Az MSCPR izoterm kristályosító matematikai modelljének megoldása adaptív végeselemű ortogonális kollokációval

Oldószer tömegmérleg

( )

A (2.1.2.11-2.1.2.17) egyenletek, amelyek magukban foglalják a gócképződési és kristálynövekedési kinetikát, a folyamatos MSMPR izoterm kristályosító dimenziómentesített momentum modelljét adják meg.

2.1.3. Az MSCPR izoterm kristályosító matematikai modelljének megoldása adaptív végeselemű ortogonális kollokációval

Az adaptív végeselemű kollokáció módszerének alkalmazásához a (2.1.1.10) és (2.1.1.11) egyenletek alapján a populációs mérlegegyenlet alábbi formáját használom amelyben feltételezem, hogy a kristálygócok L₀ =0 mérettel keletkeznek:

[ ( ) ] ( )

A h(L) szelekciós függvény

Az MSCPR izoterm kristályosító dinamikáját két különböző szelekciós függvény esetében vizsgálom, amelyek a Bourne és társai (1976) által megadott összefüggés módosított alakjai, azaz:

( )

_

ahol a, b és c pozitív konstansok. A (2.1.3.7) szelekciós függvény határértéke ca/b ha és c ha L . Másodsorban az a/b<1 feltétel megkötésével a következő szelekciós függvényt adom meg:

∞

→

L →0

( )

_ A matematikai modell dimenziómentesítése

A (2.1.3.1-2.1.3.6) populációs mérlegegyenlet, a (2.1.1.17) oldott komponens tömegmérleg, a (2.1.1.21) oldószer tömegmérleg, a (2.1.1.1-2.1.1.4) kinetikai összefüggések, a (2.1.1.18) és (2.1.1.22) kezdeti feltételek, valamint a (2.1.3.7-2.1.3.8) szelekciós függvények által megadott folyamatos MSCPR izoterm kristályosító modell dimenziómentesítésére a következő dimenziómentes változókat és paramétereket vezetem be:

; ; ; ; ζ

Az összefüggésekben max a betáplálási koncentráció egy maximális értékét fejezi ki, valamint B

{

c_in

}

0,s, G0,s és st tetszőlegesen megválasztható konstansok. A dimenziómentes változók bevezetésével a következő egyenletrendszert kapjuk:

Populációs mérlegegyenlet

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )

ς ξ ς ς ξ

A h(ς) szelekciós függvény

A (2.1.3.7) és (2.1.3.8) egyenletekkel megadott szelekciós függvények a ς dimenziómentes méretváltozó bevezetésével az alábbi formát veszik fel:

( ) ( )

Oldott komponens tömegmérleg

( )

Oldószer tömegmérleg

( )

Gócképződési kinetika

( )

_

Kristálynövekedési kinetika

( )

^g

A (2.1.3.9-2.1.3.23) egyenletrendszer a folyamatos MSCPR izoterm kristályosító dimenziómentes modelljét adja meg, amely a h(L)=1 szelekciós függvény esetén a folyamatos MSMPR izoterm kristályosító dimenziómentes modelljére egyszerűsödik le.

2.1.3.1. A populációs mérlegegyenlet megoldása végeselemű ortogonális kollokációval A (2.1.3.9-2.1.3.16) egyenletekkel megadott populációs mérlegegyenletet végeselemű ortogonális kollokáció alkalmazásával oldom meg. A kristályosítási folyamat jellegzetessége, hogy a kristályok a gócképződéstől kezdődően több nagyságrendű méretnövekedésen mennek keresztül. A kristályok korai növekedési folyamatáról és a méreteloszlás kifejlődéséről hasznos információkat kaphatunk, ha olyan megoldási algoritmust dolgozunk ki a populációs mérlegegyenlet megoldására, amely figyelembe veszi, hogy a számítási méretintervallum a kristályok növekedésének megfelelően változik. A kristályok növekedése során az aktuális méreteloszlás tartománya, és így a számítási intervallum nagysága is folyamatosan növekszik. A

