1.4. A populációs mérlegegyenlet megoldása
1.4.3. A súlyozott reziduum módszere
A súlyozott reziduum módszert gyakran alkalmazzák mind a közönséges, mind a parciális differenciálegyenletek megoldásában. Villadsen és Michelsen (1978) valamint Ramkrishna (1985) mutatnak be összefoglaló tanulmányt a súlyozott reziduum módszerekről és alkalmazási lehetőségeikről. A súlyozott reziduum módszerben a kristályok méreteloszlását megfelelően választott bázisfüggvények lineáris kombinációjaként írjuk le:
(1.4.9)
( ) ( ) ∑
=( ) (
=
=
≅ j M
j
j j
M L t b t L
n t L n
1
,
, ψ
)
]
A ψj(L) bázisfüggvények a
[
intervallumon értelmezett ismert függvények, és ebben az esetben a módszert globális módszernek nevezzük, mivel az bázisfüggvények értelmezési tartománya magába foglalja a kristályok teljes mérettartományát. A b∞ , 0
j
együtthatók időben változnak a folyamat dinamikájának megfelelően. A cél a bj
együtthatók meghatározása úgy, hogy az nM(L,t) függvény minden időpillanatban megfelelő pontossággal kielégítse a populációs mérlegegyenletet. A bj együtthatók meghatározásának első lépésében a (1.4.9) egyenlettel megadott közelítő függvényt a populációs mérlegegyenletbe helyettesítjük, és ezzel definiáljuk az úgynevezett RM(b(t),L) reziduum függvényt. Egy tetszőleges t időpillanatban és adott L méretnél a reziduum függvény értéke nulla, ha a közelítő függvény értéke megegyezik a valós megoldással és nullától különböző érték, ha a közelítés nem pontos. A bj együtthatók meghatározásában az elsődleges cél, hogy a reziduum függvény abszolút értékét minimalizáljuk az L változó teljes intervallumán. Ebben a tekintetben a bj együtthatók optimális értékét úgy kaphatjuk meg, ha megköveteljük, hogy a reziduum függvény megfelelően választott Wj
( )
L , j=1,…,M súlyfüggvényekkel ortogonális legyen, azaz:, j=1,…,M (1.4.10)
A (1.4.10) egyenlet által megadott integrálegyenletek kifejezik, hogy a közelítő függvény és a valós megoldás közötti hiba súlyozott integrálja nullával legyen egyenlő.
A Wj súlyfüggvények megadása valamint az integrálás elvégzése után a (1.4.10) egyenletrendszer a bj ismeretlen együtthatókat tartalmazó egyenletrendszerré alakul, amelynek megoldásával megkapjuk a Wj súlyfüggvények szerinti optimális b együttható vektort. A súlyozott reziduum módszerek jellemzője, hogy a közönséges differenciálegyenletek megoldását algebrai egyenletrendszer, míg a parciális differenciálegyenlet megoldását közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldására vezeti vissza. A súlyozott reziduum módszerek mindegyikét a súlyfüggvények speciális megválasztása jellemzi. A leggyakrabban használt súlyozott reziduum módszerek és súlyfüggvények az alábbiak:
1. Kollokációs módszer
A kollokációs módszer esetén a Wj súlyfüggvények Dirac delta függvények:
( ) (
j)
j L L L
W = δ − , j=1,…,M (1.4.11)
A (1.4.10) integrálegyenlet rendszer ennek megfelelően a következő módon egyszerűsödik:
( ( )
, j)
=0M t L
R b , j=1,…,M (1.4.12)
A delta függvények által megadott Lj pontok azokat a pontokat reprezentálják, ahol a reziduum függvény értéke nulla, azaz ahol a közelítő függvény értéke megegyezik a valós megoldással. Villadsen és Stewart (1967) megmutatta, hogy amennyiben az Lj, j=1,...,M, pontok M-ed fokú ortogonális polinomok gyökei, akkor a kollokációs módszer optimális a közelítés pontosságát tekintve, és megegyezik a Galerkin módszerrel, amennyiben a (1.4.10) súlyozott integrált kvadratúrával értékeljük ki.
