3. Szimulációs vizsgálatok
3.2. A folyamatos nemizoterm kristályosítók dinamikus folya- folya-matai
3.2.1. Az MSMPR hűtéses kristályosító dinamikai vizsgálata
Hasonlóan az MSMPR izoterm kristályosító dinamikai vizsgálatához, a hűtéses kristályosító esetében is a momentum módszert és az adaptív végeselemű ortogonális kollokációt alkalmaztam a matematikai modellek populációs mérlegegyenleteinek megoldására. A 2.2.1. fejezetben megadott folyamatos MSMPR hűtéses kristályosító modell momentum transzformációjával nyert dimenziómentes momentum modellt a (2.2.2.6-2.2.2.19) egyenletek adják meg. A kollokációs módszer alkalmazásában a (2.2.3.1-2.2.3.20) egyenletekkel megadott dimenziómentes MSCPR hűtéses kristályosító modellt használtam h
( )
ς =1 szelekciós függvénnyel.A hűtéses kristályosító vizsgálatának első részében a kristályosító dinamikáját tanulmányoztam konstans bemeneti változók mellett, majd a bemeneti változók, mint a belépő anyalúg koncentráció, hőmérséklet és térfogatáram, perturbációjára adott tranziens változásokat vizsgáltam. A szimulációs vizsgálatokban feltételeztem, hogy a kristályosítóba tiszta anyalúg lép be és kezdetben a kristályosító nem tartalmaz kristályokat. A (2.2.2.6-2.2.2.19) és (2.2.3.1-2.2.3.20) modell paramétereit, valamint a dimenziómentes változók definíciójában szereplő paramétereket a 3.12. táblázat tartalmazza kálitimsó-víz rendszerre. Az alkalmazott st tényező, valamint a (2.2.3.1-2.2.3.20) modell B0,s és G0,s paraméterének értékét az egyes eseteknél adom meg.
3.12. táblázat. A (2.2.2.6-2.2.2.19) és (2.2.3.1-2.2.3.20) modell paramétereinek megadása.
g 1.38 ρc 1760 kg/m3 V 10 m3
b 2.1 Tin 40 °C A 20.45 m2
kg0 1.4198×105 (m/h)⋅(m3/kg)-g Te 20.14 °C α 0 kb0 5.796×1033
(darab góc/m3h)⋅(m3/kg)-b
Ti 18.14 °C qin 4 m3/h
∆Eg 32 KJ/mol cin 211.475 kg/m3 qout 4 m3/h
∆Eb 100 KJ/mol csv,in 888.525 kg/m3 τ 2.5 h
kv 0.47 Cpsv 4.2 KJ/kg°C yin 1.0
R 8.314 J/molK Cpc 0.84 KJ/kg°C ysv,in 4.2015
∆Hc -44.5 KJ/kg U 4010 KJ/m2h°C zin 1.0
A momentum modell alkalmazásával az L átlagos kristályméret, az y anyalúg koncentráció, hőmérséklet, valamint a méreteloszlás momentumainak dinamikáját vizsgáltam. A kezdeti feltételeket a 3.13. táblázat tartalmazza, míg az sz
t tényező értéke 2×107 volt. Az st tényező értékét úgy választottam meg, hogy a méreteloszlás momentumainak dinamikáját azonos nagyságrendű tartományban tudjam vizsgálni. Az
L
si
átlagos kristályméret számításához a megoldásként kapott , i=0,1,2,3 momentumokat a µ , i=0,1,2,3 momentumokká transzformáltam át és az µ kifejezéssel adtam meg az átlagméretet. A transzformációt a 2.2.2. fejezetben megadott
, i=0,1,2,3 tényezők segítségével hajtottam végre, amelyeket a 3.12. táblázatban megadott paraméterek alapján határoztam meg.
xi
i 1/µ0
3.13. táblázat. A (2.2.2.6-2.2.2.19) momentum modell kezdeti értékeinek megadása.