számítási intervallum nagyságának minden időpillanatban meg kell egyeznie, illetve nagyobbnak kell lennie a legnagyobb méretű kristály méreténél. A megoldási algoritmus kidolgozásánál továbbá figyelembe kell venni, hogy a kialakuló méreteloszlásban meredek frontok alakulhatnak ki, amelyek elhelyezkedése az időben változik. Ilyen esetekben a végeselemek sűrűbb elhelyezése a nagyobb meredekségű helyeknél jelentősen megnövelheti a megoldás pontosságát. Ennek megfelelően a végeselemű ortogonális kollokáció alkalmazásán felül egy olyan adaptív végeselem felosztási módszert kell alkalmazni, amely egyrészt a kristályok növekedésének megfelelően kezeli az aktuális számítási intervallum nagyságát, másrészt a számítási intervallum végeselem felosztását a méreteloszlásban jelentkező meredek frontok elhelyezkedésének és mozgásának megfelelően adja meg. E célból egy adaptív végeselem felosztási módszert dolgoztam ki a számítási intervallum felosztására, amelyet a következő alfejezetben ismertetek.

A végeselemű ortogonális kollokáció alkalmazásának első lépésében a ς transzformált méretváltozó

[ ]

számítási tartományát egy [0,ς

=

∞ ,

0 max] tartományra

szűkítjük le. A ςmax értéke a kristályok növekedésével párhuzamosan változik, és mint fentebb említettem, az értéket úgy kell megválasztani, hogy minden időpillanatban nagyobb legyen a kialakuló maximális kristályméretnél. A [0,ςmax] számítási intervallumot N részintervallumra osztjuk az alábbi módon:

(2.1.3.24)

A ςi, i=1,…,N osztópontok helyzete a méreteloszlás aktuális profiljának és a maximális kristályméretnek megfelelően változik az időben. A [ςi,ςi+1], i=0,...,N-1 részintervallumokon bevezetjük az uⁱ független változókat és az f(ς,ξ) méreteloszlás közelítésére az ^fi

( )

^ui,ξ közelítő függvényeket: Az N intervallum mindegyikén Mi különböző interpolációs pontot definiálunk úgy,

hogy u₁ⁱ =ς_i és uⁱ_Mi =ς_i+1 , majd az ^{f i}

( )

^ui,ξ közelítő függvényt (Mi-1)-ed fokú Lagrange alap polinomok lineáris kombinációjával fejezzük ki:

( ) ( )

ξ

A (2.1.3.27) egyenletben l_jⁱ jelöli a j-dik alap polinomot a [ςi,ςi+1] részintervallumon értelmezve, és értéke az interpolációs pontoknál

( )

i jk

k i

j u =δ _,

l , k=1,...,Mi. Mivel a [ςi,ςi+1], i=0,...,N-1 végeselemek nagysága különböző lehet, célszerű normált változókat bevezetni az egyes részintervallumokon az alábbi módon:

i A normált υⁱ változókkal az (2.1.3.27) és (2.1.3.28) egyenletek az alábbi formát

veszik fel:

(2.1.3.30)

A (2.1.3.30) egyenletben l a j-dik Lagrange alap polinomot jelöli a transzformált méretváltozóknak megfelelő [0,1] értelmezési tartományon. Az (M

i

i interpolációs pontok alapján határozzuk meg, amelyek a kollokációs pontokat képezik. Az intervallumok bal és jobb oldali határpontja képezi a és υ , i=0,...,N-1 kollokációs pontokat. Az intervallumok belső kollokációs pontjait (M

1ⁱ =0

υ _Mⁱ

i

i-2)-ed fokú ortogonális polinom, a [ intervallumra transzformált Legendre polinom gyökeiként adjuk meg. Ha az (M

] 1 , 0

i-2)-ed fokú transzformált Legendre polinom gyökeit w_nⁱ, n=1,.., Mi-2 jelöli, akkor a [ςi,ςi+1], i=0,...,N-1 részintervallumok belső interpolációs pontjait az alábbi módon írhatjuk:

2

A végeselemek [0,1] tartományra való normálása miatt az egyes részintervallumokat leíró populációs mérlegegyenlet formája a u változó transzformációnak megfelelően változik. A [ς

(

_{i i}

)

_i

i

i =υ ς ₊₁−ς +ς

i,ςi+1], i=0,...,N-1 végeselemekre az alábbi mérlegegyenleteket nyerjük:

