ú nius Szakmai felelős: Elek Péter 2010. j Készítet te: Elek Péter, Bíró Anikó ÖKONOMETRIA

(1)

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

(2)

2

ÖKONOMETRIA 12. hét

Regresszió idősorokban 1.

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

Tartalom

Regresszió stacionárius idősorokban

Hibatagok autokorreláltságának következményei Autokorreláltság tesztelése

Autokorreláltság kezelése Tankönyv: M 6.1–6.5., 6.8.

Ismétlés: keresztmetszeti regresszió sztochasztikus magyarázó változókkal

Idősoroknál a fix magyarázó változók nem igazán értelmesek Sztochasztikus változós modell: y_i= β0 + β1x_i1+ β2x_i2+ … βkx_ik+ u_i Ebben az OLS becslés torzítatlanságának feltételei

(yi,xi1,xi2,…,xik) (i = 1,…,n) véletlen minta a modellből E(u|x1,x2,…,xk) = 0

nincs tökéletes kollinearitás

(3)

3

Továbbá a homoszkedaszticitást is feltételezve, a következők is igazak

a szokásos variancia-képlet helyes, és az OLS-becslés aszimptotikusan normális az OLS-becslés BLUE.

Ezeken kívül a hibatag normalitását is feltételezve, a kismintás próbák (t-teszt, F-teszt) is érvényesek

Regresszió stacionárius idősorokkal

yt = β0 + β1xt1 + β2xt2 +… βkxtk + ut

Ha x_ti (i = 1,…,k) és y_t is stacionárius, akkor az OLS konzisztenciájának elegendő feltételei

E(ut|xt1,xt2,…,xtk) = 0 és nincs tökéletes kollinearitás

További feltételek kellenek a szokásos próbák aszimptotikus érvényességéhez (a variancia-képletek jóságához stb.)

homoszkedaszticitás és

hibatagok autokorrelálatlansága E(utus|xt1,…,xtk,xs1,…,xsk) = 0 (t  s)

Trendstacionárius esetben ugyanezek igazak, de a trendet regresszorként szerepeltetni kell!

Egyes xti-k lehetnek az yt késleltetettjei (de az exogenitási feltételnek teljesülnie kell!) Pl. stacionárius AR(1)-modell: k = 1, x_t1= y_t–1

paraméter OLS-becslése konzisztens, aszimptotikusan normális (de nem torzítatlan!)

A hibatagok autokorrelációja stacionárius regresszióban

Ha a hibatagok autokorreláltak egy stacionárius regresszióban, akkor az OLS-becslés továbbra is konzisztens,

de már nem BLUE,

és a variancia-képlet és így a szokásos tesztek sem érvényesek!

Variancia-torzítás mértéke: M 285–286. old.

(4)

4

Hibatagok autokorrelációjának tesztelése

Durbin–Watson-teszt Breusch-Godfrey-teszt

az eltérésváltozó fehér zaj az eltérésváltozó autokorrelált

Durbin–Watson-teszt

-4 -2 0 2 4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 -4 -2 0 2 4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Az OLS regresszió reziduumait vizsgálja



1



² ² 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

ˆ ˆ ˆ

n n n n n

t t t t t t t t

t t t t t

n n n

t t t

u u u u u u u u

u u u

d

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

  

  







  

 



  

Az elsőrendűautokorreláció becslőfüggvénye:

1 2

2 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ

n t t t

n t t

u u u



^ ^





    

 2 1 ˆ d

0 d4 ( –1   1)

d= 2  = 0(feher zaj)

0 < d< 2  > 0(pozitív autokorreláció) 2 < d< 4  < 0(negatív autokorreláció) Az OLS regresszió reziduumait vizsgálja



1



² ² 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

ˆ ˆ ˆ

n n n n n

t t t t t t t t

t t t t t

n n n

t t t

u u u u u u u u

u u u

d

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

  

  







  

 



  

Az elsőrendűautokorreláció becslőfüggvénye:

1 2

2 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ

n t t t

n t t

u u u



^ ^





    

 2 1 ˆ d

0 d4 ( –1   1)

d= 2  = 0(feher zaj)

0 < d< 2  > 0(pozitív autokorreláció) 2 < d< 4  < 0(negatív autokorreláció)

(5)

5

H0:  = 0, H1:  > 0 (egyoldalú próba!)

