A számítási intervallum adaptív végeselem felosztása

változó transzformációval a következő egyenlet írja le:

( )( ) ( )

A integrált Lobatto kvadratúrával

számítom NQ számú kvadratúra pont alapján a w , j=1,…,NQ kvadratúra súlyokkal és , j=1,…,NQ kvadratúra pontokkal:

( )

2.1.4. A számítási intervallum adaptív végeselem felosztása

A kristályok növekedésének megfelelően a [0,ςmax] számítási intervallumot és az ςi, i=1,…,N osztópontok helyzetét is adaptívan változtatni kell a kialakuló maximális kristályméretnek és a méreteloszlás aktuális profiljának megfelelően. A számítási intervallum adaptív felosztásának két követelménynek kell megfelelnie. Egyrészt, hogy a méreteloszlás profiljának megfelelő intervallum felosztást nyerjünk, azaz a meredek deriváltértékkel rendelkező szakaszokon minél több végeselemet helyezzünk el, biztosítva ezáltal a megoldás nagyobb pontosságát, míg a kisebb deriváltértékek környezetében kevesebb végeselemet alkalmazzunk, amellyel csökkenthető a végeselemek száma és ennek következtében a számítási sebesség valamint a szükséges számítógépes kapacitás. Másrészt, az adaptív számítási intervallum felosztásnak

biztosítania kell, hogy a számítási intervallum nagysága mindenkor megfeleljen az aktuális méreteloszlás tartományának.

A kristályosítókra megadott populációs mérlegegyenletek ortogonális kollokációval történő megoldásához kapcsolódóan olyan algoritmust dolgoztam ki, amely megfelel ezen követelményeknek. A kidolgozott adaptív végeselem felosztási módszer lépései a mérettengely egy aktuális újra felosztásakor az alábbi blokk diagramban foglalható össze (2.2. ábra):

START

1. A számítási intervallum nagyságának megállapítása

3. Az új kollokációs pontokban az eloszlásértékek meghatározása, mint a következő számítási ciklus

kezdeti értékei

2. Az aktuális eloszlásprofil kiértékelése és a számítási intervallum végeselem felosztása

4. A számítási intervallum következő felosztási időpontjának meghatározása

END

2.2. ábra. A számítási intervallum adaptív végeselem felosztása.

1. A számítási intervallum adaptív megadása

A mérettengely egy aktuális újra felosztásakor az első lépésben meghatározzuk azt a számítási intervallumot, amelyen a közelítő méreteloszlás számítását folytatjuk, és amelyen a végeselemek ismét elosztásra kerülnek. A számítási intervallum nagyságának megadása a maximális kristályméret aktuális értéke alapján történik. A maximális kristályméret értékét folyamatosan értékeljük ki a számítás során, értékét minden számítási lépésnél az alábbi közelítő összefüggéssel határozzuk meg a G₀ növekedési sebesség alapján:

(

ξ ξ

)

ς

( )

ξ

( )

ξ α ς

( )

ξ ξ

ς ∆



 



 + +

≅

∆

+ _m

L m

m G₀ 1 s (2.1.4.1)

ahol ∆ξ a lépésköz és G₀

( )

ξ a kristálynövekedési sebesség értékét fejezi ki a ξ időpillanatban. A ςmax számítási intervallum végpont értékét, amely a következő végeselem felosztásig változatlan marad, úgy kell megadni, hogy a mérettengely következő felosztásáig terjedő időintervallum minden pillanatában egyenlőnek vagy nagyobbnak kell lennie, mint a maximális kristályméret aktuális értéke. Ennek megfelelően a ςmax érték a számítási intervallum egy ξ időpillanatban történő felülírásakor az aktuális maximális kristályméret alapján az alábbi módon adható meg:

, ξ (2.1.4.2)

( )

ξ ς

( )

ξ ς

( )

