Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

2. hét

Egyváltozós regresszió 1.

Elek Péter, Bíró Anikó

Alapok, példák

A regressziós modell alapfeltevései A paraméterek értelmezése

Becslési módszerek

Legkisebb négyzetek (OLS) Momentumok módszere

(Maximum likelihood módszer)

A becslés tulajdonságai, mintavételi eloszlása

Tartalom

Bevezetés

Egyváltozós regresszió:

y = árbevétel

x = reklámra fordított kiadások

Többváltozós regresszió:

y = munkavállaló bére x1 = képzettség

x2 = munkatapasztalat x3 = lakóhely stb.

Célok:

olyan döntések y-ra való hatását vizsgálni, amelyek az x-eket megváltoztatják

y változót előrejelezni x-ek segítségével

eldönteni, van-e bármelyik x-nek szignifikáns hatása y-ra

Egyváltozós (lineáris) regresszió: alapok 1.

y_i = α + βx_i + u_i (sztochasztikus kapcsolat)

y x

előrejelzett változó előrejelző változó magyarázott változó magyarázó változó függő változó független változó Eredményváltozó okváltozó

u hibatag:

véletlenszerű emberi reakciók előrejelezhetetlensége nagyszámú kihagyott véletlen változó hatása

az y mérési hibája

Egyváltozós regresszió: alapok 2.

Regressziós paraméterek:

tengelymetszet meredekség

A regresszió eredete: Francis Galton

gyermekek (y) és szüleik (x) testmagassága közötti összefüggés

y = m + x

<1 adódott: „regression to the mean”

(átlaghoz való visszatérés)

Alapfeltevések

1. E(u

) = 0

2. u

, u

függetlenek minden i≠j-re 3. x

, u

függetlenek minden i, j-re

biztosan teljesül, ha x_i-k nem véletlen változók

4. Var(u

) = σ

minden i-re (homoszkedaszticitás)

5. u

normális eloszlású minden i-re: N(0, σ

)

Értelmezés

(1) és (3) következménye: exogenitás, azaz E(u_i| x_k) = 0 minden i,k-ra

Tehát E(y_i|x_i) = α + βx_i

Ezért β értelmezése parciális hatásként:

α értelmezése: α = E(y_i|x_i = 0)

 

i i

x x y

E



  |



Becslés 1.

Legkisebb négyzetek (OLS)

Két normálegyenlet:





i

i

i x

y

Q ²

, ˆ

ˆ ( ˆ ˆ )

min  





0 ) (

ˆ ) ˆ

( 2 ˆ 0

0 ) 1 ( ˆ ) ˆ

( 2 ˆ 0











 













 







i i

i i

i

i i

x x

Q y

x Q y



 



 

Becslés 2.

Momentumok módszere (MM)

Momentumok módszere: elméleti momentumokat egyenlővé tesszük a tapasztalati momentumokkal

(pl. várható értéket mintaátlaggal, varianciát mintabeli varianciával)

Normálegyenletek (ugyanaz, mint előbb):

E(u) = 0 cov(u,x) = 0

ahol

Egyenletrendszer:

ˆ  0



^{uˆi  0}

i i

i y x

u_ˆ  _ˆ ^ˆ

0 ˆ )

( ˆ

0 ˆ )

( ˆ

















i i

i i

i

i i

x x y

x y









Becslés 3.

Maximum likelihood (ML) módszer

Emlékeztető: adott mintaelemek (y_i) alapján keressük azt a



valószínűsége” a lehető legnagyobb:

0

max )

( log )

( log )

(

max )

( )

(

1 1

 

































l

y f

L l

y f

L

i n

i n

i

i

Eredmény: OLS-nél már látott egyenletek (ha a hibák normális eloszlásúak)

 

 

 

 

2 0 2

2 0 2

log 2 )

, , ( log )

, , (

exp 2 2

) 1 , , (

2 1

2 1

2 1

2 1

2

2











 











 

















 



  

































































 





n

i

i i i

n

i

i i

n

i

i i

n

i

i i

x x l y

x l y

x y

n C L

l

x L y

Becslőfüggvény

i i

i i

i

i i

xx xy

x y

y y

u

x y

x y

S S









































ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ



  











ˆ 2

ˆ ˆ ˆ

i i

i i

i i

x x

y x

x n

y



















ˆ 2

ˆ ) (

ˆ ˆ

i i

iy nx y x x

x

x y









 

  

 

2 2 2

y n y

y y

S

y x n y

x y

y x x

S

x n x

x x

S

i i

yy

i i i

i xy

i i

xx





























 

 



„Merőlegességi” összefüggések

A normálegyenletek más formában:

Ezért:

 





i i i

u x u 0 ˆ

0 ˆ

 





ˆ

ˆ 0 ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 0













 

