ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

(1)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

(2)

2

ÖKONOMETRIA 7. hét

Becslések összefoglalása és nagymintás elmélet

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Regressziós modell

yi= α + β1x1i + β2x2i +…+ βkxki + ui, i=1…n Feltevések:

1. E(u_i) = 0

2. ui, uj függetlenek minden i≠j-re

3. xi, uj függetlenek minden i, j-re (exogenitás) 4. nincs tökéletes kollinearitás

5. Var(ui) = ² minden i-re 6. ui normális eloszlású

1–5.: Gauss–Markov-feltételek

1–6.: klasszikus lineáris modell feltételei

(3)

3

Feltételek máshogyan (nagymintás elmélethez

– sztochasztikus magyarázó változók)

1. A populációs modell: y = α + β₁x₁+ β₂x₂+…+ β_kx_k+ u.

2. {(x1i,x2i,…,xki,yi), i = 1,…,n} független véletlen minta a modellből

3. Egyik magyarázó változó sem konstans, és a magyarázó változók között nincs tökéletes multikollinearitás

4. Exogenitás: E(u|x₁,…,xk) = 0

5. Homoszkedaszticitás: Var(u|x1,…,xk) = σ²

6. u független a magyarázó változóktól, és eloszlása normális 1–5.: Gauss–Markov feltételek

1–6.: klasszikus lineáris modell feltételei

Többváltozós regresszió becslés

Becslés: momentumok módszere vagy legkisebb négyzetösszeg alapján (de normális hibatag esetén ML-becslés is)

Mátrix

Egyváltozós eset

2 2

2 1 ˆ 1

ˆ, ( ˆ ˆ ˆ ... ˆ )

minQ _i y_i x_i x _i _kx_ki

k



 

 ^



^ ^ ^ ^ ^

) ' ( ) '

ˆ (XX ^-1 Xy β

u Xβ

y  

 

  

 

² ² ²

2 2 2

y n y y

y S

y x n y x y

y x x S

x n x x

x S

i i

yy

i i i

i xy

i i

xx



























 



i i

i i i

i i

xx xy

x y

y y u

x y

x y S S





































ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

(4)

4

Többváltozós regresszió értelmezés

Együtthatók értelmezése

Parciális hatás („ceteris paribus”): adott magyarázó változó hatása függő változóra, többi magyarázó változó fixen tartása mellett

Többszörös determinációs együttható: R² RSS = S_yy(1 – R²)

Becslés kismintás tulajdonságai

Az 1–4. feltételek teljesülése esetén az OLS-becslés torzítatlan.

Az 1–5. (Gauss–Markov) feltételek teljesülése esetén a becslés BLUE, és a paraméterbecslések szokásos varianciája helyes

Az 1–6. (klasszikus lineáris modell) feltételek esetén a t-, F-statisztika t-, ill.

F-eloszlású (minden mintaelemszám esetén).

Többváltozós regresszió, t-próba

Kétoldali próba: pl. H0: βi = 0, H1: βi ≠ 0 Egyoldali próba: pl. H0: βi = 0, H₁: βi > 0 Normális hibatagok esetén:

i

i RSS

Var

2

ˆ ) (  

~ 1

ˆ) ( ˆ



k n i

i

i t

SE 



i

i RSS

Var

2

ˆ ) (  

ˆ² 1



  k n

 RSS

(5)

5

Egyváltozós eset

Többváltozós regresszió, F-próba

Egymásba ágyazott hipotézisek tesztelése Több korlátozás együttes tesztelése

Varianciaanalízis



²



²

2

2 2

~ / /

ˆ 1 ˆ

~ ˆ /

ˆ







n xx

t S x n

t S









) 1 ( , 2

2 2

2 1

2 2

) 1 ( 2 ,

2 2

)~ 1 /(

) 1 (

/ 0

0 ...

:

) 1 ( )

1 (

)~ 1 /(

) 1 (

/ ) (

) 1 /(

/ ) (



 













 



 

k n k U

U R

k

U yy R

yy

k n r U

R U

k F n R

k F R

R

R S URSS R

S RRSS

k F n R

r R R k

n URSS

r URSS F RRSS

H

: atlansága használhat

Regresszió

0   

Regresszió használhatatlansága

) 1 ( , 2

2 2

2 1

2 2

) 1 ( 2 ,

2 2

)~ 1 /(

) 1 (

/ 0

0 ...