ξ

ς_{max 1} = _{N 1} =r_{1 m} <ξ₁ ≤

(

ξ+∆ξ₂

)

]

ahol r1>1 konstans és ∆ a következő végeselem felosztásig terjedő időtartamot fejezi ki, amelynek értéke nagyobb vagy egyenlő, mint a ∆ lépésköz. A (2.1.4.2) egyenlet a ς

ξ2

ξ

max számítási intervallum végpont értékét definiálja a

[

ξ,ξ +∆ξ₂ időintervallumra. A

mérettengely újra felosztásának feltétele több módon adható meg. Az újra felosztást el kell végezni, amikor a ς_m

( )

ξ érték eléri az aktuális ς

m

max értéket, de köthető más feltétel teljesüléséhez is mielőtt a ς

( )

ξ érték elérné az aktuális ςmax értéket.

H

2. A számítási intervallum adaptív végeselem felosztása

Hasonlóan a ςmax értékhez a ςi, i=1,…,N-1 osztópontok helyzete, és így a végeselemek elhelyezkedése is a kialakuló méreteloszlás dinamikájának és profiljának megfelelően változik. A számítási intervallum adaptív végeselem felosztásában leggyakrabban azt a technikát alkalmazzák, amelyben a [0,ςmax] számítási intervallumot olyan részintervallumokra osztják fel, amelyekben a méreteloszlás elsőrendű deriváltértékei egy adott tartományba esnek, majd a részintervallumokban a jellemző derivált tartománynak megfelelően adják meg a részintervallumon alkalmazott végeselem nagyságot (Babuska és társai, 1983; Yu és Wang, 1989). Ezzel szemben a dolgozatban egy olyan adaptív végeselem felülírási algoritmust adok meg, amelyben a számítási intervallum végeselem felosztása a méreteloszlás görbe ívének felosztásán alapul. A módszerben az eloszlásgörbe ívét megfelelő hosszúságú ívszakaszokra bontom fel, majd a szakaszokat határoló pontokat levetítem az abszcisszára, és az így kapott abszcissza értékek képezik a végeselemek osztópontjait. Ezen az úton egy olyan végeselem felosztást nyerhetünk, amely a görbe meredek részein sűrűbb, míg a kisebb deriváltak környezetében ritkább végeselem felosztást biztosít. A módszer alkalmazására a következő algoritmust dolgoztam ki.

A számítási intervallum végeselem felosztásának első lépéseként az aktuális méreteloszlás profilját értékeljük ki és meghatározzuk, hogy a méreteloszlás görbe egyes szakaszain a meredekségi arányokat. Jelölje az aktuális méreteloszlás görbéjének hosszúságát H, amely numerikus integrálással határozható meg a következő összefüggés alapján:

( ) ( )

∫

^+_^∂ _∂ ^_^

= ^max

0

, 2

1

ς

ς ς ξ

ξ f ς d

(2.1.4.3)

2.3. ábra. A méreteloszlás görbe egyenletes felosztása.

A H ívhosszúságú méreteloszlás görbéjét ND számú egyenlő ívhosszúságú szakaszra osztjuk fel (2.3. ábra). Az ívszakaszokat elválasztó pontok pozícióját numerikus úton határozzuk meg az (2.1.4.3) összefüggés alapján. Abból a célból, hogy a görbe menti felosztással kapott ívszakaszok kiterjedése mindkét tengely mentén közel azonos nagyságrendű legyen egy transzformált méreteloszlást vezetünk be az alábbi módon:

( ) ( )

számítási intervallumon a ξ időpillanatban. A rögzített pontok által megadott ívszakaszokon meghatározzuk a transzformált méreteloszlás elsőrendű méret szerinti parciális deriváltfüggvénye abszolút értékének maximumát, amelyekre a , j=1,…,ND jelölést vezetjük be. A következő lépésben a deriváltértékeket a

szögtartományba transzformáljuk a következő összefüggés segítségével:

f&ˆj

jelölések bevezetésével megkapjuk azt a szögtartományt, amelyen belül a transzformált méreteloszlás deriváltértékeinek megfelelő érintőszögek elhelyezkednek. A

