ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

2

ÖKONOMETRIA 8. hét

Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Heteroszkedaszticitás fogalma Próbák

Következmények Megoldások

Multikollinearitás – definíció, következmények Röviden az endogenitásról

Heteroszkedaszticitás fogalma

Alapmodell feltevése

Var(u_i) = σ² minden i-re – homoszkedaszticitás Hibatagok varianciája nem állandó

Var(u_i) = σ_i² minden i-re – heteroszkedaszticitás

3

Példa heteroszkedaszticitásra

Fogyasztás modell (adatok: SHARE, 2004, Németország – élelmiszer kiadások)

Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

Alternatív modell

Reziduálisok eloszlása jövedelem függvényében

Próbák 1.

White-próba

Kérdés: Van-e szisztematikus tényező maradéktag varianciájában?

White-próba: regressziója magyarázó változókon, azok négyzetein és keresztszorzatain

→ F- vagy khi-négyzet próba együtthatók szignifikanciájára

i i

i

i i i

i

Wealth Th

Inc C

u Wealth Th

Inc C

_ 007 . 0 02

. 0 6 . ˆ 379

2 _

1 0













  

-1,000 -500 0 500 1,000 1,500 2,000

0 10,000 20,000 30,000 40,000

INC

RESID01

i i

i

i i i

i

Wealth Th

Inc C

u Wealth Th

Inc C

_ 05 . 0 log

15 . 0 63 . ˆ 4 log

_ log log

log _{0 1 2}













  

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

0 10,000 20,000 30,000 40,000

INC

RESID02

ˆi2

u

4

Próbák 2.

Breusch-Pagan próba

Segédregresszió: regressziója z1,..., zk magyarázó változókon (amikről azt gondoljuk, hogy a varianciát befolyásolják)

S0 segédregresszió négyzetösszege (ESS) R² segédregresszió det. együtthatója σ² (eredeti!) hibatagok becsült varianciája

LM-teszt a segédregresszió használhatóságára, ami u normális eloszlása esetén kifejezhető másképpen is:

Következmény 1.

Szokásos standard hiba becslés nem jó

Egyváltozós modell

y_i = α + βx_i + u_i, Var(u_i) = σ_i² → Torzítatlan (E(ui) = 0; xi, ui függetlenek)

Homoszkedaszticitás esetén:

Torzított varianciabecslést ad heteroszkedaszticitás esetén!

– Szokásos tesztek nem használhatók.

ˆi2

u

normális) u

ˆ ha (és 2

~

2

 

  nR

 ^S ha

u normális)

ˆ (és 2

~

2

 

  nR

 ^S

  

   

 

 

 



 

 



  _{2 2}

ˆ

x x

u x x x

x

y y x x

i i i i

i

i 



 

   

 





2 2

) 2

(ˆ

 

 



 















 

x x

x x x

x u x Var x

Var

i i i

i i

i 



 



 ₂

2

ˆ)

( x x

Var

i

 

5

Következmény 2.

OLS nem hatásos

Példa: σi2

=σ²zi2

Súlyozott (homoszkedasztikus) modell:

Cauchy–Schwarz:

Megoldás 1. – White SE

Heteroszkedaszticitás robusztus becslés becsült együttható varianciájára Kétváltozós modell:

Többváltozós modell:

t-teszt:

Aszimptotikusan t-eloszlású: nagy mintára használható csak

i i i i

i v

z x z

y  

   

 

) 1 / ( ˆ)

( ) (

ˆ) (

) / ) (

) ( / (

) / (

2 2 2

2 2

*

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

* 2

*















  

 

    

i i i i

i

i i i i

i i

i i i

i i i i

z x z x

x V

V

x z x x

V x

z V x

z x

v z x





 



 



 : OLS modell Eredeti

:

(WLS) OLS

modell Új

  _ 





2 2 2 1

ˆ ) ) (

(ˆ

xx i i

S u x Var _{ }



ból regresszió a

ugyanebbőg zeg

négyzetöss reziduális

:

változón magyarázó

többi jából regresszió reziduális

:

ˆ , ) ˆ

( ˆ

2 2

j

j ij

j ij ij j

RSS

x r

RSS u Var _{ }



reziduálisx_jregressziójából többi magyarázó változón reziduális négyzetösszeg ugyanebből a regresszióbólnégyzetösszegugyanebbőgaregresszióból reziduális

:

változón magyarázó

többi jából regresszió reziduális

:

ˆ , ) ˆ

( ˆ

2 2

j

j ij

j ij ij j

RSS

x r

RSS u Var _{ }



reziduálisx_jregressziójából többi magyarázó változón reziduális négyzetösszeg ugyanebből a regresszióból

SE robosztus

ˆ 0

 

 t

6

Megoldás 2 – WLS

Súlyozott legkisebb négyzetek (WLS)

Ez utóbbi egyenletet becsüljük OLS-sel, ami súlyozott összeg minimalizálásának felel meg

Ha a variancia jól specifikált, akkor

– hatásosabb, mint a sima OLS (sőt BLUE), – és kismintában is t- és F-eloszlású tesztek.

Példák: WLS

yi = α + βxi + ui

1. gyakori eset: Var(ui) = σ²x_i²

yi/xi = α/xi + β + ui/xi OLS-sel becsülendő 2. gyakori eset: Var(ui) = σ²x_i

yi/(xi1/2) = α/(xi1/2) + βxi1/2

+ ui/(xi1/2

) OLS-sel becsülendő

Sokszor a magyarázó változó transzformálása (pl. logaritmizálása) megoldja a heteroszkedaszticitási problémát.