:

) 1 ( )

1 (

)~ 1 /(

) 1 (

/ ) (

) 1 /(

/ ) (



 













 



 

k n k U

U R

k

U yy R

yy

k n r U

R U

k F n R

k F R

R

R S URSS R

S RRSS

k F n R

r R R k

n URSS

r URSS F RRSS

H

: atlansága használhat

Regresszió

0   

Regresszió használhatatlansága

Szórás forrása

Négyzet- összeg

Szabads.- fok

Átl.

négyzetö. F

Regr. R

²

S

yy

k R

²

S

yy

/k = MS

1 F =

= MS1/MS2

Maradék (1 – R

²

)S

yy

n – k – 1 (1 – R

²

)S

yy

/(n – k – 1) =

= MS

2

Teljes S

yy

n – 1 Szórás

forrása

Négyzet- összeg

Szabads.- fok

Átl.

négyzetö. F

Regr. R

²

S

yy

k R

²

S

yy

/k = MS

1 F =

= MS1/MS2

Maradék (1 – R

²

)S

yy

n – k – 1 (1 – R

²

)S

yy

/(n – k – 1) =

= MS

2

Teljes S

yy

n – 1

(6)

6

Nagymintás eredmények 1.

Konzisztencia

Az 1–4. feltételek teljesülésekor az OLS becslés konzisztens. Egyváltozós esetre a bizonyítás

Nagymintás eredmények 2.

Aszimptotikus normalitás

Az 1–5. (Gauss–Markov) feltételek teljesülése esetén az OLS becslés aszimptotikusan normális

Tehát a szórás n^1/2 nagyságrendben tart nullához.

A σ² szokásos becslése konzisztens, így a szokásos t-teszt aszimptotikusan érvényes (még a 6. – normalitási – feltétel nélkül is)!

Nagymintás eredmények 3.

F-teszt és hasonlók

Az 1–5. feltételek esetén (tehát nem kell a 6. (normalitási) feltétel) az F-teszt aszimptotikusan érvényes.



 









 

 



) (

) , (

) (

) ,

ˆ ( ˆ

x Var

u x Cov

x Var

u x x

Cov Var(x)

Cov(x,y) S

S

xx xy

plim

   

) 1 ( ) 1 ) (

( ˆ

, 0 ˆ ~

2 2

2

i x i i i

aszimpt i

i

R R

n TSS Var

n c

c N n

i 

 













 



(7)

7

További nagymintás tesztek (csak aszimptotikusan érvényesek):

Wald-teszt: n(RRSS – URSS)/URSS ~ χr2

a regresszió használhatatlanságára: nR²/(1 – R²)~ χk2

Lagrange-multiplikátor (LM) teszt: n(RRSS – URSS)/RRSS ~ χ_r²

a regresszió használhatatlanságára: nR²~ χk2

Modellszelekció

Korrigált R²

Egymásba ágyazott hipotézisek: t- és F-próba

Nem egymásba ágyazott hipotézis, függő változó azonos: korrigált R², információs kritériumok (AIC, BIC – log-likelihood alapján)

Lényeges változók kihagyása

Kihagyott változó korrelál bennhagyott változókkal: torzított becslés (endogenitás) Kétváltozós regresszió

Tényleges modell: y = β1x1 + β2x2 + u Becsült modell: y = γ1x1 + u

Torzítás: Corr(x1,x2)>0 Corr(x1,x2)<0

β₂>0 + –

β2 <0 – +

) 1 1(

1 ² 1 R²

k n

R n 



 



(8)

8

Lényegtelen változó bevonása

Tényleges modell: y = β1x₁+ β2x₂+ u

Becsült modell: y = β1x1 + β2x2 + β3x3 + u, β3 = 0 Torzítatlanságot nem befolyásolja (nincs endogenitás) Variancia nő:

Egyéb témák

Előrejelzés Outlierek

Alternatív függvényformák Stabilitási tesztek

Dummy változók

Négyzetes tagok, interakciók Heteroszkedaszticitás stb.

Gyakorlat

Zárthelyi dolgozat

i

i RSS

2

) Var(  