Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

6. hét

Többváltozós regresszió III.

Elek Péter, Bíró Anikó

Tartalom

F-próba (folyt.), Stabilitási próbák

Korrigált R

, modellszelekció,

Dummy változók

F-próba általánosabban

Több (r számú) korlátozás együttes tesztelése k magyarázó változós regresszióban

Egymásba ágyazott hipotézisek: a modell együtthatóinak halmaza az eredetinek

részhalmaza Példa

U: y = α + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃+ u H₀: β₂ = 0, β₃ = 0

R: y = α + β₁x₁ + v

F-próba, tesztstatisztika

ez lényegében a Wald-teszt)

~ _r²/ r, (nagymintában kb.

:

RRSS = S_yy (1 – R_R²) URSS = S_yy (1 – R_U²)

n – 1 = (k – r) + (n – k + r – 1) = (k – r) + r +(n – k – 1)

Szabadságfokok

TSS = RESS + RRSS = RESS + (RRSS – URSS) + URSS

Négyzetösszeg – felbontás

F = (RRSS – URSS) / r

~ F r,(n – k –1)

URSS /(n – k – 1)

F = ^(RU

2 – R_R²) / r

~ F r,(n – k –1)

(1 – R_U²) / (n – k – 1)

Együtthatók lineáris függvényének tesztelése

Példa: Cobb-Douglas termelési fv.

logX= α + β₁logL + β₂logK + u H₀: β₁ + β₂ = 1

t-próba: θ = β₁ + β₂ β₂ = θ – β₁

logX = α + β₁(logL – logK)+ θ logK + u H₀: θ = 1

t-próba közvetlenül β₁ + β₂ -re, felhasználva, hogy az összeg varianciája kiszámolható

Var(β₁^ + β₂^) = Var(β₁^) + Var(β₂^)+ 2cov(β₁^,β₂^) F-próba: β₂ = 1 – β₁

R: logX – logK = α + β₁ (logL – logK) + u

Stabilitási próba – 2 független adathalmaz (gyakran Chow-próbaként hivatkozva)

1. y_i = α₁ + β₁₁x_1i + β₂₁x_2i +…+ β_k1x_ki + u_i, i = 1…n₁ 2. y_i = α₂ + β₁₂x_1i + β₂₂x_2i +…+ β_k2x_ki + v_i, i = 1…n₂ H₀: α₁ = α₂, β₁₁ = β₁₂, …, β_k1 = β_k2

RRSS:

RSS

RSS

:

~ F k + 1, n1 + n2 – 2k – 2

(RSS₁ + RSS₂) / (n₁ + n₂ – 2k – 2)

Stabilitási próba

– Chow-próba (prediktív)

1. y_i = α₁ + β₁₁x_1i + β₂₁x_2i +…+ β_k1x_ki + u_i, i = 1…n₁ 2. y_i = α₂ + β₁₂x_1i + β₂₂x_2i +…+ β_k2x_ki + v_i, i = 1…n n – n₁ < k + 1 lehetséges (ellentétben az előzővel) RSS₁: rez. négyzetösszeg az első n₁ megfigyelés alapján

RRSS: rez. négyzetösszeg az összes (n=n₁+n₂) megfigyelésből becsült modell szerint

F = (RRSS – RSS₁) / (n – n₁)

~ F (n – n1),(n1 – k – 1)

RSS₁ / (n₁ – k – 1)

Korrigált R ²

Újabb változó bevonása: RSS és szabadságfok is csökken (normálegyenletek száma nő)

Korrigált

R

:

t < 1: változó kihagyása: nő F< 1: változók kihagyása: nő

Lehetséges: t, F alapján különböző következtetés (pl. multikollinearitás)

ok szabadságf ˆ ²  RSS



) 1

1 (

1

1 R

k n

R n 





 



R2

R2

Modellszelekció

Egymásba ágyazott hipotézisek: t- és F-próba

Nem egymásba ágyazott hip., függő változó azonos, pl.:

R&D = α + β log(bevétel) + u

R&D = α + β

bevétel + β

bevétel

+ u

korrigált R² vagy információs kritériumok (pl. AIC) alapján

AIC (Akaike információs kritérium):

RSS∙exp(2(k +1)/n)

Korrigált R ² , példa

Bértarifa (2003): tapasztalat vagy életkor a jobb magyarázó változó béregyenletben?

