Az egyszeri díjas biztosítások egyszeri nettó díja

Tehát először a díjszámítás klasszikus logikájának első lépését mutatjuk be.

10.1.1. A kockázati életbiztosítás egyszeri nettó díja

A kockázati biztosítás egyszeri nettó díjának kiszámításánál egy kicsit hosszabban időzünk el, mert ennek kapcsán megmutatjuk az általános megfontolásokat, amelye-ket a későbbiekben már rutinszerűen alkalmazunk.

Legyen :

(10.1.) értelmezése a következő: 1 Ft biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, egyszeri díjas kockázati biztosítás nettó díja, ha a biztosított belépési életkora x év. Például egy be-lépéskor 45 éves korú biztosított esetében egy 15 évre szóló, 1 Ft biztosítási összegű kockázati biztosítás egyszeri díjának jelölése:

A fenti jelöléshalmazból kiemelném az alábbiakat:

• az A jelenti általában az egyszeri nettó díjat bármilyen biztosításnál (kivéve a jára-dékokat), méhozzá standardizált módon, 1 egységnyi biztosítási összegre.

• a jobb alsó indexbe tesszük a biztosított belépési korát és a biztosítás tartamát egy-mástól kettősponttal elválasztva. Időnként az egyiket lehagyjuk, ha annak nincs relevanciája. Például az egyszeri díjas term fix esetében a kort, a whole life eseté-ben pedig a tartamot. Ilyenkor csak egy érték szerepel a jobb alsó sarokban, így felmerül, hogy az a kor vagy a tartam? Hogy ez egyértelmű legyen a tartam fölé, mindig egy „könyököt” rajzolunk.

• a két elemi életbiztosításnak, a kockázatinak (halálesetinek) és az elérésinek saját külön jelölése van, a többinek nincs. Ez pedig a kor, illetve a tartam fölé tett 1-es.

Az előbbi a kockázati, az utóbbi az elérési biztosítás díját jelöli.

Mivel a biztosítás díja a biztosítási összeggel egyenesen arányos (eltekintve a társa-ságok által a vállalkozói díjrészből a díj nagyságának függvényében adott esetleges

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^%

𝐴𝐴𝐴𝐴_"#:%#^%

kedvezményektől), valóban elegendő megadni az 1 Ft biztosítási összegre vonatkozó díjakat, és abból már egyszerűen kiszámítható a tényleges biztosítási összegre érvé-nyes díj.

A díjszámítás alapja a kihalási rend. Mind tudjuk, ez egy induló populációból (ál-talában 100 000 fő) a még x évesen életben lévők számát mutatja a kor függvényében.

A díjszámítás során mindig abból az egyszerűsítő feltevésből indulunk ki, hogy az x éves korú, n év tartamú biztosítással rendelkező biztosítottak száma a kihalási rend szerinti l_x fő. (Ennek a feltevésnek tartalmilag nincs különösebb jelentősége, mindösz-sze azt jelzi, hogy nem csak egy ember alkotja a veszélyközösséget.)

A díjkalkuláció alapja természetesen az ekvivalencia elv, amely itt is azt jelenti, hogy:

a bevételek jelenértékének várható értéke = a kiadások jelenértékének várható értéke

(Az ekvivalencia elvet most a nettó díjra értjük.)

Az egyszeri díjas biztosítások esetében a bevételek jelenértékének várható értékét egyszerűen ki tudjuk számítani, hiszen az összes díj a tartam elején befolyik a biz-tosítóhoz. Így a várható érték megegyezik a ténylegesen befolyt díjjal, ezért nem kell külön diszkontálást sem végezni. Vagyis:

(10.2.) Ahhoz, hogy az egyenlet másik oldalát, tehát „a kiadások jelenértékének várható ér-tékét” ki tudjuk számítani, be kell vezetnünk egy újabb egyszerűsítő feltevést. E sze-rint a feltevés szesze-rint minden adott biztosítási évre vonatkozó kifizetés a biztosítási év végén történik. Ez a feltevés, mint mindjárt látni fogjuk, nagyon megkönnyíti a dolgunkat.⁹²

