3. Szimulációs vizsgálatok
3.1. A folyamatos izoterm kristályosítók dinamikus folyamatai
3.1.2. A folyamatos MSMPR izoterm kristályosító matematikai modelljének validálása kísérleti adatok alapján
Ebben a fejezetben a 2.1. fejezetben megadott folyamatos MSMPR izoterm kristályosító matematikai modelljének kísérleti validálását mutatom be. A validáláshoz a Takiyama és Matsuoka (2002) által végzett kristályosítási kísérletet mérési adatait használtam. Takiyama és Matsuoka a kísérleti munkájukban ammónium-szulfátot kristályosítottak egy folyamatos kevert szuszpenziójú 720 cm3-es laboratóriumi méretű kristályosítóban. A kísérletekben mérettől független kristálynövekedést és másodlagos gócképződési kinetikát tételeztek fel. A kristálynövekedési és gócképződési sebesség leírására az alábbi összefüggéseket használták:
( )
gs g s
s c
c k c
c c
G
= −
0 , (3.1.6)
(
3)
30 , ,µ µ
b
s b s
s c
c k c
c c
B
= − (3.1.7)
ahol µ3 a méreteloszlás harmadik momentuma. A kg és kb sebességi állandókat, valamint a g és b hatványkitevők értékét a kísérleti mérések alapján határozták meg. A kristályosítást izoterm körülmények között, 25 °C hőmérsékleten végezték. A betáplált anyalúg, valamint a kezdeti állapotban a kristályosító nem tartalmazott kristályokat. A kísérlet paramétereit, a kinetikai állandókat, valamint az ammónium-szulfát fizikai tulajdonságait a 3.4. táblázat tartalmazza.
3.4. táblázat. Kísérleti paraméterek.
cin 556.4 kg/m3 ρc 1769kg/m3 kb 8.1×10-14
(darab góc/m3s)⋅(m3/kg)-b τ 1200 s b 3 kg 1.0×10-2 (m/s)⋅(m3/kg)-g cs 543.16 kg/m3 (25 °C) g 2 c(0) cs
Takiyama és Matsuoka a közleményükben szitaanalízissel meghatározott dinamikus méreteloszlás adatokat közölnek, amelyekben az egyes szitaméreteknek megfelelő méreteloszlás értékek dinamikai változását adták meg (3.1.2.1. és 3.1.2.2. ábra).
3.1.2.1. ábra. A méreteloszlás időbeli változása az egyes szitaméreteknél.
3.1.2.2. ábra. A méreteloszlás változása a [0,15] időintervallumban és [0.053, 1.205] mérettartományban.
A folyamatos kevert szuszpenziójú kristályosító leírására a (2.1.3.9-2.1.3.21) egyenletekkel megadott folyamatos MSCPR izoterm kristályosító modellt alkalmaztam
konstans szelekciós függvénnyel és a dimenziómentes változókkal felírt (3.1.6) és (3.1.7) kinetikai egyenletekkel:
( )
L =1 h( )
gA matematikai modell megoldására az ortogonális kollokáció módszerét használtam, amelynek elsődleges célja a méreteloszlás dinamikájának meghatározása volt. A (2.1.3.9-2.1.3.21), (3.1.8) és (3.1.9) egyenletek megoldásához szükséges további paramétereket, valamint az anyalúg koncentráció kezdeti értékét a 3.5. táblázatban foglaltam össze.
3.5. táblázat. A (2.1.3.9-2.1.3.21), (3.1.8) és (3.1.9) egyenletekkel megadott modell paramétereinek megadása.
a 0 st 1/τ B0,s 1.0×1012 y(0) 0 yin 1.0 kv 0.47 G0,s 1.0×10-4
A számítási intervallum kezdeti nagyságát és az osztópontok kezdeti helyzetét a (3.1.4) egyenlettel adtam meg. Minden végeselemen azonos rendű közelítő függvényeket alkalmaztam, azaz Mi=M, i=0,...,N-1. A (3.1.7) és (3.1.9) egyenletekkel megadott másodlagos gócképződési sebesség összefüggés magában foglalja a kialakuló méreteloszlás harmadik momentumát. Ennek megfelelően egy zérustól különböző kezdeti méreteloszlást adtam meg. A közelítő függvény , k=1,...,M, i=0,...,N-1 együtthatóinak kezdeti értékeit, amelyek egyben a kezdeti méreteloszlás értékeit definiálják a kollokációs pontokban, az alábbi összefüggéssel adtam meg:
i ahol az (1.2.2) egyenlettel megadott lognormális eloszlást jelöli. A (2.1.3.17) oldott
komponens és (2.1.3.20) oldószer tömegmérlegben szereplő integrálokat Gauss-Lobatto kvadratúrával értékeltem ki a 2.1.3. fejezetben ismertetett módon. Az x
fLN
2 és x3
dimenziómentes momentumokat a ς méretváltozó mentén kapott momentumokból a (2.1.3.18) egyenlet felhasználásával határoztam meg. Az adaptív végeselem felosztás, valamint az alkalmazott lognormális kezdeti eloszlás paraméterei a 3.6. táblázatban találhatók.