Logaritmikus formák

Log-log (loglineáris) – rugalmasság

ln(y) = α + βln(x) + u

Félig logaritmikus alakok

  ^{e x x}

y       

 ˆ 1 % ˆ %

%



x y

u x

y

x y

u x

y

























%

%







 



100 ˆ ) ˆ

ln(

100 ˆ ˆ

) ln(

Kvadratikus forma

Növekvő vagy csökkenő parciális hatás

Példa: Bértarifa (2003), tapasztalat négyzetes tag, becsült egyenletek

log(Ker) = 9.83 + 0.135 ISKVEG9 + 0.0082 EXP

log(Ker) = 9.83 + 0.135 ISKVEG9 + 0.022 EXP – 0.00029 EXP² 0.022/(2*0.00029) = 39 évig pozitív parciális hatás

(de végig csökkenő)

1 2 1

1

2 1 2 1

1

2 ˆ ˆ ˆ

x x y

u x

x y













 











Interakciók

Parciális hatás függ más magyarázó változótól is

Példa: Bér és iskolázottsági prémium, függhet a cég nyereségességétől

(nettó árbev. – anyagköltség)

Log(Ker) = 10.304 + 0.139 Iskveg9 + 0.092 Log(Cs_Arbev) Log(Ker) = 10.597 + 0.079 Iskveg9 + 0.043 Log(Cs_Arbev) + 0.010 (Iskveg9*Log(Cs_Arbev))

2 2 1

1

2 1 2 1

1

ˆ ˆ ˆ

x x y

u x

x x

y













 











Dummy változók a jobb oldalon

Eddig: főként folytonos változók

(kvantitatív információ) – pl. bér, fogyasztás, vagyon, végzettség (?)

Kétértékű változók

= dummy / binary / 0 – 1

Kvalitatív információ

Példák: nem, foglalkoztatott, képzett, ország dummy…

Különböző tengelymetszet – 2 csoport

Példa:

különben 1

budapesti, ha

, 0

, )

( )

log(

különben ,

budapesti ha

) , log(

1 2

1 2 1



























 

i i

i i

i i

i i

i i

i

D D

u Isk

D Ker

u Isk

u Ker Isk

















Különböző tengelymetszet, példa

2003-as bértarifa alapján

Log függő változó

Becsült egyenlet

Vidéki: ceteris paribus kb. 16%-kal kisebb kereset Pontos különbség (EViews „log” természetes

logaritmus)

i i

i Videk Isk

er

Kˆ ) 10.93 0.16 0.15

log(   





: külöbség kereset

os -

%

log 16

. 0 )

log(

) log(

16 . 0

0 1 0

1



















e

Ker Ker Ker

Ker

Több csoport

N csoport (pl. Budapest/vidék helyett kistérség)

N csoport esetén N-1 dummy a regresszióban, N. csoport: viszonyítási/benchmark csoport!

különben) (0

csoportra N.

az 1

..., különben), (0

csoportra 2.

a 1

) (

...

) (

csoportban N.

az

csoportban 2.

a

csoportban 1.

az

2

1 2

1 2

1 2 1















































N

i i

N N

i

i i

N

i i

i i

i

D D

u x

D D

y

u x

u x

u x

y



























Interakciók kétértékű változók között

Példa: vidék/Bp és férfi/nő dummy + nemek közti kereseti különbség eltér vidéken és Bp-en

Négy kategória

Viszonyítási csoport: bp-i nők 2 ekvivalens modell

Budapest vidék

nő

férfi

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

u Isk

ffi Vidék

Vidék ffi

Ker

u Isk

ffi Vidék

ffi Bp

nő Vidék

Ker































































3 2

1 0

3 2

1 0

) log(

_ _

_ )

log(

Bértarifa becslések (benchmark: bp-i nők)

–0,1026 = –0.1726 + 0.0540 + 0.016

Interakciók, példa

Nem állandó regressziós együtthatók

2 csoport esetén

→ Kétértékű változó és magyarázó változó interakciója

csoportra 2.

a 1 csoportra,

1.

az 0

) (

csoportra 2.

csoportra 1.