x0(0) 0 x2(0) 0 y(0) 1.0 z(0) 1.0 x1(0) 0 x3(0) 0 ysv(0) 4.2015
A 3.2.1.1.-3.2.1.4. ábrák az MSMPR hűtéses kristályosító dinamikai viselkedését mutatják a ξ=4×108 időpontig, amely az st tényező értékének megfelelően t=20 h. A szimulációhoz a 3.12. táblázatban megadott paramétereket használtam, a bemeneti változók értékei az időben konstansok voltak. Kezdetben, a hűtőközeg hatására bekövetkező hőmérséklet csökkenés következtében a túltelítés mértéke hirtelen megnövekszik és hatására intenzív gócképződés alakul ki (3.2.1.1. ábra). Az intenzív gócképződésnek köszönhetően a méreteloszlás momentumai meredeken növekednek és az oldott komponens kiválásával az anyalúg koncentrációja csökkenni kezd (3.2.1.2. és 3.2.1.3. ábra). Az anyalúg koncentráció folyamatos csökkenésével a túltelítés mértékének növekedése leáll és egy maximum elérése után csökkenni kezd, majd ismét növekszik a stacionárius állapot eléréséig. Ennek megfelelően a gócképződési sebesség és az x0 momentum értéke egy maximum elérése után éri el a stacionárius helyzetet. Az x3 momentum, amely a képződő kristályok tömegével arányos, monoton növekszik és hatására az anyalúg koncentrációja monoton csökken a stacionárius állapot eléréséig (3.2.1.3. ábra). Az átlagos kristályméret változásában egy maximum figyelhető meg (3.2.1.4. ábra).
3.2.1.1. ábra. A túltelítés időbeli
változása. 3.2.1.2. ábra. A méreteloszlás momentumainak időbeli változása.
3.2.1.3. ábra. Az anyalúg koncentráció és
hőmérséklet időbeli változása. 3.2.1.4. ábra. Az átlagos kristályméret időbeli változása.
A (2.2.3.1-2.2.3.20) matematikai modell adaptív végeselemű ortogonális kollokációval való megoldásával a (2.1.3.40) egyenletrendszer, a (2.1.3.42-2.1.3.43) algebrai feltételek, valamint a (2.2.3.9-2.2.3.20) egyenletek által megadott differenciál-algebrai egyenletrendszert nyerjük, amelyek a közelítő függvény együtthatónak időváltozása mellett az oldott komponens és oldószer tömegmérlegét, valamint az energiamérleget írják le. A szimulációs vizsgálatokban alkalmazott paraméterek megegyeznek a momentum modell analízisnél alkalmazott paraméterekkel, amelyek a 3.12. táblázatban találhatók. Az anyalúg koncentráció, oldószer koncentráció és a hőmérséklet kezdeti értéke megegyezik a 3.13. táblázatban megadott értékekkel, továbbá a B0,s=1×1014, G0,s=1×10-6 és st=0.4 paramétereket használtam. Az st=0.4 tényező értéknek megfelelően a ξ=8 időpontig végeztem a szimulációt, így a t időváltozó mentén ebben az esetben is t=20 h a szimuláció időtartama.
A számítási intervallum kezdeti nagyságát valamint az osztópontok kezdeti helyzetét a (3.1.4) egyenlettel adtam meg. A végeselemeken azonos fokú közelítő polinomokat alkalmaztam, azaz Mi=M, i=0,...,N-1. A közelítő függvény , k=1,...,M, i=0,...,N-1 együtthatóinak kezdeti értékeit a (3.1.5) egyenlet alapján adtam meg, azaz zérus kezdeti eloszlást definiáltam. A (2.2.3.11) oldott komponens tömegmérlegben, a (2.2.3.14) oldószer tömegmérlegben és a (2.2.3.16) energiamérlegben szereplő integrálokat, amelyek a méreteloszlás momentumait fejezik ki, Gauss-Lobatto kvadratúrával értékeltem ki a 2.1.3. fejezetben ismertetett módon. A számítási intervallum adaptív felosztásának paramétereit a 3.14. táblázatban foglaltam össze.
i
fk
3.14. táblázat. A számítási intervallum adaptív végeselem felosztásának paraméterei.
