3. Szimulációs vizsgálatok
3.1. A folyamatos izoterm kristályosítók dinamikus folyamatai
3.1.3. Az MSCPR izoterm kristályosító dinamikai vizsgálata
A folyamatos MSCPR izoterm kristályosító dinamikai vizsgálatára a (2.1.3.9-2.1.3.23) egyenletekkel megadott dimenziómentesített modellt használtam. A (2.1.3.9) dimenziómentesített populációs mérlegegyenletet a 2.1.3. és 2.1.4. fejezetben ismertetett adaptív végeselemű ortogonális kollokáció alkalmazásával oldottam meg. A végeselemű kollokáció alkalmazásával a szakaszonkénti közelítő függvény együtthatóinak változását leíró (2.1.3.40-2.1.3.43) differenciál-algebrai egyenlet-rendszert nyerjük, amely kiegészül a (2.1.3.17-2.1.3.21) egyenletek által leírt oldott komponens és oldószer tömegmérleggel továbbá a (2.1.3.22) és (2.1.3.23) gócképződési és kristálynövekedési sebesség összefüggésekkel.
Az MSCPR izoterm kristályosító vizsgálatában az osztályozott elvétel hatását tanulmányoztam a kristályosító működésére. A szimulációs vizsgálatokban a kialakuló méreteloszlás, a méreteloszlás harmadik momentuma, valamint a ς átlagos kristályméret dinamikáját vizsgáltam különböző h szelekciós függvény alkalmazása esetén. A szimulációs vizsgálatokban feltételeztem, hogy a kristályosítóba tiszta anyalúg lép be és kezdetben a kristályosító nem tartalmaz kristályokat. A (2.1.3.9-2.1.3.23) modell paramétereit az MSMPR izoterm kristályosító vizsgálatában alkalmazott (2.1.2.11-2.1.2.17) momentum modell F, D
( )
ςa, g, ζc és a paramétereinek specifikációján keresztül adtam meg. A számításokban az F=2, Da=500, g=1, ζc=20 és a=0 változóknak megfelelő paramétereket használtam, amely mellett a folyamatos MSMPR izoterm kristályosító instabil dinamikai viselkedést mutat (3.1.1.1.-3.1.1.3.
ábrák), és azt vizsgáltam, hogy az osztályozott elvétel milyen hatással van a kristályosító instabil működésre. A (2.1.3.9-2.1.3.23) modell további paramétereit, az anyalúg koncentráció kezdeti értékét, valamint a dimenziómentes változók definíciójában szereplő paramétereket a 3.7. táblázat tartalmazza. Az sc tényező, a kp
sebességi állandó és α paraméter meghatározása a (3.1.1-3.1.3) egyenletek felhasználásával történik.
3.7. táblázat. A (2.1.3.9-2.1.3.23) modell paramétereinek megadása.
F 2 a 0 st 0.4 cin 211.475 kg/m3
Da 500 kg 1.0×10-5 (m/h)⋅(m3/kg)-g B0,s 1.0×1012 yin 1.0
g 1 kv 0.47 G0,s 1.0×10-4 ρc 1760 kg/m3 ζc 20 τ 2.5 h sL 4.0×103 y(0) 0.5
A számítási intervallum kezdeti nagyságát és az osztópontok kezdeti helyzetét a (3.1.4) egyenlet alapján adtam meg. A végeselemeken azonos rendű közelítő függvényeket alkalmaztam, azaz Mi=M, i=0,...,N-1. A (3.1.5) egyenlet felhasználásával zérus kezdeti eloszlást definiáltam a kezdeti számítási intervallumon. A (2.1.3.17) oldott komponens és (2.1.3.20) oldószer tömegmérlegben szereplő integrálokat Gauss-Lobatto kvadratúrával értékeltem ki a 2.1.3. fejezetben ismertetett módon. Az x2 és x3
dimenziómentes momentumokat a ς méretváltozó mentén kapott momentumokból a (2.1.3.18) egyenlet felhasználásával határoztam meg. A számítási intervallum adaptív felosztásának paramétereit a 3.8. táblázatban foglalom össze.