Ahogy már szó volt róla, a kihalási rend alapján meghatározható az egyes életko-rokban meghaltak száma:

92 Megjegyzés: Ezt a feltevést tovább bonthatjuk az alábbi módon: feltesszük, hogy az adott biztosítási évben mindenki pontosan a biztosítási év végén hal meg, és a biztosító a halálesetkor azonnal kifizeti a biztosítási összeget. Látszik, hogy mindkét feltevés irreális. A halálesetek időpontjai az év folyamán eloszlanak. Szokás ezért azzal a másik, reálisabb feltevéssel is élni, hogy az összes haláleset a biztosítási év közepén történik. Ez persze nyilvánvalóan azt jelenti, hogy „átlagosan” ekkor halnak meg a biztosí-tottak, ami reálisabb feltevés ugyan, de némileg bonyolítja a számításokat, ezért a gyakorlatban gyakran alkalmazzák a fenti egyszerűbb feltevés.

Az év végi kifizetés feltevése kicsit kisebb díjat eredményez, mint ha a kifizetéseket az év közepére tesszük, hiszen a biztosító kötelezettsége eszerint később jelentkezik. Ez azonban nem túl nagy mértékű eltérés, és némileg kompenzálja hatását az, hogy a kifizetés nem a halálesetkor azonnal szokott megtör-ténni, hanem általában 1-2 hónappal később. Ennyi időre van szüksége a biztosítónak a haláleset körül-ményeinek, és ezzel a kifizetés jogosságának megállapításához, és addig a biztosítási összeg a biztosító számláin, a biztosító számára kamatozik.

A gyakorlati kalkulációk során a fenti probléma kiküszöbölésére a képletekbe egy korrekciós tagot szok-tak iktatni, aminek tárgyalásától az alábbiakban eltekintünk.

𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏é𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡₎∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_):-^.

(10.3.) Vagyis, ha az induló évben a biztosítottak száma l_x, akik közül

az első biztosítási év folyamán meghaltak száma: d_x, a második biztosítási év folyamán meghaltak száma: d_x+1, ...

az n. biztosítási év folyamán meghaltak száma: d_x+n-1.

Az 1 Ft biztosítási összeg feltételezése mellett a biztosító fizetési kötelezettsége tehát a t. év végén: d_x+n-1 forint. Ha az egyes években várható kifizetéseket a biztosítások kezdetére diszkontáljuk és összeadjuk, akkor megkapjuk az ekvivalencia egyenlet ke-resett másik oldalát:

(10.4.) ahol

(10.5.) és

i: a technikai kamatláb.

Azaz az ekvivalencia egyenlet:

(10.6.) ebből a keresett egyszeri díjat -el való osztással egyszerűen megkaphatjuk:

(10.7.) A kapott eredmény teljesen megfelelő és kielégítő, és ez alapján már könnyű írni egy számítógépes programot, ami kiszámítja a megfelelő díjakat, tetszőlegesen választott ha-landósági tábla szerinti kihalási rend, illetve tetszőleges technikai kamatláb segítségével.

Néhány évtizeddel ezelőtt a számítógépes program lehetősége még nem állt az ak-tuáriusok rendelkezésére, és ezért a fenti képletet tovább egyszerűsítették új, standard jelölések bevezetésével.⁹³ Az egyszerűsítés alapja az volt, hogy akkoriban a biztosító-társaságok csak viszonylag ritkán (évtizedes távlatban) szoktak halandósági tábláza-tot és technikai kamatlábat változtatni, így mindkét tényező adottnak volt tekinthető

93 Ugyanakkor manapság is, amikor a számítógép számítja a díjakat, nagyon hasznosak a programozás során ezek a standard szimbólumok, mert a díjszámítási képletek „építőkocka”-szerű felépítését teszik lehetővé, és ez által a program is strukturálttá –áttekinthetővé – válik.

𝑑𝑑𝑑𝑑_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"− 𝑙𝑙𝑙𝑙"&'

𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.4.)

ahol

𝑣𝑣𝑣𝑣 =_%'-^% (10.5.)

