1.3. A kristályosítók matematikai modellezése
1.3.5. A nem ideális kevertségű kristályosítók leírása
A kristályosítókban kialakuló áramlási viszonyoknak jelentős szerepe van a kristályosítók működésében. A kristályosítási technológiák nagyobb részében kevert kristályosítókat használnak. Ha a keverés intenzitása nem megfelelő, a túltelítési szint lokális változásai és a kristályok térbeli egyenlőtlen eloszlása jelentősek lehetnek, amely hatással van a gócképződési és kristálynövekedési sebességre, valamint a kialakuló méreteloszlásra. A keverés intenzitása önmagában is befolyásolja a másodlagos gócképződés sebességét a folyadék nyíróhatása által.
A kémiai reaktorok analógiájára a keverési folyamatok jellemzése a kristályosítókban két különálló folyamat leírására bontható, amelyek együttesen járulnak hozzá a kevertségi szint kialakulásához. A makrokeveredési folyamat leírásában az elemi térfogatok mozgását és tartózkodási idejét vizsgálják. A mikrokeveredési folyamatok pedig az elemi térfogatok közötti kölcsönhatásokként jelennek meg. A két folyamat független egymástól, a makrokevertség egy adott állapota nem jelenti automatikusan hasonló mikroszintű kevertségi állapot kialakulását. A lényeges különbség a makro- és mikrokeveredés között, mint az elnevezésük is jelzi, az általuk leírt térfogat nagyságában van. Egy rendszerben a szegregáció mértéke meghatározza a térfogatelemek közötti koncentráció különbség mértékét. A szegregáció térbeli kiterjedése ugyanakkor megadja azt a térfogatot, amelyben a térfogat elemek nem keverednek. A folyadék intenzív mozgása csökkenti a szegregáció kiterjedését, míg a molekuláris diffúzió a szegregáció mértékét.
A kémiai reaktorokhoz hasonlóan a legegyszerűbb kristályosító hidrodinamikai modellek az MSMPR és a csőkristályosító modell, amelyek a makrokevertség két szélső értékét reprezentálják és a két ideális áramlási modellnek tekinthetők.
A kristályosítóban tartózkodó térfogatelemek egy jellemző tulajdonsága a tartózkodási idő, amely azt a időtartamot adja meg, amelyet a térfogatelemek a rendszerbe való belépésüktől kezdve a rendszerben töltenek. Az áramlási rendszerek esetében a térfogatelemek tartózkodási ideje alapján leírt makrokevertségi szint egy egységes kezelésmódot eredményez. A kezelésmódot a tartózkodási idő eloszlásának elmélete foglalja össze, amely Danckwerts (1953) elméleti munkáján alapul és az egyik legfontosabb leírási módszernek tekinthető a vegyészmérnöki gyakorlatban a komplex áramlási rendszerek és műveleti egységek analízisében valamint tervezésében.
Egy adott műveleti egységet tekintve a tartózkodási idő eloszlás ismerete lehetőséget nyújt, hogy információt kapjunk a részecskék rendszerben való átlagos tartózkodási idejéről. A tartózkodási idő eloszlásfüggvény ismerete nem nyújt elegendő információt a rendszerben lévő részletes áramlási viszonyokról, azonban fontos információt szolgáltat a műveleti egységekre jellemző hidrodinamikáról. A tartózkodási idő eloszlásfüggvény kísérleti úton való meghatározása fontos szerepet tölt be a műveleti egységek hidrodinamikájának becslésében, valamint a leíró matematikai modellek megalkotásában. A kémiai reaktorokra vonatkozóan Levenspiel (1999) ad átfogó leírást a tartózkodási idő eloszlásfüggvény használatáról, valamint kísérleti úton való meghatározásának lehetőségeiről.
A műveleti egységek kevertségi állapota szervesen kapcsolódik a rendszer mikrokevertségi szintjéhez is. A makroszintű áramlási folyamatok nem mindig okoznak kevertséget mikroszinten. Makroszinten a térfogatelemek különböző tartózkodási idő eloszlással rendelkezhetnek úgy, hogy mikroszinten nem figyelhető meg molekuláris szintű keveredés. Ebben az esetben a teljes szegregáltságról beszélünk. Egy ilyen kristályosító rendszerben a tetszőleges térfogatelemeket különálló, szakaszos kristályosítóként lehet leírni, amelyek kezdeti állapota azonos, viszont a végső állapota a rendszerben való tartózkodási időtől függ. A kevert folyadékot ebben az állapotban makrofolyadéknak nevezzük. Mivel a rendszer elvétele kevert, a teljesen szegregált rendszer jellemzőinek átlagos kimeneti értékét a szakaszos rendszerként kezelt térfogatelemeket leíró jellemzők tartózkodási idő eloszlás általi súlyozott átlaga adja (Danckwerts, 1958).