3.6. táblázat. A számítási intervallum adaptív felosztásának paraméterei.
∆x0 2.0×10-8 r1 1.05 NS 20 NI 1 NQ 19 σ 0.4 M 7 r2 0.5 ND 100 I1 1 m -15.25
A 3.4. és 3.5. táblázatok adataival kapott szimulációs eredményeket a 3.1.2.3. és 3.1.2.4. ábrák mutatják.
A megoldásként kapott f
(
ς,ξ méreteloszlás értékeit a 2.1.3. fejezetben megadott s)
t
)
nés sL tényezőkkel az n méreteloszlás értékekre transzformáltam át abból a célból, hogy a kapott eredmények a kísérleti adatokkal összemérhetők legyenek. A 3.1.2.3.
ábrán folytonos vonalak jelzik a szimulációval kapott eredményeket, míg a szimbólumok a 3.1.2.1. ábrához hasonlóan a kísérletileg mért adatokat jelzik. A kapott eredmények összehasonlítása a kísérleti adatokkal azt mutatja, hogy a kísérletileg illetve a szimulációval meghatározott méreteloszlás változási tartománya azonos nagyságrendű. Megállapítható, hogy a kristályosító indulásánál,
(
L,kapott méreteloszlás dinamika jól megegyezik a kísérletileg mért méreteloszlás dinamikájával. t τ =5 után mind a szimuláció, mind a kísérlet esetében egy exponenciális eloszlás alakul ki. Megfigyelhető, hogy mindkét esetben a dinamikusan változó méreteloszlás domináns mérettartománya egyforma nagyságú. A szimulációval kapott méreteloszlásban, t τ =5 után, kialakul a stacionárius állapotot, míg a kísérletben a méreteloszlás kismértékű folyamatos változása látható egy magasabb eloszlásértékkel a kisebb kristályok tartományában.
3.1.2.3. ábra. A méreteloszlás időbeli változása az egyes szitaméreteknél.
3.1.2.4. ábra. A méreteloszlás változása a [0,15] időintervallumban és [0.053, 1.205] mérettartományban.
A szimulációs és kísérleti méreteloszlás dinamikában mutatkozó eltérések oka lehet a kinetikai összefüggések paramétereinek nem megfelelő pontossága. A folyamatos működésű, laboratóriumi kristályosítókban végzett kísérleti tanulmányokat leggyakrabban kinetikai mérések céljából végzik, ahol a kevertségi szint nagymértékben befolyásolhatja a mérések pontosságát és megbízhatóságát. A laboratóriumi kísérletek során az MSMPR kristályosító modellnek megfelelő hidrodinamika, a tökéletes kevertség, nehezen elérhető, ezért az így kapott mérések pontossága korlátozott. A
kristályosítókban kialakuló áramlási viszonyoknak jelentős szerepe van a kristályosítók működésében. Ha a keverés intenzitása nem megfelelő, a túltelítési szint lokális változásai és a kristályok térbeli egyenlőtlen eloszlása jelentősek lehetnek, amely hatással van a gócképződési és kristálynövekedési sebességre, valamint a kialakuló méreteloszlásra. A keverés intenzitása önmagában befolyásolja a Takiyama és Matsuoka által feltételezett másodlagos gócképződés sebességét is a folyadék nyíróhatása által.
Az eltérések egy másik oka lehet a modellben alkalmazott kv formatényező értéke.
Takiyama és Matsuoka a kísérleti munkájukban megmutatták, hogy az adott mérettartományokhoz tartozó kristályok különböző kv formatényezővel jellemezhetők.
Munkájukban a kv formatényezőt a kristályméret egy hatványfüggvényével írták le. Az általam megadott folyamatos MSCPR izoterm kristályosító modellben minden esetben egy átlagos, konstans formatényezőt alkalmaztam.
Összegzésként megállapítható, hogy az alkalmazott matematikai modell alkalmazásával megfelelően becsülhető a kevert szuszpenziójú kristályosítóban kialakuló méreteloszlás dinamikája. Az egyes méretekhez tartozó méreteloszlás értékek trendje megegyezik a kísérlet által mutatott trendekkel, különbség a kristályosító indulási szakasza után a kialakuló stacionárius illetve az ahhoz közeli állapotban mutatkozó méreteloszlás értékekben található.