∆x0 1.0×10-6 r1 1.05 NS 20 NI 1 NQ 19 M 8 r2 0.25 ND 100 I1 1
Az ortogonális kollokációval kapott méreteloszlás dinamikai változását a 3.2.1.5.
ábra mutatja. A 3.2.1.5a-h. ábrák növekvő nagyságú időintervallumban mutatják a méreteloszlás kifejlődését, amelyeken nyomon követhető a korai folyamatok méreteloszlás dinamikája. A kezdetben kialakuló méreteloszlás egy monoton csökkenő eloszlás, amelynek peremértéke az intenzív gócképződésnek köszönhetően folyamatosan növekszik (3.2.1.5a. ábra). A hőmérséklet folyamatos csökkenésének köszönhetően, ξ=2×10-4 után a gócképződés sebessége folyamatosan lecsökken és egy maximummal rendelkező méreteloszlás fejlődik ki (3.2.1.5b. ábra). A továbbiakban a gócképződési sebesség további csökkenésével az eloszlás peremértéke közelítőleg nullára csökken és az eloszlás maximuma folyamatosan halad előre (3.2.1.5c-d. ábra). A gócképződés jelentős csökkenésének és a kristályosítóból távozó kristályoknak köszönhetően az eloszlás fokozatos ellaposodása figyelhető meg ξ=0.1-től (3.2.1.5e.
ábra), és mint a 3.2.1.5f. ábrából látható ξ=4-nél a méreteloszlás teljes mértékben ellaposodik. A méreteloszlás további változása a 3.2.1.5g-h. ábrákon figyelhető meg, amelyek egy nagyságrenddel kisebb értéktartományban mutatják a méreteloszlást. Mint a 3.2.1.5g. ábrán látható, az ellaposodó eloszlás mellett az eloszlás peremértéke folyamatosan növekszik, amely a túltelítés és az általa létrejövő gócképződési sebesség lassú emelkedésének köszönhető (3.2.1.1. ábra). Végül a méreteloszlás kezdeti szakaszán a stacionárius eloszlásra jellemző exponenciális eloszlás fejlődik ki, míg a korábbi eloszlásmaximum fokozatosan eltűnik (3.2.1.5h. ábra).
A 3.2.1.6. ábra a méreteloszlás profilját mutatja különböző időpontokban. Az osztópontok aktuális helyzetét valamint az osztópontbeli eloszlásértékek elhelyezkedését az eloszlásgörbe mentén a feltüntetett pontok jelzik. A 3.2.1.6a. és 3.2.1.6b. ábrán a kristályosítási folyamat egyes szakaszaira jellemző eloszlásokat
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
3.2.1.5. ábra. A méreteloszlás időbeli változása.
tüntettem fel. A 3.2.1.6a. ábrán látható, maximummal rendelkező eloszlás a kristályosítási folyamat első részében jellemző, míg később a kialakuló exponenciális eloszlás a domináns (3.2.1.6b. ábra). Mindkét esetben az osztópontok elhelyezkedése megfelel az eloszlásprofil egyes szakaszaira jellemző meredekségnek.
A 3.2.1.7 ábra a részintervallumokat elválasztó osztópontok helyzetének változását mutatja az idő függvényében. Mint az előzőkben látható volt, a kristályosítási folyamat kezdetén a méreteloszlás maximummal rendelkezik, majd ξ=4-től a kialakuló exponenciális eloszlás vált dominánssá. A 3.2.1.7a. ábrán jól látható a kialakuló méreteloszlás emelkedő és csillapodó ágának mozgása, amelyet az osztópontok sűrűbb elhelyezkedésének köszönhetően a sűrűbben elhelyezkedő görbék mutatnak. A 3.2.1.7b.
ábrán megfigyelhető, hogy az exponenciális eloszlás kialakulásával, ξ=4-től, az osztópontok mozgása fokozatosan és részben a ς=0 méret felé irányul.
(a) (b)
3.2.1.6. ábra. A méreteloszlás profilja és az osztópontok elhelyezkedése.