A tesztnek két kritikus értéke van, mert a tesztstatisztika eloszlása függ a magyarázó változóktól: dL (alsó érték), dU (felső érték)

Döntési szabály:

Elfogadjuk H0 – t, ha d > dU

Elvetjük H0 – t, ha d < dL

Nem tudunk mit tenni ha dL < d < dU (semleges zóna, szürke tartomány) Negatív autokorreláció tesztje:

d helyett 4 – d használata, egyébként minden ugyanaz Elfogadjuk H0 – t, ha 4 – d > dU

Elvetjük H0 – t, ha 4 – d < dL

Nem tudunk mit tenni ha dL < 4 – d < dU (semleges zóna, szürke tartomány)

DW-teszt korlátai

Csak AR(1) maradéktagok esetén használható Teszt bizonyos esetekben (dL<d<dU) nem konkluzív

Késleltetett függő változós modellekben (bizonyos esetekben) nem használható (ld. még később)

Breusch-Godfrey-teszt

AR(p) modell a hibatagokra

ut = 1ut-1 + 2ut-2 + … + qut-p + et H0: 1 = 2 =…= p = 0

becsült hibatag regresszálása a magyarázó változókon és p db. késleltetett hibatagokon H0 esetén, aszimptotikusan nR² ~ p2

(6)

6

Autokorreláció kezelése

OLS-becslés standard hibáját korrigáló eljárás: Newey-West

Mint ahogy a White-féle eljárás korrigálta az OLS hibáját heteroszkedaszticitás esetén

Generalised Least Squares (GLS) típusú becslések, pl. Cochrane-Orcutt eljárás

Cochrane-Orcutt-eljárás

Modell

y_t = β₀+ β₁x_1t+ β₁x_2t+ β₁x_kt+ u_t ut = ut–1 + et , et ~ IN

Kvázi differenciálás

(yt – yt–1) = (1 – )β0 + β1(x1t – x1,t–1) + … + βk(xkt – xk,t–1) + et

y_t– yt–1 regresszálása x_it– xi,t–1 változókon Eljárás

egyszerű OLS-becslés, majd  megbecsülése a hibatagokból OLS-becslés a kvázi-differenciált idősorokra

esetleg iteráció (aszimptotikusan nem javít a hatásosságon) Mivel  becsült, 0 közeli  esetén nem feltétlenül jobb az OLS-nél

(7)

7

Példa: statikus Phillips-görbe becslése (USA) becslés egyszerű OLS-sel

Autokorreláció jelentős

Példa (folyt.): korrekció az autokorrelációval

Magas autokorreláció, lényegében a differenciákra írjuk fel a regressziót! Ebben a becslésben jobban hihetünk.

(8)

8

Osztott késleltetésű modellek

Modell: yt = α + β0x_t+ β1x_t–1+ … + βkx_t–k+ u_t β0: x egységnyi sokkjának azonnali hatása y-ra β0, β1, β2,…: késleltetések eloszlása (lag distribution)

β0 + β1…+ βk: x egységnyi permanens sokkjának hatása y-ra (hosszú távú multiplikátor – long run multiplier)

Vannak végtelen késleltetést tartalmazó modellek is, pl. a geometriai késleltetés (geometriailag lecsengő β – k)

Gyakorlat

Regresszió idősorokban 1.

AR(2)-folyamat:

Stacionaritása, szükséges feltétel a stacionaritáshoz Yule-Walker egyenlet megoldása

ARMA(1,1)-folyamat autokorrelációi

ARMA- és ARIMA-folyamatok szimulációja

Differencia- és trendstacionárius folyamatok összehasonlítása és szimulációja Box-Jenkins-modellezés, előrejelzés a ARIMA-modellből

Példa: (szezonálisan igazított) ipari termelési idősorok modellezése