3.8. táblázat. A számítási intervallum adaptív felosztásának paraméterei.
∆x0 2.0×10-5 r1 1.05 NS 20 NI 1 NQ 19
M 7 r2 0.5 ND 100 I1 1
A szimulációs vizsgálatokban alkalmazott szelekciós függvények első csoportját a 3.9. táblázat tartalmazza. A szelekciós függvényeket a (2.1.3.15) egyenlet definiálja különböző a, b és c konstansok mellett. A (2.1.3.15) által megadott szelekciós függvény határértéke ca/b ha L és c ha L . A 3.9. táblázatban megadott függvények esetében a<b, amely feltétel mellett a szelekciós függvények szigorúan monoton csökkenő függvények a teljes mérettartományon és ennek megfelelően a kisméretű kristályok relatíve gyorsabb elvételét írják le a nagyobb méretű kristályokhoz képest.
Ha (h
∞
→
c /
≥1
→0
( )
≤1
c 1-2,h5,h9,h17-18), akkor a szelekciós függvények görbéi az MSMPR kristályosító reprezentatív elvételét leíró h(ς)=1 konstans függvény alatt helyezkednek el. Ha c>1 és a/b (h13-16), akkor a függvények görbéi a h(ς)=1 függvény felett helyezkednek el, és a reprezentatív elvételhez viszonyítva egy gyorsított elvételt írnak le a mérettartomány teljes intervallumán. Amennyiben c>1 és a/b<1/c (h3-4,h6-8,h10-12), akkor a szelekciós függvények a ς = c−1
(
b/sL2 −ca/sL2)
pontban metszik a h(ς)=1 konstans függvényt, és csak a mérettartomány egy részintervallumán adnak meg gyorsított elvételt.3.9. táblázat. A (2.1.3.15) h
( )
ς szelekciós függvények megadása.a b c a b c a b c
h1 2.0e5 2.500e5 0.5 7 2.0e5 6.666e5 2.0 h13 2.0e5 2.500e5 1.5 h2 2.0e5 5.000e5 1.0 h8 2.0e5 8.333e5 2.5 h14 2.0e5 3.333e5 2.0 h3 2.0e5 7.500e5 1.5 h9 2.0e5 2.500e5 1.0 h15 2.0e5 4.166e5 2.5 h4 2.0e5 1.000e6 2.0 h10 2.0e5 3.750e5 1.5 h16 2.0e5 5.000e5 3.0 h5 2.0e5 3.333e5 1.0 h11 2.0e5 5.000e5 2.0 h17 1.0e6 2.500e6 1.0 h6 2.0e5 5.000e5 1.5 h12 2.0e5 6.250e5 2.5 h18 1.0e7 2.500e7 1.0
h
A szelekciós függvények második csoportját a 3.10. táblázat tartalmazza. Ezekben az esetekben a szelekciós függvényeket szintén a (2.1.3.15) egyenlet adja meg, de az feltétellel szigorúan monoton növekvő függvényeket definiálunk, és a függvények a nagyobb méretű kristályok relatíve gyorsabb elvételét írják le a kisebb méretű b a≥
kristályokhoz képest. Ha c≥1 (h29-30), akkor a szelekciós függvények görbéi a h(ς)=1 függvény felett helyezkednek el és a reprezentatív elvételhez viszonyítva gyorsított elvételt adnak meg a mérettartomány teljes intervallumán. Amennyiben c<1 és
(h c b a/ ≤1/
( )
25), akkor a szelekciós függvények görbéi a h(ς)=1 függvény alatt helyezkednek el. Ha c<1 és a/b>1/c (h26-28), akkor a szelekciós függvények a
(
L2)
2 /
/
1 b sL ca s
c− −
=
ς pontban metszik a h(ς)=1 függvényt, és csak a mérettartomány egy részintervallumán fejeznek ki gyorsított elvételt.