( ) ( ) ( )

ahol zi=ςi+1-ςi. A szakaszonkénti megoldásban megköveteljük, hogy a közelítő függvény a [0,ςmax] számítási tartományon folytonos legyen, azaz hogy az egyes részintervallumok kollokációs pontjához tartozó közelítő függvény érték megegyezzen az előző részintervallum υ kollokációs pontjához tartozó függvény értékkel. Az egyes végeselemekre ennek megfelelően az alábbi feltételeket adjuk meg:

i

i>0 esetén

, i=1,...,N-1 (2.1.3.35)

2.1.3.1.1. Ortogonális kollokáció

Az ortogonális kollokáció alkalmazásának első lépésében megadjuk az egyes i=0,...,N-1 részintervallumokra érvényes reziduum függvényeket. A (2.1.3.30) közelítő függvény (2.1.3.33) egyenletbe való helyettesítésével kapjuk:

( ( ) ) ( ) ( ) ( )

Az egyenlet jobb oldali tagjainak kifejtése után a következő egyenleteket nyerjük:

( ( ) ) ( ) ^{( )} ( )

A kollokációs módszerben a reziduum függvények minimalizálására a

(

kⁱ

)

i i

Wk =δ υ −υ , k=1,...,Mi súlyfüggvényeket használjuk, és a [ςi,ςi+1], i=0,...,N-1 részintervallumokra az alábbi egyenletrendszereket nyerjük:

(2.1.3.39) átrendezése után az alábbi differenciálegyenlet-rendszert nyerjük az f_kⁱ együtthatókra:

( ) ( )

következő egyenlet definiálja:

( )

A részintervallumok első kollokációs pontjaira az alábbi algebrai egyenleteket adjuk meg:

i>0 esetén

Az MSMPR és MSCPR izoterm kristályosító modell végeselemű ortogonális kollokációval való megoldásában a (2.1.3.40) differenciálegyenletekből valamint a (2.1.3.42) és (2.1.3.43) algebrai egyenletekből álló differenciál-algebrai egyenletrendszer kiegészül a (2.1.3.17-2.1.3.23) differenciálegyenletekkel. Az így kapott differenciál-algebrai egyenletrendszer megoldásával az oldott komponens és az oldószer koncentrációjának valamint az f_kⁱ (i=0,...,N-1; k=1,...,Mi) együtthatók értékének időbeli változását nyerjük, amelyek a méreteloszlás értékeit definiálják a kollokációs pontokban.

2.1.3.2. A f(ς,ξ) méreteloszlás momentumainak számítása kvadratúrával

Az oldott komponens és az oldószer tömegmérlegben szereplő f(ς,ξ) méreteloszlás momentumait kvadratúrával határozom meg. Jelölje γm, m=0,1,2,3,... az f(ς,ξ) méreteloszlás momentumait. Mivel a populációs mérlegegyenlet megoldását a [ςi,ςi+1], i=0,...,N-1 részintervallumokon közelítjük, az f(ς,ξ) méreteloszlás momentumait az alábbi összefüggések alapján számíthatjuk:

, m=0,1,2,3,... (2.1.3.44)

Mivel az , i=0,...,N-1 szakaszonkénti közelítő megoldások a

(

változók mentén állnak rendelkezésre, ezért a , m=0,1,2,3,...

integrálösszegek számítása az változó transzformációval történhet:

fi

)

A integrálokat Lobatto kvadratúrával határozom meg, amely az intervallum két szélső határpontjához tartozó függvényértéket is figyelembe veszi. NQ számú kvadratúra pont esetén a w , j=1,…,NQ kvadratúra súlyokkal és a υ , j=1,…,NQ kvadratúra pontokkal a következő egyenleteket kapjuk:

( )

2.1.3.3. A

∫

^max

( ) ( )

integrál számítása kvadratúrával

Az oldott komponens és az oldószer tömegmérlegben szereplő

integrált kvadratúrával számítom, amely az , i=0,...,N-1 szakaszonkénti közelítő megoldás alapján az alábbi módon írható:

( ) ( )

változó transzformációval a következő egyenlet írja le:

( )( ) ( )

A integrált Lobatto kvadratúrával

számítom NQ számú kvadratúra pont alapján a w , j=1,…,NQ kvadratúra súlyokkal és , j=1,…,NQ kvadratúra pontokkal:

( )

In document Kristályosítók dinamikus folyamatainak modellezése és szimulációja (Pldal 50-57)