A másik szélső esetben a térfogatelemek közötti mikrokeveredés mértéke a lehetséges legnagyobb molekuláris keveredési mértéket éri el egy adott tartózkodási idő eloszlás mellett. Ebben az esetben a rendszerbe belépő térfogatelem azonnal keveredik a rendszerben lévő elemekkel és elveszíti a belépés előtti azonosságát. A folyadék fázis
ebben az állapotban mikrofolyadéknak tekinthető. A működési jellemzők számítása ebben az esetben a folyamatos kristályosítókra érvényes módon lehetséges (Zwietering, 1959).
A szegregáció fokának leírására kémiai reaktorokban Danckwerts (1958) és Zwietering (1959) adnak összefüggéseket, amelyek jól használhatók a kristályosítók leírása esetében is. Az összefüggések a térfogatelemek koreloszlásának szórása alapján adnak definíciót a szegregáció mértékére, amely egy 0 és 1 közötti szám.
Becker és Larson (1969) MSMPR kristályosító működését hasonlította össze a mikrokevertségi szint két szélső értéke mellett, teljes szegregáció illetve tökéletes mikrokeveredés esetében. A populációs mérlegegyenlet analitikus megoldása által kapott eredmények lényeges különbséget mutattak a kialakuló méreteloszlások között.
Hasonló szimulációs tanulmányt mutatott be Garside és Tavare (1985).
Munkájukban egy kémiai reaktorral összekötött folyamatos MSMPR precipitációs kristályosítót vizsgáltak tökéletes mikrokeveredés és teljes szegregáció esetében. A két esetben a Zwietering (1959) és Danckwerts (1958) által megadott koncepciót használták a modellalkotásban. A szimulációs kísérletekben a kialakuló méreteloszlást vizsgálták a két mikrokeveredési szint esetében, valamint a gócképződési és reakciósebességi állandó hatását tanulmányozták. A kialakuló méreteloszlás és túltelítési szint tekintetében jelentős különbséget kaptak a két mikrokeveredési szint esetében.
Tavare (1986) a makro- és mikrokeveredés kapcsolatát reprezentálja egy koordináta rendszerben, amelynek abszcisszája és ordinátája a makrokeveredés illetve mikrokeveredés mértéke. A diagramm lehetőséget nyújt a különböző hidrodinamikai tulajdonságú és kevertségi szintű kristályosítók besorolására.
Tavare (1989) MSMPR kristályosító működését vizsgálta tökéletes mikrokeveredés és teljes szegregáció esetében, majd a kapott működési jellemzőket összehasonlította a másik ideális makrokevertséget jelképező kristályosító, a csőkristályosító esetén kapott eredményekkel. Megállapította, hogy fokozott túltelítés generálás esetén a csőkristályosítóban kialakuló átlagos kristályméret a két szélső mikrokeveredési szintet képviselő MSMPR kristályosítóban kialakuló átlagos kristályméret közé esik, amelyből azt a következtetést vonta le, hogy a mikrokevertségi szint fontosabb a rendszer működésének meghatározásában, mint a makrokevertségi szint.
A fenti kutatási eredmények, a teljes szegregáció és a tökéletes mikrokeveredés feltételezése mellett, azt mutatják, hogy a mikrokeveredés jelensége fontos szerepet tölt be a kristályosítók működésében, és jelentősen befolyásolja a kialakuló méreteloszlás tulajdonságait. A vizsgálatok továbbá azt mutatják, hogy a mikrokevertség átmeneti szintjénél jelentkező hatások jellemzése is fontos elméleti és gyakorlati jelentőséggel bírhat. A mikrokevertség átmeneti szintjének vagy a részleges szegregáció kialakulásának és mechanizmusának leírása leginkább a kémia reaktorok mérnöki területén fejlődött. A kidolgozott modellek a mikrokevertség szintjét és/vagy a mikrokevredés mechanizmusát írják le, amelyek maradéktalanul alkalmazhatók a kristályosítási folyamatok matematikai leírásában is.