(a) (b)
3.2.1.7. ábra. Az osztópontok helyének időbeli változása.
A következőkben a kristályosító bemeneti változóiban, mint a belépő anyalúg koncentrációban, hőmérsékletben és a térfogatáramban okozott perturbáció hatásait vizsgáltam a kristályosító működésére. Mindhárom esetben a változók értékeinek 20%-os megnövelését hajtottam végre a stacionárius helyzet elérése után, az eltérő st
tényezőnek köszönhetően a momentum modell esetében ξ=4×108 után, míg az ortogonális kollokáció esetén ξ=8 után. A (2.2.2.6-2.2.2.19) momentum modell
megoldásával az L átlagos kristályméret, az anyalúg koncentráció, hőmérséklet, valamint a méreteloszlás momentumainak dinamikáját tanulmányoztam, míg az adaptív végeselemű ortogonális kollokáció alkalmazásának esetében a (2.2.3.1-2.2.3.20) modell megoldásával a méreteloszlás dinamikáját vizsgáltam.
y z
Az M.2.1.-M.2.3. ábrák (2. Melléklet), mint a 3.2.1.1-3.2.1.4. ábrák folytatásai, a momentum modell megoldásával kapott változásokat mutatják a belépő anyalúg koncentráció 20%-os megnövelése esetén, ξ=4×108-től. A betáplálási koncentráció megemelkedése egy ugrást okoz a túltelítés értékében (M.2.1. ábra). A megnövekedett túltelítés hatására a gócképződés és a kristálynövekedés is felgyorsul, és az oldott komponens kiválásával a momentumok folyamatos emelkedése figyelhető meg (M.2.2.
ábra). Ezzel párhuzamosan az anyalúg koncentrációja csökken és a túltelítés értéke egy maximumot ér el (M.2.1. és M.2.3. ábra). A csökkenő túltelítés hatására lecsökkenő gócképződés következtében az x0 momentum értéke egy maximum elérése után csökkenő tendenciát mutat. Megfigyelhető, hogy a momentumok értéke a perturbáció hatására egy magasabb stacionárius értékre áll be.
A belépő anyalúg hőmérsékletének 20%-os megnövelésének hatását mutatják az M.2.4.-M.2.6. ábrák. A bemeneti hőmérsékletben történő ugrás hatására a túltelítés mértéke hirtelen lecsökken (M.2.4. ábra). A csökkenő túltelítés hatására a gócképződési és kristálynövekedési sebesség is mérséklődik, amelyet a momentumok folyamatos csökkenése mutat (M.2.5. ábra). A gócképződés és kristálynövekedés csökkenésének köszönhetően az oldott komponens kisebb mértékben válik ki, és az anyalúg koncentrációja monoton növekszik. A koncentráció növekedésének hatására a túltelítés értéke egy minimum elérése után ismét növekedni kezd (M.2.4. és M.2.6. ábra). Ennek következtében a gócképződés ismét felgyorsul, amelyet az x0 momentum növekedése mutat egy minimum elérése után. A perturbáció hatására az x0 momentum végül egy magasabb stacionárius értékre áll be, míg a további momentumok értékében egy alacsonyabb stacionárius érték alakul ki. Az M.2.2. és M.2.5. ábrák összehasonlításából látható, hogy a momentumok változásának nagysága jelentősen kisebb ebben az esetben, mint a belépő anyalúg koncentrációjának megemelése esetében.
Az M.2.7.-M.2.9. ábrák a belépő térfogatáram 20%-os növekedésének hatását mutatja, amelyet a τ tartózkodási idő 2.5-ről 2.0833-ra való csökkentésével értem el. A belépő térfogatáram megnövelésének hatására a kristályosító hőmérséklete folyamatosan emelkedik (M.2.9. ábra). A kisebb tartózkodási időnek köszönhetően a kiváló oldott komponens mennyisége a kezdetben csökken, amelyet a momentumok csökkenése és az anyalúg koncentrációjának emelkedése mutat (M.2.8. és M.2.9. ábra).