[ ]

szögtartományt a ∆ , k=1,…,NI egyenlő szögtartományokra osztjuk fel a következő módon (2.4 ábra):

[

^θ_min^,θ_max

]

ahol tetszőlegesen megválasztott egész szám. Ennek megfelelően minden ívszakaszhoz hozzárendelhető egy olyan szögtartomány, amely magában foglalja az ívszakaszra jellemző érintőszöget. A következő lépésben az ND számú ívszakaszt csoportokba rendezzük úgy, hogy az egymás mellett elhelyezkedő és azonos

szögtartományhoz tartozó ívszakaszokat összevonjuk. Az így létrejövő NE számú ívtartományt jelölje H

≥1 szögtartomány jellemzi és ennek megfelelően megadják a méreteloszlás görbe meredekségi arányait. Az NI=4 és NE=9 esetre a 2.5. ábra mutat példát a H

θk m

ívtartományok elhelyezkedésére.

A számítási intervallum adaptív végeselem felosztásának második lépésében a Hm

ívtartományokat a hozzájuk rendelt ∆ szögtartománytól függően, azonos hosszúságú ívekre osztjuk fel. Az H

θk

θk

m ívtartományokban alkalmazott ívek hosszát egy megfelelően választott zmin minimális ívhossz többszöröseként adjuk meg. A ∆ szögtartományok mindegyikéhez egy I

θk

k, k=1,…,NI szorzó tényezőt rendelünk. Az Ik szorzó tényezők definiálják, hogy a különböző ∆ szögtartományú ívtartományokban alkalmazott ívek hosszúsága hányszorosa legyen a z

θk

min minimális ívhosszúságnak. Megfelelően, az INI

szorzó tényező értéke 1, mivel a legmeredekebb ívtartományokon a zmin ívhossz felosztást alkalmazzuk. Az egyes ∆ szögtartományoknak megfelelő , k=1,…,NI ívhosszt ennek megfelelően az alábbi egyenlettel adjuk meg:

hk

A zmin minimális ívhossz megadásával a (2.1.4.7) egyenlet alapján megadhatók az egyes szögtartományú ívtartományokon alkalmazandó ∆ ívhossz. A méreteloszlás görbéjét a H

θk

∆ h_k

m ívtartományokon a megfelelő ívhosszúsággal osztjuk fel, majd az ívszakaszokat határoló pontokat levetítjük az abszcisszára, amellyel

hk

∆

megkapjuk a végeselemek osztópontjait, és egy végeselem felosztást kapunk a méreteloszlás görbe meredekségének megfelelően. A legegyszerűbb végeselem felosztás esetében NI=1. Ekkor NE=1, I1=1 és a H1 ívtartomány a teljes méreteloszlás görbével egyenlő, amelyet a h1=zmin ívekkel osztunk fel.

2.4. ábra. A szögtartomány felosztása.

[

θ_min,θ_max

]

2.5. ábra. A méreteloszlás görbe felosztása.

A (2.1.4.7) egyenletből látható, hogy a számítási intervallum felosztása után kapott végeselemek számát az Ik, k=1,…,NI értékek mellett a zmin minimális ívhossz nagysága határozza meg. Amennyiben a zmin értéket szabadon választjuk meg, a felosztás során nagyszámú végeselem felosztás is adódhat. Azonban a gyakorlati alkalmazás szempontjából az alkalmazott végeselemek számát legtöbbször korlátozni kell és a számítási intervallum felosztásakor célszerű egy maximális végeselemszámot megadni.

Amennyiben a végeselemek számát megkötjük, a zmin minimális ívhossz meghatározható az Ik szorzótényezők, valamint a méreteloszlás görbe H hossza alapján.

