Az MSMPR és MSCPR izoterm kristályosítók matematikai modellje

∫

∞ 0

3n L,t dL L

L h

2.1. A folyamatos kevert szuszpenziójú izoterm kristályosítók matematikai modelljei és numerikus megoldásuk

2.1.1. Az MSMPR és MSCPR izoterm kristályosítók matematikai modellje

A folyamatos MSCPR izoterm kristályosító vázlatos rajza a 2.1. ábrán látható. A kristályosítóba qin térfogatáramú szuszpenzió lép be, amelyben a kristályok méreteloszlását az nin(L,t) méreteloszlás írja le. A V térfogatú kristályosítóba belépő anyalúg koncentrációja az oldott szilárd komponensre tekintve cin, míg az oldószerre

nézve csv,in. A kristályosítót tökéletesen kevertnek tekintjük, a szuszpenzió qout

térfogatárammal hagyja el a kristályosítót, amelyben a kristályok méreteloszlása osztályozott. Az elvétel mérettartományát a h(L) szelekciós függvény határozza meg. A

szelekciós függvény esetében az MSMPR kristályosítóra érvényes reprezentatív elvételt kapjuk. A kristályosító állapotát az n(L,t) méreteloszlás, a c oldott komponens koncentráció és a c

( )

^{L =1}

h

sv oldószer koncentráció jellemzi. Mivel a kristályosító izoterm körülmények működik az oldott komponensre vonatkozó cs telítési koncentráció időben állandónak tekinthető, és energiamérleget nem adok meg.

n(L,t), c, c_sv

q_in, n_in(L,t), c_in, c_sv,in qout, h(L)n(L,t), c, csv

2.1. ábra. A folyamatos MSCPR izoterm kristályosító vázlatos rajza.

A matematikai modell felállításkor a következő feltételezéseket teszem:

(1) Az oldott komponens moláris térfogata megegyezik az oldatban és a kristályokban, így a kristályszuszpenzió térfogata az oldott komponens kiválása miatt nem változik, és a kilépő térfogatáram nagysága minden időpillanatban megegyezik a belépő térfogatárammal, azaz qin=qout.

(2) A keletkező kristályok mérete az L lineáris változóval jellemezhető.

(3) A kristálygócok L0 mérettel keletkeznek.

(4) A kristályok méretnövekedése méretfüggő.

(5) A kristálygócok elsődleges gócképződési mechanizmussal keletkeznek.

(6) A kristályok törésének és agglomerizációjának mértéke elhanyagolható.

Gócképződési kinetika

A modellben elsődleges gócképződési mechanizmust tételezek fel. Az egységnyi oldattérfogatban, egységnyi idő alatt képződő kristálygócok számát a Volmer gócképződési modellel írom le:

( )

( )

[ ] [ ( ) ]

^_









− −

≅











−

= _{2 2}

0 exp

exp ln ,

s s p e

s p e

s c c c

k k c

c k k

c c

B (2.1.1.1)

ahol kp a gócképződési sebességi állandó, k

)

^e konstans és cs a telítési koncentráció. A mennyiség az oldat túltelítettségének mértékét fejezi ki.

(

c−c_s

Kristálynövekedési kinetika

A modellben mérettől függő kristálynövekedést tételezek fel. A kristályok méretfüggő növekedését két függvény, a kristályosító állapotát jellemző függvény valamint a növekedés méretfüggőségét leíró függvény szorzataként írom le:

(

c c

) (

L

A (2.1.1.3) egyenletben kg a kristálynövekedési sebességi állandó és g konstans.

A folyamatos MSCPR izoterm kristályosító matematikai modellje a kristályok méreteloszlására felírt populációs mérlegből, az oldat fázisra vonatkozóan a kristályosítandó komponens és az oldószer tömegmérlegéből áll.

Populációs mérlegegyenlet

A kristályok populációját az n(L,t) méreteloszlás alapján a következő parciális differenciálegyenlet írja le:

=

A kezdeti és peremfeltételeket az alábbi egyenletek definiálják.