A mikrokeveredési modellek egy csoportjába azok a modellek sorolhatók, amelyekben a műveleti egység térfogatát kettő vagy több olyan részegységre bontják fel, amelyben a mikrokevertségi szint valamely szélső értéke, a tökéletes mikrokevertség vagy a teljes szegregáció a jellemző (Weinstein és Alder, 1967). A műveleti egység leírása ezután a részegységek párhuzamos illetve soros elrendezésével lehetséges. A párhuzamos elrendezés esetében a teljes betáplálási áramot szétválasztják és párhuzamosan a teljesen szegregált, valamint a tökéletes mikrokevertségű részegységbe vezetik, majd az egységekből kilépő áramokat újra egyesítik. A soros elrendezésben a teljesen szegregált és tökéletes mikrokevertségű részegységeket sorba
kapcsolják. Ezeken kívül számos variáció lehetséges, amelyet a részegységek kapcsolódási struktúrája határoz meg. Az így kapott modellek ezért rendszer specifikus és empirikus modelleknek tekinthetők. A szegregáció mértéke a részegységekbe bevezetett áramok aránya alapján jellemezhető. Ha a műveleti egységben lévő oldat egy R részarányú makrofolyadéknak és (R-1) részarányú mikrofolyadéknak a keveréke, akkor a szegregáció foka az
(
1−R)
/R mikrokevertségi aránnyal adható meg.Az IEM (Interaction by Exchange with the Mean) (David és Villermaux, 1975) modellben a folyadékfázis elemeit szakaszos működési egységeknek tekintik, amelyek önálló koncentrációval rendelkeznek. A folyadékelemek koncentrációja a környezettel való kölcsönhatás során változik, amely komponens átadásban nyilvánul meg. A komponens átadás hajtóerejét a folyadékelem és a környezet koncentrációjának különbsége határozza meg. A környezet koncentrációját a folyadékelemek egy átlagos koncentrációjával fejezik ki. A mikrokeveredés intenzitását a mikrokeveredési tényező, mint komponensátadási tényező, adja meg.
IEM modellt használt folyamatos MSMPR precipitációs kristályosítóban a mikrokeveredés hatásának leírására Tavare (1994,1995b). A szimulációs vizsgálatokban a reakciósebességi állandó, betáplálási sebesség, betáplálási koncentráció valamint a mikrokeveredési tényező hatását tanulmányozta a rendszer állapotváltozóira. A különböző mikrokevertségi szintek mellett a teljesen szegregált és a tökéletesen mikrokevert esetekre is közöl eredményeket. A vizsgálatok azt mutatják, hogy a modell a teljes szegregációhoz közeli tartományban írja le jobban a mikrokeveredés hatásait.
A koaleszcencia-rediszperzió modell (Curl, 1963) a mikrokeveredést sztochasztikus folyamatként írja le. Feltételezi, hogy a folyadékfázis elemekből áll, és a koncentráció szerinti eloszlássukkal populációt alkotnak. Két folyadékelem találkozásakor az elemek egyesülnek, és a koncentrációjuk kiegyenlítődik. Az utolsó lépésben az elemek szétválnak, és két egyforma koncentrációjú folyadékelem keletkezik. A mikrokeveredés intenzitását a keveredési tényező értéke határozza meg.
A koaleszcencia-rediszperzió modell alkalmazását mutatják be Evangelista és társai (1969) kevert üstreaktor leírásában. Sastry és Gaschignard (1981) a koaleszcencia-rediszperzió modell dinamikai egyenletének megoldását mutatja be.
Gelbard és Seinfeld (1978) közleményükben olyan populációs mérlegegyenlet megoldását mutatják be, amely koaleszcencia-rediszperzió modellt tartalmaz.
A diffúziós modellekben (Rice és társai, 1964; Bourne és Rohani, 1983; Ottino, 1980; Pohorecki és Baldyga, 1983) feltételezik, hogy a folyadékelemeken belül koncentráció gradiens létezik és a diffúzió által létrejövő tömegáram tekinthető a fő tömegáramlási mechanizmusnak. A tömegáramot egydimenziós instacionárius diffúziós egyenlettel írják le a megfelelő peremfeltételek megadásával. A folyadékelemek mérete, mint modell paraméter, változatlan marad a diffúzió során, értéke az izotrop turbulencia elmélete alapján becsülhető.