A kevert szuszpenziójú nem tökéletes mikrokeveredésű izoterm kristályosító matematikai modellje

Párolgási sebesség

[kg/s] (2.2.5.36)

Folyadék-gőz egyensúly



Ideális gáztörvény

M

Szabályozó modellek

( ) ( ) ( )

_outs

A folyamatos MSMPR hűtéses kristályosító dimenziómentesített momentum modelljét a (2.2.5.17-2.2.5.42) egyenletek adják meg.

2.3. A folyamatos kevert szuszpenziójú nem tökéletes mikro-keveredésű izoterm kristályosító matematikai modellje és numerikus megoldása

2.3.1. A kevert szuszpenziójú nem tökéletes mikrokeveredésű izoterm kristályosító matematikai modellje

Ebben a fejezetben egy olyan matematikai modellt mutatok be, amely egy folyamatos, kevert szuszpenziójú izoterm kristályosító működését írja le nem tökéletes

)

mikrokeveredés mellett. A kristályosítót makroszinten tökéletesen kevertnek tekintem, azonban mikroszinten a folyadékfázist alkotó térfogatelemek koncentrációjában különbségek lehetnek, amelyet a mikrokevertségi szint jellemez. A modell felírásánál feltételeztem, hogy a rendszerben két populáció van jelen, amelyek folyamatos kölcsönhatásban vannak. Az egyik populációt a kristályok alkotják, míg a kristályokat körülvevő, különböző koncentrációval rendelkező folyadékelemeket tekintem a második populációnak. Mindkét esetben a populáció változását egy populációs mérlegegyenlettel írtam le. A két populáció a gócképződésen és kristálynövekedésen keresztül kölcsönhatásban van egymással. Feltételeztem, hogy a kristályosítóban kialakuló telítési koncentráció homogén és értéke a folyamat során nem változik. A folyadékelemek folyamatosan ütköznek egymással, egyesülnek, szétválnak, és ezáltal változik a koncentrációjuk. A folyadékelemek mikrokeveredést a koaleszcencia-rediszperzió modellel írtam le, amelynek értelmében két különböző koncentrációjú folyadékelem találkozásakor a két elem koncentrációja kiegyenlítődik, és két egyforma koncentrációjú folyadékelem keletkezik. A folyamatot az E és különböző koncentrációjú folyadékelemek között a következő egyenlet írja le:

( )

^c′ E

(

c′′

( ) ( )





 



 ′+ ′′

′′ →

′ +

2 c 2c E c

E c

E ^K (2.3.1.1)

ahol a K keveredési tényező a mikrokeveredés intenzitását adja meg.

A folyamatos, kevert suszpenziójú, izoterm kristályosító vázlatos rajza a 2.8. ábrán látható. A V térfogatú kristályosítóba qin térfogatárammal lép be az anyalúgot és kristályokat tartalmazó szuszpenzió. A belépő kristályok méreteloszlását az nin(L,t) méreteloszlás írja le, míg a belépő folyadékfázis elemeinek koncentráció eloszlását a pin(c,t) eloszlás jellemzi. A kristályosítót makroszinten tökéletesen kevertnek tekintem, a szuszpenzió qout térfogatárammal hagyja el a kristályosítót. A kristályosító állapotát az n(L,t) méreteloszlás és a p(c,t) koncentráció eloszlás jellemzi. Mivel a kristályosító izoterm körülmények működik az oldott komponensre vonatkozó cs telítési koncentrációt időben állandónak tekintem, és energiamérleget nem adok meg.

n(L,t), p(c,t)

q_in, n_in(L,t), p_in(c,t) qout, n(L,t), p(c,t)

2.8. ábra. A folyamatos kevert suszpenziójú nem tökéletes mikrokeveredésű izoterm kristályosító vázlatos rajza.

A modell felírásakor a következő feltételezéseket teszem:

(1) A kristályszuszpenzió térfogata a folyamat során állandó marad.

(2) A keletkező kristályok mérete az L lineáris változóval jellemezhető.

(3) A kristálygócok L0 mérettel keletkeznek.

(4) A modellben elsődleges gócképződési mechanizmust és mérettől függő kristálynövekedési sebességet tételezek fel.

(5) A rendszerre érvényes cs telítési koncentráció a folyamat során állandó marad.

(6) A kristályok törésének és agglomerizációjának mértéke elhanyagolható.

(7) A folyadékelemek állandó vf térfogattal rendelkeznek.

(8) A folyadékelemek a kristályosítandó komponens c koncentrációjával jellemezhetők.

(9) Mivel a kristályszuszpenzió térfogata állandó, a folyadékelemek száma a kristálygócok kialakulásának és a kristályok növekedésének köszönhetően az időben változik. A modellben feltételezem, hogy a szilárd komponens kiválása által c0=0 koncentrációjú folyadékelemek szűnnek meg.

A feltételeknek megfelelően a populációk változása egy kétdimenziós térben figyelhető meg, amelynek koordinátái az L lineáris kristályméret és a c koncentráció. A kristályok az L lineáris méret szerint, míg a folyadékelemek a c koncentráció szerint mutatnak eloszlást. A kristályok méreteloszlását az n(L,t) függvény jellemzi és n(L,t)dL az (L,L+dL) méret intervallumban elhelyezkedő kristályok számát adja meg a t időpillanatban. A folyadékelemek koncentráció eloszlását a p(c,t) függvény írja le és p(c,t)dc a (c,c+dc) koncentráció intervallumban elhelyezkedő folyadékelemek számát fejezi ki a t időpillanatban.