A folyamatosan növekvő koncentráció hatására a túltelítés mértéke növekszik és az x0
momentum egy minimum elérése után növekvő tendenciát mutat. Az eloszlás momentumainak értéke az x3 momentum kivételével egy magasabb stacionárius értékre áll be.
Az M.2.10. ábrán az adaptív végeselemű ortogonális kollokációval kapott méreteloszlás dinamika látható a különböző bemeneti változók perturbációja esetén. Az M.2.10a-c. ábrák a ξ=[7,13] időtartományban mutatják a méreteloszlás változását, és mint látható, mindhárom esetben a ξ=8-nál alkalmazott perturbáció után ξ=13-ig beáll a stacionárius állapot. Az M.2.10a. ábra a belépő anyalúg koncentrációjának 20%-os megemelése által bekövetkező változásokat mutatja. A belépő koncentráció megemelkedése által a túltelítésben és gócképződésben bekövetkező meredek emelkedés (M.2.1. ábra) hatása jól megfigyelhető az M.2.10a. ábrán. A méreteloszlás peremértékében kezdetben egy meredek emelkedés látható, majd a túltelítés és a gócképződés időbeli változásának megfelelően a peremérték folyamatosan csökken és a peremen kialakuló csúcs a méret és időtengely mentén előrehaladva fokozatosan eltűnik.
Látható, hogy az exponenciális eloszlás a belépő koncentráció perturbációjának időpontjától kezdve, ξ=8-tól, fokozatosan megemelkedik és egy magasabb peremértékkel rendelkező exponenciális eloszlás alakul ki. Az M.2.2. ábrából látható, hogy a kialakuló eloszláshoz a momentumok stacionárius értékeinek növekedése társul.
Az M.2.10b. ábra a belépő anyalúg hőmérséklet perturbációjának hatását mutatja. Az ábrán jól látható a peremérték kezdeti gyors csökkenése, amely a túltelítés és így a gócképződés meredek csökkenésének köszönhető (M.2.4. ábra). Egy minimum elérése után a peremérték folyamatosan növekszik, majd egy magasabb stacionárius értékre áll be. A peremértéken kialakuló eloszlás minimum továbbterjed a méret és időtengely mentén, és fokozatosan eltűnik. Az exponenciális méreteloszlás a ξ=8-tól kismértékben lecsökken a mérettartomány egészén, de egy magasabb peremértékkel rendelkező eloszlás alakul ki. Mint az M.2.5. ábrán látható, a momentumok stacionárius értéke nem változik jelentős arányban.
Az M.2.10c. ábra a bemenő térfogatáram perturbációjának hatását mutatja a méreteloszlás dinamikájára. Az M.2.7. ábrának megfelelően látható, hogy az eloszlás peremértéke folyamatosan növekszik a túltelítés és így a gócképződés folyamatos emelkedésének köszönhetően. A méreteloszlás peremértéke ebben az esetben növekszik a legnagyobb mértékben, azonban mint az M.2.8. ábrából látható, a méreteloszlás momentumainak stacionárius értékei nem változnak jelentős arányban.
A 3.2.1.8. ábra az átlagos kristályméret változását mutatja a különböző bemeneti változók perturbációja esetén. A legnagyobb, mintegy 10%-os növekedés a belépő koncentráció perturbációjának esetében figyelhető meg, amely esetben az x1 momentum értéke nagyobb arányban növekszik, mint az x0 momentum értéke (M.2.2. ábra). A belépő hőmérséklet és térfogatáram perturbációjának hatására az átlagos kristályméret csökkenése figyelhető meg, amely esetekben az x1 momentum értéke kisebb arányban növekszik, mint az x0 momentum értéke (M.2.5. és M.2.8. ábra).
3.2.1.8. ábra. Az átlagos kristályméret változása a bemeneti változók 20%-os, ξ=4×108 -től való, megnövelésével. (a) cin perturbáció; (b) Tin perturbáció; (c) qin perturbáció; (d)
perturbáció nélküli dinamika