és i: a technikai kamatláb.

Azaz az ekvivalencia egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":*^% = 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.6.)

ebből a keresett egyszeri díjat 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-el való osztással egyszerűen megkaphatjuk:

𝐴𝐴𝐴𝐴^%_":* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* 𝑙𝑙𝑙𝑙_"

𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.4.)

ahol

𝑣𝑣𝑣𝑣 =_%'-^% (10.5.)

és i: a technikai kamatláb.

Azaz az ekvivalencia egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":*^% = 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.6.)

ebből a keresett egyszeri díjat 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-el való osztással egyszerűen megkaphatjuk:

𝐴𝐴𝐴𝐴^%_":* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* 𝑙𝑙𝑙𝑙_"

𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.4.)

ahol

𝑣𝑣𝑣𝑣 =_%'-^% (10.5.)

és i: a technikai kamatláb.

Azaz az ekvivalencia egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":*^% = 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.6.)

ebből a keresett egyszeri díjat 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-el való osztással egyszerűen megkaphatjuk:

𝐴𝐴𝐴𝐴^%_":* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* 𝑙𝑙𝑙𝑙_"

𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.4.)

ahol

𝑣𝑣𝑣𝑣 =_%'-^% (10.5.)

és i: a technikai kamatláb.

Azaz az ekvivalencia egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":*^% = 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* (10.6.)

ebből a keresett egyszeri díjat 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-el való osztással egyszerűen megkaphatjuk:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":*^% =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^%+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣⁽+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_"'*+%∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^* 𝑙𝑙𝑙𝑙_"

minden egyes időpontban. Ezért a kihalási rendből néhány standard függvényt, az ún. kommutációs függvényeket vagy kommutációs számokat konstruáltak, amelyek értékét a kihalási renddel együtt megadták, illetve előre kiszámították.

Először is bevezették az élők- és a halottak „diszkontált értékét”, a D_x-et és C_x-et.

Ezeket

a következőképpen definiálták:

(10.8.) (10.9.)⁹⁴ E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az „év végi halál” feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetri-ára, hogy az l_x-et v^x-el, míg a d_x-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.) A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az M_x-et.

Legyen

(10.12.) ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Ma-gyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

(10.13.) Ezért

(10.14.)

alakban is felírható.

94 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűb-ben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑀𝑀𝑀𝑀"− 𝑀𝑀𝑀𝑀

")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀 ")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀 ")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀 ")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴^*_":- =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀 ")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐷𝐷𝐷𝐷_"= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^" (10.8.)

𝐶𝐶𝐶𝐶_"= 𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")* (10.9.)⁹⁵

E kommutációs számok segítségével másképp is felírhatjuk a díj meghatározásához felírt 10.7. egyenletet, úgy, hogy bővítjük mind a számlálót, mind a nevezőt:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑑𝑑𝑑𝑑_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")*+ 𝑑𝑑𝑑𝑑_")*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")/+ ⋯ + 𝑑𝑑𝑑𝑑_")-1*∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣 ")-𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"

(10.10.) A 10.10.-be behelyettesíthetjük a 10.8.-t és 10.9.-t új szimbólumokat, és kapjuk, hogy:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.11.) (Láthatjuk, hogy az "év végi halál" feltételezése miatt volt szükség arra az aszimmetriára, hogy az 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-et 𝑣𝑣𝑣𝑣^"-el, míg a 𝑑𝑑𝑑𝑑_"-et eggyel magasabb hatványkitevős alakkal szoroztuk.)

A fenti egyenlet ugyan kissé egyszerűbb, mint az eredeti, de nem sokkal. Ezért újabb kommutációs számot vezettek be, az 𝑀𝑀𝑀𝑀_"-et.

Legyen

𝑀𝑀𝑀𝑀_"= 𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶₃ (10.12.)

ahol ω a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkor (Magyarországon 100 év).