A kristályok méreteloszlásának változását a folyamatos MSMPR izoterm kristályosítóban, tökéletes mikrokeveredés esetében, a (2.1.1.12) egyenlet írja le a h(L)=1 szelekciós függvénnyel:

[ ( ) ] _{( ) ( )}

A gócképződési és kristálynövekedési kinetikát a túltelítés hatványfüggvényével írom le:

(2.3.1.4)

(

c c_s

)

k_b

(

c c_s ^b

B₀ , = −

)

)

A kristálynövekedés kinetikájában mérettől függő növekedést tételezek fel:

(2.3.1.5)

A kezdeti és peremfeltételeket az alábbi egyenletek definiálják.

) (2.3.1.8)

Nem tökéletes mikrokevertség mellett a kristályokat különböző koncentrációjú folyadékelemek vehetik körül és a kristálynövekedési valamint a gócképződési sebesség is az aktuális folyadékelem összetételétől függ (2.9. ábra).

folyadékelemek kristály

2.9. ábra. A folyadékelemek felületi koncentráció eloszlásának reprezentációja.

Ha feltételezzük, hogy a folyadékelemek koncentráció eloszlása a kristályok felületénél megegyezik a p(c,t) eloszlással, akkor az átlagos kristálynövekedési sebesség a következő módon definiálható:

( )

ahol cmax a folyadékelemek maximális koncentráció értéke. Az átlagos gócképződési sebességre hasonlóan írhatjuk:

( )

Az (2.3.1.2) populációs mérlegegyenlet és a (2.3.1.9) peremfeltétel az átlagos kinetikai sebességek bevezetésével az alábbi módon változik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Feltételezve, hogy a mikrokeveredést a koaleszcencia-rediszperzió modell írja le a folyadékelemek p(c,t) koncentráció eloszlásának változását a következő populációs mérlegegyenlet adja meg:

( )

+

( )

=−

( ) ( ) ( ) ( )

− + − +

A kezdeti és peremfeltételek az alábbiak:

Az koncentráció csökkenési sebesség a folyadékelemek koncentrációjának azt a megváltozását írja le, amely a szilárd komponens kiválása által következik be.

Hasonlóan, az S kristálytérfogat képződési sebesség a kristályok összes térfogatának azt az időbeli változását fejezi ki, amely a gócképződésből és a kristálynövekedésből származik. Az egyenlet bal oldalának első tagja a folyadékelemek koncentráció eloszlásának időbeli megváltozását írja le, míg a második tag a koncentráció eloszlás megváltozását fejezi ki a folyadékelemek koncentrációjának csökkenése következtében.

A jobb oldal első tagja a c

( )

t R

( )

t

0=0 koncentrációjú folyadékelemek fogyását írja le a szilárd komponens kiválásának köszönhetően. A második tag a folyadékelemek betáplálását és elvételét írja le, míg az utolsó tag a koaleszcencia-rediszperzió modell, amely a c koncentrációjú elemek keletkezését és fogyását fejezi ki. A K állandó a mikrokeveredési tényező.

Az kristálytérfogat képződési sebesség értéke a gócképződés és kristálynövekedés mértékétől függ. A kristályok össztérfogata a kristálygócok kialakulásával és az oldott komponens kristályrácsba való beépülésével növekszik, és ennek megfelelően csökken az anyalúg térfogata, valamint az oldott komponens koncentrációja. Ha a (2.3.1.13) egyenletet megszorozzuk k

( )

t S

vL³-al, majd integráljuk az L méretváltozó szerint megkapjuk a kristálytérfogati hányad egységnyi szuszpenzió térfogatban történő megváltozásának sebességét:

( )

Az egyenlet jobb oldalának első két tagja adja meg a kristályok összes térfogatának megváltozását a kristálynövekedésnek és gócképződésnek köszönhetően. Ennek megfelelően az ^S

( )

^t kristálytérfogat képződési sebességre írhatjuk:

(2.3.1.21)

( )

t G^~₀

( ) ( ) ( ) ( )

t t t B^~₀ t k L³₀

S = σ +ε _v

Az koncentráció csökkenési sebesség kifejezhető az S kristálytérfogat képződési sebesség alapján:

( )

t

A folyamatos, kevert szuszpenziójú izoterm kristályosító dinamikai működését nem-tökéletes mikrokeveredési feltételek mellett a (2.3.1.13) és (2.3.1.15) populációs mérlegegyenletek fejezik ki. Az átlagos gócképződési és kristálynövekedési kinetikát a (2.3.1.11) és (2.3.1.12) összefüggések definiálják. A kezdeti és peremfeltételeket a

(2.3.1.8), (2.3.1.16), a (2.3.1.10), a (2.3.1.14), valamint a (2.3.1.17-2.3.1.18) egyenletek adják meg.

2.3.2. A kevert szuszpenziójú nem tökéletes mikrokeveredésű

In document Kristályosítók dinamikus folyamatainak modellezése és szimulációja (Pldal 80-85)