3.10. táblázat. A (2.1.3.15) h
( )
ς szelekciós függvények megadása.a b c a b c
h25 3.813e5 2.544e5 0.6 h28 4.200e6 1.400e6 0.6 h26 7.000e5 3.500e5 0.6 h29 4.000e5 3.200e5 1.2 h27 1.400e6 5.600e5 0.6 h30 1.200e6 8.000e5 1.2
A szimulációs vizsgálatokban alkalmazott szelekciós függvények harmadik csoportját a 3.11. táblázatban megadott szelekciós függvények alkotják, amelyek szintén a nagyobb méretű kristályok relatíve gyorsabb elvételét írják le. A szelekciós függvényeket a (2.1.3.16) egyenlet adja meg, amely esetben a függvény határértéke c(1-a/b) ha , és 0 ha L . Az a<b feltétel mellett a szelekciós függvények szigorúan monoton növekvő függvények. Ha c (h
∞
→ L
)
1→0
(
1−a/b)
≤1 19-21,h31-32), akkor a szelekciós függvények görbéi a h(ς)=1 függvény alatt helyezkednek el. Amennyiben(
1−a/b > (hc 22-24), akkor a szelekciós függvények a ς = 1
(
cb/sL2 −ca/sL2 −b/sL2)
pontban metszik a h(ς)=1 függvényt, és csak a mérettartomány egy részintervallumán definiálnak gyorsított elvételt.
3.11. táblázat. A (2.1.3.16) h
( )
ς szelekciós függvények megadása.a b c a b c
h19 1.4e5 2.000e5 1.0 h23 2.0e5 8.000e5 2.0 h20 1.0e5 2.500e5 1.0 h24 2.0e5 2.000e6 2.0 h21 3.5e4 3.500e5 1.0 h31 2.0e5 2.000e6 1.0 h22 2.0e5 5.000e5 2.0 h32 1.0e6 1.000e7 1.0
A 3.1.3.1.-3.1.3.4. ábra a h1-16 szelekciós függvényeket és a szelekciós függvényeknek megfelelő osztályozott elvétel esetén mutatja az MSCPR izoterm kristályosítóban kialakuló méreteloszlás x3 momentumának időbeli változását. A h1-16
szelekciós függvények a kisebb méretű kristályok relatíve gyorsabb elvételét írják le a nagyobb méretű kristályokhoz képest. A h1, h2, h5 és h9 esetekben a szelekciós függvények értéke minden pontban kisebb a h függvénynél, amely az MSMPR kristályosítóra érvényes reprezentatív elvételt definiálja. A többi esetben a szelekciós függvények a mérettartomány egészén illetve egy részén gyorsított elvételt írnak le. Az egyes ábrákon bemutatott szelekciós függvények végtelenben vett határértéke megegyezik, amelyre a h jelölést alkalmazom. A különbség a ς=0 méretnél vett h határértékekben található, amely meghatározza a kisméretű kristályok elvételi arányát. A 3.1.3.1.-3.1.3.4. ábrákon látható, hogy a h(0) határérték növekedésével a kristályosító működése stabilizálódik. A h(0) határérték növekedésével a harmadik momentumban jelentkező oszcilláció amplitúdója jelentősen csökken, míg a frekvenciája kismértékben növekszik. A szelekciós függvények h
( )
ς =1( ) ( )
ςς h
∞
= →
∞ lim
( )
ς0h
( )
0 limς= →
( )
∞3.1.3.1. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h1-4 szelekciós függvények esetében.
3.1.3.2. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h5-8 szelekciós függvények esetében.
3.1.3.3. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h9-12 szelekciós függvények esetében.
3.1.3.4. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h13-16 szelekciós függvények esetében.
értéke a 3.1.3.1.-3.1.3.4. ábrákon sorrendben 0.4, 0.6, 0.8 és 1.2, amelynek megfelelően a szelekciós függvények növekvő elvételéti szintet írnak le. A 3.1.3.1 ábrán látható szelekciós függvények esetében a legkisebb az elvételi szint, amelynek megfelelően a kristályosító hozama jelentősen megnövekszik az MSMPR kristályosítóhoz képest. A 3.1.3.1.-3.1.3.4. ábrákon megfigyelhető, hogy a h határérték növekedésével a kristályosító hozama fokozatosan lecsökken és a h
( )
∞9-12 szelekciós függvények esetén a kristályosító hozama már kisebb, mint az MSMPR kristályosító esetében. A h13-16
szelekciós függvények esetében a mérettartomány teljes intervallumán gyorsított elvételt definiálunk. A 3.1.3.4. ábrából látható, hogy ezekben az esetben a kristályosító hozama már jelentősen lecsökken, és az x3 momentumban jelentkező oszcilláció frekvenciája jelentősen megnövekszik.