Megoldás 3.: TWLS, FGLS

TWLS: two-step weighted least squares FGLS: feasible generalalised least squares

2 2 2

) ( 1 ,

) ( ,





























i i

i i i i i

i i

i i i

v V z v

x z z y

z u

V u x y

 





n 

i

i i

i

x z y

1

2

2 ˆ ˆ

min 1  

7

Lépések:

FGLS tulajdonságai

Mivel a súlyokat becsültük, a becslőfüggvény nem torzítatlan.

De konzisztens és aszimptotikusan hatásosabb, mint az OLS.

Ha úgy gondoljuk, hogy nem specifikáltuk tökéletesen a varianciát, akkor használhatjuk itt is a White-féle standard hibákat.

Példa: dohányzást meghatározó tényezők vizsgálata

Adatok (forrás: Wooldridge)

CIGS: naponta elszívott cigaretták száma INCOME: éves jövedelem

CIGPRIC: egy doboz cigaretta ára (cent) EDUC: iskolai évek száma

AGE: életkor

RESTAURN: vannak-e az adott tagállamban éttermi dohányzást korlátozó rendelkezések

súlyokkal a

sel, - WLS becslése egyenlet

Eredeti

értékek, illesztett

az 5.

változókon ...,

, konstans, ása

regresszál

pl.

iója, specifikác variancia

3.

képzése hibatagok

becsült 2.

sel - OLS becslése

h g

h g

x x )

u ( σ x

u

u x x

y

i i

i i

ki i i

i i

i

i ki k i i

. ˆ 6

ˆ ) ˆ exp(

ˆ ˆ log . 4

...) exp(

ˆ

...

. 1

1 2

1 1 0 2

1 1



























8

OLS szokásos és robusztus standard hibákkal

Próbák

9

FGLS becslés

Eviews program

equation eq_ols equation eq_olsrob

eq_ols.ls cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn delete white

delete breuschpagan

freeze(white) eq_ols.hettest(type=white)

freeze(breuschpagan) eq_ols.hettest(BPG) @regs

eq_olsrob.ls(h) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast olsf

genr olsres=cigs-olsf equation eq_logu2 genr logu2=log(olsres^2)

eq_logu2.ls logu2 c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn forecast logu2f

genr h=exp(logu2f) genr sqrth=h^(1/2) equation eq_fgls equation eq_fgls2

10

eq_fgls.ls(w=1/(h)^(1/2)) cigs c lincome lcigpric educ age age^2 restaurn eq_fgls2.ls cigs/sqrth 1/sqrth lincome/sqrth lcigpric/sqrth educ/sqrth age/sqrth age^2/sqrth restaurn/sqrth

Multikollinearitás

Magas korreláció magyarázó változók között:

Egyedi hatás nehezen kiszűrhető

Alapmodell feltevéseinek nem mond ellent Tökéletes kollinearitás: függvényszerű kapcsolat

Pl.: y = β1x1 + β2x2 + u, x2 = ax1 y = (β1 + aβ2)x1 + u

Következmények, megoldások

Becsült együttható érzékeny változók hozzáadására, kihagyására Becsült együttható varianciája nőhet

Magas, ha hibatag varianciája nagy vagy Sii alacsony vagy Ri2 magas (multikoll.: sem szükséges, sem elégséges)

Lehetséges megoldások

Változó kihagyása: variancia csökken, de torzítás!

Adatgyűjtés (nagyobb variancia x-ben) Változók „összevonása” (pl. hányados)

Endogenitás

Endogenitás: az eltérésváltozó korrelált a magyarázó változóval Yi= α + βXi + ui E(ui|xi) ≠ 0

Következmény: β OLS becslése torz és inkonzisztens )

1 ) (

(ˆ ₂

2 2

i ii i

i RSS S R

Var     

11

Endogenitás néhány lehetséges oka

Kihagyott változó (u tartalmaz valamit, ami korrelált X-szel)

Szimultaneitás (nemcsak X hat Y-ra, hanem Y is X-re: u miatt változik Y, és ez hat X-re)

Pl. kereslet–kínálati modellek

Önszelekció hatásvizsgálatokban: „kezelés” (pl. programba való beválogatás) nem független a hibatagtól

Vállalatoknak nyújtott támogatás hatása az eredményességre Stb.

Összefoglalás

Házi feladatok

Példatípusok a zárthelyin

Regressziós outputok értelmezése Elméleti, kifejtősebb kérdések

Hogyan ismerhetők fel a kiugró értékek, milyen teendők vannak outlierek esetén?

Gauss-Markov tétel kimondása

Előrejelzés standard hibája mitől függ az egyváltozós esetben Rövid válaszos feladatok

Igaz / hamis állítások

Gyakorlat

Heteroszkedaszticitás, multikollinearitás

Maddala: 5/7, 5/8, 7/1, 7/3

Wooldridge: 8.1, 8.2, 8.3, 8.7, 8.9, (3.7, 3.11)

12

Megbeszélendő

Heteroszkedaszticitás tesztelése, kezelése Multikollinearitás – valóban „probléma”?

Adatok

Egészségügyi kiadások modellje (HRS vagy SHARE rész-adatbázis) Heteroszkedaszticitás tesztelése

Multikollinearitás: különböző jövedelem vagy vagyon indikátorok együttes bevonása