2 2 1

11 12

1 11

2 2 1

12

2 2 1

11



















 













 

i i

i i

i i i

i

i i

i

i i

i i

D D

u x

x D x

y

u x

x

u x

y x























Példa

Végzettség hatása nemenként eltér, de feltesszük, hogy életkor hatása azonos

i i

i i

i

i

Isk Isk ffi Kor u

Ker ) 





 



log(    

Együtthatók stabilitásának vizsgálata

Példa: férfiakra – nőkre azonos-e a kereseti modell?

Keresztmetszeti vizsgálat (idősor: együttható időbeli stabilitása)

F-próba (lehet nem mindhárom együtthatóra is) Probléma: ha

N

< k

0 ,

0 ,

0 :

H

) log(

3 2

2 0

4 3

2 1

2 1









































 _{i i i i i i i i}

i ffi Isk Isk ffi Kor Kor ffi u

Ker

Becslési eredmények és tesztstatisztika

Együtthatók stabilitásának vizsgálata, folyt.

Dummy függő változó

Példák

Munkapiac: foglalkoztatott-e

Fogyasztás: ingatlan tulajdonos-e Pénzügy: hitelfelvevő csődje

Kétértékű függő változó ↔ lineáris modell?

Lineáris valószínűségi modell I.

y kétértékű változó

Nemlineáris modell

ha F a normális eloszlásfv, akkor a probit,

ha F(z) = e^z/(1 + e^z), akkor a logit modellt kapjuk)

) (

)

| 1

( y x F x

P   

lósz.

becsült va 1

ˆ :

: modell Becsült

)

| 1 (

)

| (















 y

y

u x

y

x x

y P x

y E

i i

i

 





Lineáris valószínűségi modell II.

1. probléma: becsült valószínűség [0,1]

intervallumon kívül eshet

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Lineáris valószínűségi modell III.

2. probléma: heteroszkedaszticitás:

Megoldás

Robosztus SE használata Súlyozott LS:

ˆ ) 1 ˆ ( )

- (1 )

- 1 ( )

)(

- (1 )

Var(

valósz.

1

valósz.

) -

(1

0 )

( ,

2 2

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i

i i

i i

y y

x x

x x

x x

u

x x

x u x

u E u

x y





















 





























ˆ ) 1

ˆ_i( _i

i y y

w  

Lineáris val. modell, példa

0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Frequency

INSF

Függő változó: magán egészségbiztosítással rendelkezik-e (SHARE adatbázis)

Magyarázó változók: vagyon, jöv., életkor, végzettség, ország dummyk

Előrejelzett val. hisztogramja

Szeminárium

Többváltozós regresszió III.

Feladat: béregyenlet becslése kis bértarifa részminta alapján

Változók

Iskev (iskolai évek száma) Exp (tapasztalat)

Ker (kereset)

Teltip (településtípus – kvalitatív változó) Bp (Budapest dummy)

Ffi (férfi dummy)

Béregyenlet becslése 1.

1. modell: log(ker) modellezése a versenyszférában iskev, exp, exp², bp, ffi változókkal, továbbá az

iskev, exp változók ffi változóval való interakciójával

Különbözik-e szignifikánsan a férfiakra vonatkozó egyenlet a nőkétől?

Ffi, iskev*ffi és exp*ffi együtthatók együttes tesztelése

Tapasztalat-profil a bp-i, 12 iskolai évvel rendelkező férfiakra

Hol a maximum?

Tapasztalat-profil ábrázolása konfidencia-intervallummal

Béregyenlet becslése 2.

2. modell: előző modell kiegészítése a

megyeszékhely és egyéb város dummy változókkal

A megyeszékhely és egyéb város hatása

egyenlőségének tesztelése három módszerrel

Közvetlenül

Átalakítás után t-teszttel

A korlátozott és korlátozatlan modell R²-ének összehasonlításával

Heteroszkedaszticitás tesztelése White- és Breusch-Pagan próbákkal

Robusztus standard hibák számítása és

összehasonlítása a nem robusztus hibákkal

Feladat: munkapiaci részvétel becslése lineáris valószínűségi modellel

Függő változó: gazdaságilag aktív-e Magyarázó változók: iskolázottság,

tapasztalat, életkor, 6 éven aluli / felüli gyerek OLS becslés szokásos illetve robusztus

standard hibákkal valamint WLS becslés

Valószínűségek előrejelzése