Látjuk, hogy a fenti egyenletben szereplő összefüggésre ez adódik:

𝐶𝐶𝐶𝐶_"+ 𝐶𝐶𝐶𝐶_")*+ ⋯ + 𝐶𝐶𝐶𝐶_")-1*= 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")- (10.13.)

Ezért

𝐴𝐴𝐴𝐴_":-^* =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀 ")-𝐷𝐷𝐷𝐷_"

95 Az előbb említett korrekció – a haláleseti kifizetés év közepére helyezése az év végéről – a legegyszerűbben úgy történhet, hogy (10.9.) helyett a 𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^")56 alakot használjuk.

𝐶𝐶𝐶𝐶"= 𝑑𝑑𝑑𝑑"∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^"'()

Nézzünk meg más egyszeri díjas biztosításokat is!

10.1.2. Az elérési, whole life és a vegyes biztosítás egyszeri díja Az elérési biztosítás tekintetében a feltevéseink itt is hasonlóak, mint az előbb. Fel-tesszük tehát, hogy l_x számú x éves egyén köt egy-egy 1 Ft biztosítási összegű, n éves tartamú, egyszeri díjas elérési biztosítást. Az 1 Ft biztosítási összegű, n éves tartamú elérési biztosítás egyszeri nettó díjának a jelölésére hasonló szimbólumokat haszná-lunk, mint az előbb:

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

(10.15.) Mivel várhatóan n év múlva még l_x+n fő lesz életben az induló l_x-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

(10.16.) Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelen-értéke: Ebből hasonló módon, a számlálót és nevezőt v^x-szel szorozva kaphatjuk a kommutá-ciós számok segítségével meghatározott díjat:

(10.20.) Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockáza-ti plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként.

Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

(10.21.) Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

(10.22.) 𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^&, (10.15.)

Mivel várhatóan n év múlva még 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ fő lesz életben az induló 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ lesz. (10.16.)

Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelenértéke:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^$. (10.17.)

Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockázati plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként. Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$ (10.21.)

Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")$ + 𝐷𝐷𝐷𝐷_")$

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez alatt.

A whole life életbiztosítást technikailag felfoghatjuk úgy, mint egy nagyon hosszú tartamú haláleseti biztosítást. A tartam olyan hosszú, hogy az alatt a biztosított mindenképpen meghal, így a biztosítás mindenképpen kifizetéssel, mégpedig haláleseti kifizetéssel ér véget. Az, hogy a tartam „nagyon hosszú” azt jelenti, hogy legalább ω-x+1 év, hiszen ω az utolsó kor, amikor még él biztosított. Emiatt a megfontolás miatt a whole life egyszeri díját könnyen származtathatjuk a haláleseti biztosítás egyszeri díjából, mégpedig a következő módon:

𝐴𝐴𝐴𝐴_"= 𝐴𝐴𝐴𝐴":78")&& =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_7)&

𝐷𝐷𝐷𝐷_" =𝑀𝑀𝑀𝑀_"

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^&, (10.15.)

Mivel várhatóan n év múlva még 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ fő lesz életben az induló 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ lesz. (10.16.)

Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelenértéke:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^$. (10.17.)

Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockázati plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként. Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& + 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& (10.21.)

Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")$ + 𝐷𝐷𝐷𝐷_")$

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴^&_":$ és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez alatt.

A whole life életbiztosítást technikailag felfoghatjuk úgy, mint egy nagyon hosszú tartamú haláleseti biztosítást. A tartam olyan hosszú, hogy az alatt a biztosított mindenképpen meghal, így a biztosítás mindenképpen kifizetéssel, mégpedig haláleseti kifizetéssel ér véget. Az, hogy a tartam „nagyon hosszú” azt jelenti, hogy legalább ω-x+1 év, hiszen ω az utolsó kor, amikor még él biztosított. Emiatt a megfontolás miatt a whole life egyszeri díját könnyen származtathatjuk a haláleseti biztosítás egyszeri díjából, mégpedig a következő módon:

𝐴𝐴𝐴𝐴_"= 𝐴𝐴𝐴𝐴&":78")& =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_7)&

𝐷𝐷𝐷𝐷_" =𝑀𝑀𝑀𝑀_"

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^&, (10.15.)