2. Galerkin módszer
Ebben az esetben a Wj súlyfüggvényeknek a következő formája van:
( ) ( )
3. Legkisebb négyzetek módszereA Wj súlyfüggvényeket az alábbi módon definiáljuk:
( ) ( ( ) )
Mindeddig a ψj(L) bázisfüggvényekről feltételeztük, hogy a
[
intervallumon értelmezett függvények, amely a globális súlyozott reziduum módszerek esete. A globális módszerek esetében az n]
M(L,t) közelítő függvény az L méretváltozó teljes intervallumán ad közelítést a kristálypopuláció méreteloszlására. A globális módszerekben használt bázisfüggvényekre példaként említhetők a
[
intervallumon értelmezett Laguerre polinomok. A végeselemű súlyozott reziduum módszerek esetében[
0,∞a
[
intervallumot egy véges intervallummá alakítjuk át olyan módon, hogy a[ ]
intervallum egy megfelelően megválasztott L
]
]
∞ ,
0 0,∞
max érték feletti részét levágjuk, majd a megmaradó [0,Lmax] intervallumot a 0=L0<L1<L2<…<Li<…<LN=Lmax
részintervallumokra osztjuk fel. Az Lmax értéket úgy kell meghatározni, hogy mindig nagyobb legyen a maximális kristályméretnél, vagy az Lmax érték felett a méreteloszlás értéke már elhanyagolható legyen. A következő lépésben a részintervallumokon belül a (1.4.9) egyenlet által megadott közelítést alkalmazzuk a ψj(L) bázisfüggvények megfelelő megválasztásával. A populációs mérlegegyenlet megoldásában a globális módszer esetén a b együttható vektor meghatározására egy közönséges differenciálegyenlet-rendszert kapunk. A végeselemű módszer esetében az egyes részintervallumokra kapott differenciálegyenlet-rendszerek az alkalmazott bázisfüggvényektől függően kiegészülhetnek a méreteloszlás, valamint annak méret szerinti elsőrendű deriváltjának az elemhatároknál való egyenlőségét leíró algebrai feltételekkel.
Singh és Ramkrishna (1977) folyamatos MSMPR kristályosító szimulációját mutatják be. A felírt populációs mérlegegyenlet a kristályok törését leíró taggal egészítik ki. A megoldás első lépésében a populációs mérlegegyenletet véges intervallumra transzformálták, majd a megoldásban a globális súlyozott reziduum módszert használták.
Globális súlyozott reziduum módszert használtak a folyamatos MSMPR kristályosítót leíró populációs mérlegegyenlet megoldásában Witkowski és Rawlings (1987), Eaton és Rawlings (1990) valamint Rawlings és társai (1992). Munkájukban a Galerkin módszert használták és bázisfüggvényekként a
[
intervallumon értelmezett, különböző fokú Laguerre polinomokat használták.∞ , 0
Szakaszos MSMPR kristályosító szimulációját mutatta be Chang és Wang (1984) globális súlyozott reziduum módszer alkalmazásával. A kristályosítót leíró populációs mérlegegyenletet a [0,1] intervallumra transzformálták és bázisfüggvényekként a [0,1]
intervallumra transzformált Legendre polinomokat használták.
Nicmanis és Hounslow (1998) végeselemű ortogonális kollokációt és Galerkin módszer alkalmazását mutatták be folyamatos MSMPR kristályosító szimulációjában agglomerizáció és kristálytörés figyelembevétele mellett. A populációs mérlegegyenlet megoldását egy véges intervallumon tekintették, amelyet részintervallumokra osztottak fel és az egyes intervallumokon Lagrange polinomokat használtak bázisfüggvényekként.
Wulkow és társai (2001) egy algoritmust mutatnak be a populációs mérlegegyenletek megoldására, amelyben végeselem módszer alkalmazása mellett a számítási intervallum felosztását és a közelítés rendűségét adaptívan változtatják. A kidolgozott algoritmussal egy MSMPR kristályosító modell megoldását mutatják be, és a méreteloszlás dinamikai változását, valamint agglomerizáció esetében a kialakuló stacionárius méreteloszlást adják meg különböző agglomerizációs paraméterek mellett.
Az ortogonális kollokáció hatékony alkalmazási lehetőségét mutatták be a vegyészmérnöki tudomány más területein is, többek között Gardini és társai (1985), Yu és Wang (1989), valamint Kaczmarski és társai (1997).