Jelölje NS a végeselemek maximális számát, amely egyenlő N-el ha a végeselemszám nem változik a szimuláció során, továbbá jelölje lk a ∆ szögtartományba eső, (2.1.4.5) egyenlettel megadott ψ szögértékek számát. Az l

θk

j k, k=1,…,NI értékek összege

ND. Az lk értékek felhasználásával megadható, hogy a méreteloszlás görbéjén az egyes hosszúságú ívekből hány darabot kell elhelyeznünk úgy, hogy a méreteloszlás görbe mentén a meredekségnek megfelelő felosztást nyerjünk. Jelölje NP

hk

∆

k a

méreteloszlás görbén elhelyezendő ∆h_k hosszúságú ívek számát. Az NPk, k=1,…,NI értékeket a következő összefüggésekkel határozzuk meg:



 



=

∑

⁼

= NI k

k NI k

k

NI l I

NS l NP

1

(2.1.4.8)



 



= _NI

k NI

k

k NP

I l

NP l , k=1,…,NI-1 (2.1.4.9)

ahol a [] zárójelekkel a zárójelen belüli mennyiség egész részét fejezzük ki. A zmin

minimális ívhosszt ennek alapján a következő összefüggés adja meg:

∑

⁼

=

= _{k NI}

k NI

k

NI l

NP l z H

1

min (2.1.4.10)

3. Az új kollokációs pontokban az eloszlás értékek meghatározása

A végeselemek nagyságának és elhelyezkedésének meghatározása után a végeselemeknek megfelelő új kollokációs pontokban meghatározzuk az eloszlásértékeket, amelyek a következő számítási ciklusban a méreteloszlás kezdeti értékeit képviselik. Amennyiben az új kollokációs pont kisebb vagy egyenlő, mint

, akkor az eloszlásértékek meghatározhatók az

( )

ξ

ς_m ^fi

( )

^{ui,ξ ,} i=0,...,N-1

szakaszonkénti közelítő megoldásokból az új uⁱ_j , i=0,...,N-1, j=1,...,Mi kollokációs pontok felhasználásával, illetve az eloszlásértéket zérusnak tekintjük, ha az új kollokációs pont a

]

ς_m

( )

ξ ,ς_max

]

tartományba esik.

4. A számítási intervallum következő felosztási időpontjának meghatározása

A számítási intervallum felosztásának gyakoriságát az aktuális kristálynövekedési sebesség határozza meg. A méreteloszlás meredek szakaszainál minden időpillanatban sűrű felosztást kell biztosítani, amelyet a számítási intervallum megfelelő időben történő újrafelosztása biztosít. A számítási intervallum egy aktuális felosztásakor minden alkalommal meghatározzuk az intervallum felosztás következő időpontját is. A számításaim során a tf időintervallumot, amely eltelte után a számítási intervallumot újra fel kell osztani az alábbi összefüggéssel határoztam meg:

( ) ( ) ( )







 



 



 +

−

= _{+ +}

−

= ς ₁ ς ₀ ξ α ς ₁ ξ

1 ,...,

2 0min 1 _i

L i

N i f i

G s r

t (2.1.4.11)

ahol r2 pozitív konstans. Az összefüggés értelmében meghatározzuk, hogy az adott [ςi,ςi+1] intervallumokban elhelyezkedő kristályok mekkora időintervallum alatt növekednek az intervallum hosszának megfelelő mértékben és ezen időintervallumok minimumával arányosan definiáljuk a tf időintervallumot.

Összefoglalva, a számítási intervallum felosztását az r1, r2, ND, NI, NS, Mi, i=0,…,N-1 konstansok, valamint az Ik, k=1,…,NI szorzótényezők megadása specifikálja.

2.2. A folyamatos kevert szuszpenziójú nemizoterm

In document Kristályosítók dinamikus folyamatainak modellezése és szimulációja (Pldal 57-62)