A 3.1.3.5.-3.1.3.6. ábrákon a méreteloszlás dinamikája látható a h5, h8 és a h13, h16
szelekciós függvények esetében. Mint látható, a nagyobb h(0) határértékkel rendelkező szelekciós függvények esetében a méreteloszlásban mutatkozó oszcilláció fokozatosan megszűnik, és a stacionárius állapotban egy exponenciális méreteloszlás alakul ki.
Megfigyelhető, hogy a növekvő mértékű elvétel hatására a kialakuló méreteloszlás domináns tartománya jelentősen lecsökken, és az exponenciális eloszlás peremértéke megnövekszik.
A 3.1.3.7. ábra a h5, h8 és a h13, h16 függvények esetében mutatja a kristályok átlagos méretének időbeli változását. Az ábrából jól látható, hogy az átlagméret változása a vizsgált esetekben csillapodó oszcillációt mutat. A h8 és h16 szelekciós függvények esetén a kristályosító hozamának stabilizálódásával párhuzamosan az átlagméret is egy stacionárius értéket vesz fel. Megfigyelhető, hogy a szelekciós függvények által megadott nagyobb mértékű elvétel hatására az átlagméretben kialakuló oszcilláció frekvenciája megnövekszik és az átlagméret értékének változási tartománya lecsökken, amely igazolja az oszcilláló méreteloszlás domináns mérettartományának csökkenését.
A 3.1.3.8. ábrán a h2, h17 és h18 szelekciós függvények láthatók, amelyek h(0) és határértékei megegyeznek és a h
( )
∞h 2, h17 és h18 sorrendben élesebb és csökkenő mértékű elvételt írnak le. Mint a 3.1.3.8. ábrán látható a csökkenő elvétel hatására a x3
momentum értéke és így a kristályosító hozama is megnövekszik a h(ς)=1 szelekciós függvénynek megfelelő MSMPR kristályosítóhoz képest. Az előző esetekhez hasonlóan megfigyelhető, hogy a kristályok elvételének csökkenésével az x3 momentumban mutatkozó oszcilláció frekvenciája csökken, és az amplitúdója növekszik.
(a) (b)
3.1.3.5. ábra. A méreteloszlás időbeli változása. (a) MSCPR, h5; (b) MSCPR, h8
(a) (b)
3.1.3.6. ábra. A méreteloszlás időbeli változása. (a) MSCPR, h13; (b) MSCPR, h16
3.1.3.7. ábra. Az átlagos kristályméret időbeli változása a h5, h8, h13 és h16 szelekciós függvények esetében.
3.1.3.8. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h2, h17 és h18 szelekciós függvények esetében.
Az M.1.5.-M.1.7. ábrák a h19-24 szelekciós függvényeket, és megfelelően, a kialakuló méreteloszlás x3 momentumának időbeli változását mutatja. Ezekben az esetekben a szelekciós függvények a nagyobb méretű kristályok relatíve gyorsabb elvételét írják le.
A szelekciós függvények h(0) határértékei megegyeznek és a h határérték változik.
A h(0)=0 határértéknek megfelelően a kisméretű kristályok lassabban távoznak a kristályosítóból, mint a reprezentatív elvétel esetében és a kristálygócok a keletkezési
( )
∞(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
3.1.3.9. ábra. A méreteloszlás időbeli változása. (a) MSCPR, h19; (b) MSCPR, h20; (c) MSCPR, h21; (d) MSCPR, h22; (e) MSCPR, h23; (f) MSCPR, h24
méretüknél gyakorlatilag nem távoznak a rendszerből. A szelekciós függvény h határértékének növekedésével növekszik a kristályok elvétele és a kristályosító hozama fokozatosan lecsökken. Hasonlóan a h
( )
∞1-18 esetekhez a nagyobb arányú elvétel hatására növekszik az x3 momentumban kialakuló oszcilláció frekvenciája, azonban az oszcilláció amplitúdója a h19-24 szelekciós függvények esetén jelentősen nagyobb, mint az MSMPR kristályosító esetében.