) (2.1.1.6)

Az (2.1.1.5) egyenlet bal oldalának első tagja a V térfogatban lévő kristályok méreteloszlásának időbeli változását adja meg, míg a második tag a kristálypopuláció változását írja le a kristályok növekedése által. A jobb oldal első tagja az L0 méretű kristálygócok képződését írja le, mint forrás, míg a második és harmadik tagja a kristályok betáplálását és az osztályozott elvételt fejezi ki. Amennyiben a szelekciós függvény a konstans h(L)=1 függvény az MSMPR kristályosítót leíró populációs mérlegegyenletet kapjuk. Az ε(t) oldattérfogati hányad az egységnyi térfogatú kristályszuszpenzióban lévő anyalúg térfogatát adja meg:

(2.1.1.9)

ahol a kv formatényező a kristályok jellemző alakjától függő konstans. A (2.1.1.5) egyenlet egy másik, de egyenértékű felírási módja, amikor a B0 gócképződési sebességet az L0 méretnél jelentkező bal oldali peremfeltétel részeként adjuk meg:

( )

( , )

Figyelembe véve a fentebb említett modell feltételezéseket valamint a növekedési kinetikát leíró (2.1.1.2) egyenletet, a (2.1.1.5) populációs mérlegegyenlet a következő módon egyszerűsíthető:

[ ( ) ] _{( ) ( )} ( )

ahol τ az átlagos tartózkodási idő.

Oldott komponens tömegmérleg

A gócképződési, valamint kristálynövekedési sebesség megadásához az oldott komponens koncentrációjának értéke szükséges. A koncentráció értékét az anyalúgra felírt tömegmérleg alapján határozzuk meg. A tömegmérleg felírásához a (2.1.1.12) egyenletből indulunk ki. Ha a (2.1.1.12) egyenlet tagjait kvL³-al megszorozzuk és integráljuk az L változó szerint az alábbi egyenleteket kapjuk:

(

⁻

)

^{= + + − −}

∫

^∞

( ) ( )

A (2.1.1.13) egyenlet az egységnyi térfogatú szuszpenzióban lévő kristályok térfogatának változását írja le, míg a (2.1.1.14) egyenlet az egységnyi térfogatú szuszpenzióban lévő anyalúg térfogatváltozását fejezi ki. A (2.1.1.13) egyenlet jobb oldalának első két tagja írja le azt az egységnyi szuszpenzió térfogatban létrejövő kristálytérfogat növekedést, amely a kristálynövekedésből és gócképződésből adódik.

Felhasználva ezt a két tagot, az oldott szilárd komponens tömegmérlegét az alábbi módon írhatjuk:

(

0 0 ³0

ahol ρc a kristályok sűrűsége. Az egyenlet bal oldala az oldott komponens tömegének időbeli változását írja le. A jobb oldal első két tagja a betáplálás és elvétel általi tömegáramot fejezi ki. Az utolsó tag a gócképződés és kristálynövekedés által bekövetkező tömegáramot írja le, mint az oldott komponens fogyását. A (2.1.1.14) egyenlet felhasználásával a (2.1.1.16) egyenletet az alábbi módon írhatjuk:

(

⁻

) (

^{− −}

) (

⁺

)

⁺

A (2.1.1.17) egyenlet az oldott komponens koncentráció változását írja le folyamatos MSCPR kristályosítóban az alábbi kezdeti feltétel megadásával:

(2.1.1.18)

( )

0 c₀

c =

Ha a szelekciós függvény értéke h(L)=1, a folyamatos MSMPR kristályosító koncentráció változását leíró egyenletet kapjuk:

( ) ( ) (

0 0 ³0

Oldószer tömegmérleg

Az anyalúg oldószer mérlegét a következő egyenlet adja meg:

sv

ahol a bal oldali tag az oldószer tömegének időbeli változását fejezi ki. A jobb oldal két tagja az oldószer betáplálási és elvételi tömegáramát írja le. Az oldószer koncentráció változását a (2.1.1.14) egyenlet felhasználásával fejezzük ki, és az alábbi mérlegegyenletet írhatjuk fel:

(

⁻

)

⁺

(

^{+ +}

A h(L)=1 esetben a folyamatos MSMPR kristályosító oldószer koncentrációjának változását leíró egyenletet kapjuk:

(

,

) (

0 0 ³0

A folyamatos MSCPR izoterm kristályosító dinamikai működését a (2.1.1.12), (2.1.1.17) és (2.1.1.21) egyenletek megoldásával kapjuk meg a (2.1.1.1-2.1.1.4) kinetikai összefüggések, valamint a (2.1.1.18), (2.1.1.22) és (2.1.1.6-2.1.1.8) kezdeti és peremfeltételek felhasználásával.

2.1.2. Az MSMPR izoterm kristályosító matematikai modelljének

In document Kristályosítók dinamikus folyamatainak modellezése és szimulációja (Pldal 44-48)