Mivel várhatóan n év múlva még 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ fő lesz életben az induló 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ lesz. (10.16.)

Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelenértéke:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^$. (10.17.)

Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockázati plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként. Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$ (10.21.)

Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")$ + 𝐷𝐷𝐷𝐷_")$

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez alatt.

A whole life életbiztosítást technikailag felfoghatjuk úgy, mint egy nagyon hosszú tartamú haláleseti biztosítást. A tartam olyan hosszú, hogy az alatt a biztosított mindenképpen meghal, így a biztosítás mindenképpen kifizetéssel, mégpedig haláleseti kifizetéssel ér véget. Az, hogy a tartam „nagyon hosszú” azt jelenti, hogy legalább ω-x+1 év, hiszen ω az utolsó kor, amikor még él biztosított. Emiatt a megfontolás miatt a whole life egyszeri díját könnyen származtathatjuk a haláleseti biztosítás egyszeri díjából, mégpedig a következő módon:

𝐴𝐴𝐴𝐴_"= 𝐴𝐴𝐴𝐴":78")&& =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_7)&

𝐷𝐷𝐷𝐷_" =𝑀𝑀𝑀𝑀_"

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^&, (10.15.)

Mivel várhatóan n év múlva még 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ fő lesz életben az induló 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ lesz. (10.16.)

Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelenértéke:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^$. (10.17.)

Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockázati plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként. Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$ (10.21.)

Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")$ + 𝐷𝐷𝐷𝐷_")$

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez alatt.

A whole life életbiztosítást technikailag felfoghatjuk úgy, mint egy nagyon hosszú tartamú haláleseti biztosítást. A tartam olyan hosszú, hogy az alatt a biztosított mindenképpen meghal, így a biztosítás mindenképpen kifizetéssel, mégpedig haláleseti kifizetéssel ér véget. Az, hogy a tartam „nagyon hosszú” azt jelenti, hogy legalább ω-x+1 év, hiszen ω az utolsó kor, amikor még él biztosított. Emiatt a megfontolás miatt a whole life egyszeri díját könnyen származtathatjuk a haláleseti biztosítás egyszeri díjából, mégpedig a következő módon:

𝐴𝐴𝐴𝐴_"= 𝐴𝐴𝐴𝐴":78")&& =𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_7)&

𝐷𝐷𝐷𝐷_" =𝑀𝑀𝑀𝑀_"

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$

Az ekvivalencia-egyenlet bevételi oldala most (hasonló megfontolásból):

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^&, (10.15.)

Mivel várhatóan n év múlva még 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ fő lesz életben az induló 𝑙𝑙𝑙𝑙_"-ből, ezért a várható elérési kifizetés:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙_")$ lesz. (10.16.)

Mivel erre a kifizetésre pontosan n év múlva kerül sor, ezért a várható kifizetés jelenértéke:

𝑙𝑙𝑙𝑙_")$∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^$. (10.17.)

Mint tudjuk, technikai szempontból, a vegyes biztosítás nem más, mint egy kockázati plusz egy elérési biztosítás. A díját is megkapjuk tehát ezek díjának az összegeként. Az1 Ft elérési és a 1 Ft haláleseti biztosítási összegre szóló, n éves tartamú, vegyes biztosítás egyszeri nettó díja x éves belépési korú biztosítottat feltételezve:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ^&_":$ (10.21.)

Ugyanez a képlet kommutációs számokkal:

𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ = 𝑀𝑀𝑀𝑀_"− 𝑀𝑀𝑀𝑀_")$ + 𝐷𝐷𝐷𝐷_")$

𝐷𝐷𝐷𝐷_"

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez

(10.22.) Az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$, ellentétben az 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$^& és 𝐴𝐴𝐴𝐴_":$ ^& jelölésekkel, nem speciálisan a vegyes biztosítást jelöli, így ennek használata esetén a szövegben definiálni kell, hogy milyen biztosítást is értünk ez

In document Életbiztosítás (Pldal 171-181)