A 3.1.3.9. ábra a h19-24 szelekciós függvényekkel kapott méreteloszlás dinamikát mutatja. A 3.1.3.9a. ábrából látható, hogy a legkisebb mértékű elvétel esetén, a ξ=[0,25]
időintervallumon belül, még nem jelentkezik oszcilláció a méreteloszlásban. A kialakuló, maximummal rendelkező eloszlás fokozatosan halad előre a méret és időtengely mentén és összehasonlítva az MSMPR kristályosítóban kialakuló méreteloszlással (3.1.3.10. ábra) jól látható, hogy ebben az esetben a méreteloszlás lecsengése jelentősen lassúbb. A h határérték növekedésével egyre magasabb frekvenciájú oszcilláció jelenik meg a méreteloszlásban, amely megfigyelhető a 3.1.3.9b-f. ábrákon. Növekvő határérték mellett a kialakuló méreteloszlás domináns mérettartománya csökken, és az eloszlás peremértékében kialakuló oszcilláció amplitúdója növekszik.
( )
∞) (
∞ hA 3.1.3.10. ábra az átlagos kristályméret dinamikáját mutatja a h21-24 szelekciós függvények esetében és látható, hogy az átlagos kristályméret dinamikája megfelel az x3
momentum által mutatott dinamikai viselkedésnek. A h határérték növekedésével az átlagos kristályméret kisebb amplitúdójú, de magasabb frekvenciájú oszcillációt mutat.
( )
∞Az M.1.8.-M.1.10. ábrák a h25-30 függvényeket és a megfelelő x3 momentum dinamikát mutatják. Mint a szelekciós függvényekből látható, növekszik a kisméretű kristályok elvételi aránya a h19-24 függvényekhez hasonlítva és ezekben az esetekben a keletkező kristálygócok is eltávozhatnak a rendszerből. Az M.1.8.-M.1.10. ábrákon látható eredményeket összehasonlítva a h19-24 szelekciós függvények esetén kapott eredményekkel látható, hogy a h(0) határérték növekedésével csökken a kristályosító hozama, és kismértékben növekszik a kialakuló oszcilláció frekvenciája.
3.1.3.10. ábra. Az átlagos kristályméret időbeli változása a h21-24 szelekciós függvények esetében.
A 3.1.3.11. ábra a h25 és h29 szelekciós függvények esetében mutatja a méreteloszlás dinamikáját. A 3.1.3.9f., 3.1.3.11a. és 3.1.3.11b. ábrák összehasonlításával látható, hogy a méreteloszlásban kialakuló oszcilláció frekvenciája az elvételi szint növekedésével növekszik, és párhuzamosan a ciklikusan változó méreteloszlás gyorsabb lecsengése figyelhető meg a mérettengely mentén.
(a) (b)
3.1.3.11. ábra. A méreteloszlás időbeli változása. (a) MSCPR, h25; (b) MSCPR, h29
A 3.1.3.12. ábra az átlagos kristályméret dinamikáját mutatja a h25 és h29 szelekciós
3.1.3.12. ábra. Az átlagos kristályméret időbeli változása.
függvények esetében, amelyből látható hogy, az átlagos kristályméret változási tartománya nem tér el jelentősen egymástól a két esetben.
A 3.1.3.13. ábra azonos h(0) és határértékű szelekciós függ-vények esetén mutatja a méreteloszlás x
( )
∞ h3 momentumának időbeli változását. A szelekciós függvény élességével a kristályok elvétele megnövekszik, amelynek következtében a kristályosító hozama csökken, és az x3 momen-tumban kialakuló oszcilláció frekven-ciája növekszik.
(a) (b)
3.1.3.13. ábra. Az x3 momentum időbeli változása a h21, h31 és h32 szelekciós függvények esetében.