 

y y

u

x u

y u

y u

i i

i i

i i i





Teljes négyzetösszeg felbontása

Total

Explained Residual

Más könyvek fordítva használják („regression” ill. „error”)

ESS RSS

TSS

y y

y y

y

y













  

 ^{( )}

^{( ˆ )}

^{( ˆ )}

 

       





xy xx

i i

yy i

S S

ESS TSS

y y

RSS

S S

x x

y y

ESS

S y

y TSS

































































 ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

2

2 2 2

2

Korreláció, determinációs együttható

r

: x

és y

tapasztalati korrelációs együtthatója

r

: determinációs együttható

TSS ESS S

S S

S S r S

yy xx xy

yy xx

xy

xy    ² /  

A becslőfüggvény torzítatlansága

Itt úgy vezettük le, hogy x_i-k rögzítettek, de akkor is érvényes, ha véletlen változók

(könnyen belátható)

Nem kell hozzá a hibatagok normalitása, sőt a homoszkedaszticitása sem









 















 



 





 

 

 

x E

y E x

y E E

x x

x x

x x

x x

y y

E x E x

i

i i

i

i i

ˆ) ( )

( ˆ )

( ˆ)

(

) (

) (

) (

) (

) (

) ) (

( ˆ _{2 2}

A becslőfüggvény optimalitási tulajdonsága

BLUE (best linear unbiased estimator):

a homoszkedaszticitás feltételezése mellett a becslésünk a torzítatlan lineáris becslések között a legkisebb varianciájú

(részletesebben ld. a többváltozós esetben)

Ha ráadásul normális eloszlású is a hiba, akkor az összes torzítatlan becslés között a legjobb

Példa

2003-as bértarifa, egyváltozós regresszió:

log(Ker_i)=α +β₁Isk_i +u_i

Értelmezés

Eggyel több iskolai év 0,12 egységgel növeli log(bér) változót

Azaz 12%-kal növeli a bért Előrejelzésre jó lehet

De: ok-okozati összefüggés-e (exogenitás)?

Nem biztos, pl.

munkatapasztalat (mérhető)

tehetség (nehezebben mérhető)

Paraméterbecslések mintavételi eloszlása (x

-k rögzített értéke esetén)

  



 

 

 

 

 

 

 

 

 

kell....

becsülni is

t - de

ˆ Var , ˆ ~

Var ˆ , ˆ ~

: is normálisak hibák

a Ha

ˆ / ˆ, cov

/ /

ˆ 1 Var

/ /

/ Var

) /

ˆ Var(

Var

: mellett szticitás

Homoszkeda

2

2 2

2 2 2

2































N N

S x

S x n

S S

x x

S y x x S

S

xx

xx

xx xx

i

xx i

i xx

xy























 

Homoszkedaszticitás mellett

Ha a hibák normálisak is

de σ-t is becsülni kell…

2. gyakorlat

EViews használata, egyváltozós regresszió

Az EViews-ról

Statisztikai – ökonometriai szoftver

Felhasználóbarát, idősoros elemzésre nagyon jó Help fájlok (User’s guide)

Stata:

több beépített eljárása van, és jobban programozható keresztmetszeti és panel elemzésre jobban használható

Gretl:

ingyenesen letölthető, BA szinten megfelelő

panel- és többváltozós idősor-modellekre hiányos

Statisztikai szoftverek: SPSS, R

Adatok betöltése 1.

File/new/workfile – undated

Objects/new object/series – edit Copy – paste

Name

Adatok betöltése 2.

File/new/workfile – undated

Procs/Import/Read text-lotus-excel

Forrásfájl legyen bezárva!

Excel sheet name…

Names for series: pl. hours tax – mindkét adatsort beolvassa

Változók kezelése

Megnyitás, deskriptív statisztikák, grafikonok

View/Descriptive statistics View/Graph

Több adatsor együttesen is kijelölhető (open as group)

Változó generálás (genr) Minta: smpl

smpl 1 20 smpl @all

Vagy: quick/sample

Regresszió

Quick/estimate equation …

Konstanst feltüntetni! (c)

Method: OLS az alapbeállítás

Vagy:

equation name.ls …

1. példa – állami kiadások, GDP

Eurostat adatok

Miért függhet össze? Okság iránya?

Grafikon (scatterplot) Regresszió becslése

Együttható értelmezése

Szignifikancia – t-teszt, F-teszt (Wald)

Reziduumok: View/Resid.tests/histogram

Problémák?

2. példa – ledolgozott munkaórák, határadókulcs

OECD adatok

Miért függhet össze? Okság iránya?

Együttható várható előjele?

Grafikon (scatterplot) Regresszió becslése

Együttható értelmezése Szignifikancia – t-teszt R-négyzet értelmezése

Becsült érték: forecast