs endogenitás)

Variancia nő:

i

i RSS

2

)

Var(  

Egyéb témák

Előrejelzés Outlierek

Alternatív függvényformák Stabilitási tesztek

Dummy változók

Négyzetes tagok, interakciók

Heteroszkedaszticitás stb.

Gyakorlat

Z árthelyi dolgozat